6.1 幂函数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.1 幂函数 新课导入 《九章算术》刘徽注:“凡广纵相乘谓之幂.”后来又将幂推广引申为多次乘方的结果.到了明清时代,既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.今天，我们就来学习幂函数的有关知识. 学习目标 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式. 2.掌握五种幂函数,,,,的图象特点. 3.借助五种幂函数的图象,掌握五种幂函数的性质,并会应用. 新知学习 探究 一 幂函数的概念 给出函数：,,,,. 思考．这些函数的解析式有什么共同的特征？这类函数解析式的一般形式应如何表示？ 提示 解析式都具有幂的形式而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数，一般形式可用 表示. ［知识梳理］ 一般地,我们把形如①_ _ _ _ _ _ _ _ 的函数称为幂函数,其中②_ _ _ _ 是自变量,③_ _ _ _ 是常数. 【答案】； ； ［例1］ （1） （多选）下列函数中是幂函数的是（ ） A. B. C. D. （2） 已知函数为幂函数，则实数_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） AD （2） 【解析】 （1） 幂函数是形如 为常数 的函数，是 的情形，是 的情形，所以 和 都是幂函数；中 的系数是2，不是幂函数；易知 不是幂函数. （2） 因为 为幂函数，所以，即. 幂函数的判断及应用 （1）判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 为常数的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量， 的系数为1. （2）若一个函数为幂函数，则该函数也必具有 为常数这一形式. ［跟踪训练1］．已知是幂函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】选.因为 是幂函数， 所以 即 则. 二 幂函数的图象与性质 ［知识梳理］ 1.五种常见幂函数的图象 2．五类幂函数的性质 幂函数 定义域 ①_ _ _ _ ②_ _ _ _ ③_ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 值域 ⑥_ _ _ _ ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ ⑨_ _ _ _ _ _ _ _ 且 奇偶性 ⑩_ _ _ _ ⑪_ _ _ _ ⑫_ _ _ _ ⑬_ _ _ _ _ _ _ _ ⑭_ _ _ _ 单调性 ⑮_ _ _ _ 函数 当时，单调递 ⑯_ _ _ _ ；当时，单调递⑰_ _ _ _ ⑱_ _ _ _ 函数 ⑲_ _ _ _ 函数 当时，单调递 ⑳_ _ _ _ ；当时，单调递㉑_ _ _ _ 公共点 经过点㉒_ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ； ； ； ； ； ； ； 奇； 偶； 奇； 非奇非偶； 奇； 增； 增； 减； 增； 增； 减； 减； ［例2］ （1） 下列幂函数中，函数为偶函数，且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. （2） 如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知取，四个值，则曲线，，，对应的依次为（ ） A. ,,,2 B. 2,,, C. ,,2, D. 2,,, 【答案】（1） A （2） B 【解析】 （1） 中，,则,故 为偶函数，且在 上单调递减，正确；中，的定义域为，即定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，错误；中，，故 为偶函数，且在 上单调递增，错误；中，，故 为奇函数，错误.故选. （2） 根据幂函数 的性质，在第一象限内的图象当 时，越大，递增速度越快，故曲线 的,曲线 的;当 时，越大，曲线越陡峭，所以曲线 的，曲线 的.故选. 解决幂函数图象问题应把握的原则 （1）依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为：①在上,指数越大,幂函数图象越靠近轴（简记为指大图低）；②在上,指数越大,幂函数图象越远离轴（简记为指大图高）. （2）依据图象确定幂指数 与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于或或）来判断. ［跟踪训练2］．（多选）若幂函数 的图象经过点,，则幂函数具有的函数性质有（ ） A. 的定义域为 B. 的图象过点 C. 在定义域上单调递减 D. 是奇函数 【答案】BD 【解析】选.将,代入 可得，故，故，定义域为，故 错误;，故 正确;在，上单调递减，但在整个定义域上不单调，故 错误；,故 为奇函数，故 正确. 编辑作答空间顺序 三 幂函数性质的应用 角度1 比较幂的大小 ［例3］ （对接教材例2）比较下列各组数中两个数的大小. （1） 与； （2） 与； （3） 与. 【答案】 （1） 【解】因为幂函数 在 上单调递增， 又，所以. （2） 因为幂函数 在 上单调递减，又， 所以. （3） 因为函数 在 上单调递增，又，所以. 又因为函数 在 上单调递增，且，所以， 所以. 比较幂值大小的方法 （1）若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小. （2）若指数不同,可采用中间值法或估值法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较,直到比较出所有数的大小,若中间值法不行则要采用估值法,判断各数的范围,进而比较出各数的大小. 角度2 解不等式 ［例4］ 已知幂函数在区间上单调递增，定义域为的奇函数满足时，. （1） 求； （2） 当时，解不等式； （3） 若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 【解】 因为 是幂函数，所以有 解得 或，当 时，函数 在区间 上单调递减，不符合题意；当 时，在区间 上单调递增，符合题意，所以，因为函数 是定义域为 的奇函数，则，所以当 时，，,因此 （2） 因为当 时，，所以由，又因为，所以，所以不等式 的解集为. （3） 当 时，，此时函数单调递增，且， 当 时，，此时函数单调递增，且，而， 因此奇函数 是 上的增函数，于是由 恒成立，又，所以，所以实数 的取值范围为. 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式,实质是已知两个函数值的大小,判断自变量的大小,常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下: （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系,转化为自变量的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围,注意分类讨论思想的应用. ［跟踪训练3］． （1） 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. （2） 比较下列各组数的大小： ①与； ②与. 【答案】（1） D （2） 解：①因为 在 上单调递增且,所以. ②因为 是 上的增函数，且 ,所以 ,所以. 【解析】 （1） 选.幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上单调递增，则 为正偶数，则，则不等式,即，整理得，此不等式等价于 或 解得 或,则满足 的 的取值范围为 或. 培优点 函数的图象与性质 函数是由正比例函数与反比例函数的和构成的，该函数具有以下基本的性质： （1）函数是奇函数，图象关于原点对称. （2）函数在，上单调递增，在，上单调递减. （3）当时，，当且仅当时取等号，即当时，函数在处取得最小值，最小值为2；当时，，当且仅当时取等号，即当时，函数在处取得最大值，最大值为. 一般地，函数有下列性质： 性质 图象 定义域 ，且 ，且 值域 或 单调性 在，上单调递增 在，上单调递增；在，上单调递减 奇偶性 奇函数 奇函数 图象特点 ①关于原点对称； ②图象无限靠近直线与 ①关于原点对称； ②图象无限靠近直线与 最值 无最大值，也无最小值 当时，；当时， ［典例］ （多选）下列不等式正确的有（ ） A. 若，则函数的最小值为2 B. 最小值等于4 C. 当时, D. 函数最小值为 【答案】CD 【解析】对于，令，则，，，根据 的性质知，在 上单调递增，所以，故 错误；对于，当 时，根据 的性质知，单调递减，所以，故 错误；对于，因为，，所以，当且仅当，即 时，等号成立，故 正确；对于，当 时，，当且仅当，即 时，等号成立，故 正确. 对于函数的最值问题，一是利用基本不等式解决，此时要注意等号能否成立；二是利用函数的奇偶性、单调性等函数性质解决，此时要注意自变量的最值范围及取得最值的条件. ［练习1］．若使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意知 使得不等式 成立，只需 即可，当 时，设，故，设，,当 时，单调递增，所以当 时，，即. ［练习2］．函数的值域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】因为.所以当 时，， 当且仅当，即 时，等号成立.根据“”的性质知，在,上单调递减，在 上单调递增，又，.所以当 时，的值域为,. 课堂巩固 自测 1．已知幂函数 的图象经过点，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】选.因为幂函数 的图象经过点，所以 ，所以. 2．已知,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设,已知,则,在 上单调递减,则,即,故. 3．（教材P142练习T1改编）下列函数既是幂函数又是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.幂函数的图象都经过点，排除；与 不是偶函数，排除，.故选. 4．若是幂函数，且在上单调递增，则的值为_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】因为 是幂函数，则，则 或，当 时，，不符合题意；当 时，，则 在区间 上单调递增，符合题意，则. 5．若幂函数过点,则满足不等式的实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设幂函数为 ,因为 过点,所以,解得,所以.因为 在 上为增函数,所以由,得,解得.所以满足不等式 的实数 的取值范围是. 1.已学习：（1）幂函数的定义.（2）几个常见幂函数的图象.（3）幂函数的性质. 2.须贯通：利用幂函数图象性质比较大小、解不等式. 3.应注意：幂函数的概念辨析和定义域. 课后达标 检测 A 基础达标 1．若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设 ，则，所以，所以. 2．若，则函数的定义域为（ ） A. B. ， C. , D. ， 【答案】D 【解析】选.易知 的定义域为，则，即，.故选. 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由于 和 都是奇函数，故，不满足题意.在 上单调递增，但不是偶函数，故 不满足题意.为偶函数，且在 上单调递增，故 满足题意. 4．已知,若,则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为,所以.又函数 在 上单调递增，所以.故选. 5．如图所示，曲线与分别是函数和在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题图可知，两函数在 上均单调递减，故,.由曲线，的图象可知.故选. 6．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是偶函数 D. 的单调递增区间为 【答案】ABD 【解析】选.设，则，可得，则，对于 选项，对于函数，有，则函数 的定义域为，正确；对于 选项，，则函数 的值域为，正确；对于 选项，函数 的定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数 为非奇非偶函数，错误；对于 选项，的单调递增区间为，正确.故选. 7．已知幂函数 的部分对应值如表： 1 1 则的单调递增区间是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，所以，即，所以 的单调递增区间是. 8．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（答案不唯一） 【解析】取，则定义域为，且，，，满足. 9．已知函数，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知，幂函数 在 上单调递减，由，得 解得，即不等式的解集为. 10．（13分）已知定义在上的幂函数. （1） 求；（6分） （2） 解关于的不等式（7分） 【答案】 （1） 解：由题意得，解得 或， 当 时，，不符合定义域为，舍去； 当 时，，定义域为，符合题意. 所以. （2） 不等式可化为，即， 当 时，解集为； 当 时，解集为； 当 时，解集为. B 能力提升 11．已知幂函数的图象与轴和轴没有交点，且关于轴对称，则（ ） A. 1 B. 0,2 C. ,1,3 D. 0,1,2 【答案】C 【解析】选.因为幂函数 的图象与 轴和 轴没有交点，且关于 轴对称，所以，且 为偶数，由，得，又，所以,0,1,2,3.当 时，，为偶数，符合题意；当 时，，为奇数，不符合题意；当 时，，为偶数，符合题意；当 时，，为奇数，不符合题意；当 时，，为偶数，符合题意.综上所述，,1,3. 12．（多选）已知函数 的图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若,则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】选.将点 代入函数 得 ，则，所以， 显然 在定义域 上为增函数，所以 正确. 因为 的定义域为，不关于原点对称，所以 为非奇非偶函数，所以 错误. 当 时，,即,所以 正确. 当 时， 如图，设, . 易知 成立，所以 正确.故选. 13．（15分）已知幂函数在定义域上不单调. （1） 函数是否具有奇偶性？请说明理由；（7分） （2） 若，求实数的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 解：由题意，解得 或， 当 时，，函数 在 上单调递增，不符合题意； 当 时，， 函数 的定义域为， 函数 在 上单调递减，在 上单调递减， 但,， 所以函数 在定义域 上不单调，符合题意， 所以， 因为函数 的定义域关于原点对称， 且， 所以函数 为奇函数. （2） 由 及 为奇函数， 可得， 即， 而 在 上单调递减且恒小于0，在 上单调递减且恒大于0， 所以 或 或 解得 或. 14．（15分）已知函数. （1） 若，求的值;（7分） （2） 若，求函数的最小值.（8分） 【答案】 （1） 解:因为， 所以， 两边平方可得， 所以. （2） 因为， 所以 ， 令，则， 当且仅当， 即 时，等号成立，即，所以，,对称轴方程为， 所以函数 在 上单调递增， 即当 时，， 所以函数 的最小值为. C 素养拓展 15．（多选）函数与在同一坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】选.当，时，为奇函数，定义域为，且在 上单调递减，而 图象开口向下，对称轴为直线，，故 符合，不符合；当 时，函数 的定义域为，且在 上单调递增，图象开口向上，且对称轴为直线，存在，图象和 轴有两个交点，故 符合；当 时，为偶函数，且在 上单调递增，图象开口向上，且对称轴为直线，存在，其图象和 轴没有交点，故 符合. 学科网（北京）股份有限公司 $