4.2.2 对数的运算性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

4.2.2 对数的运算性质 新课导入 从对数定义知道，对数式与指数式是可以相互转化的，我们已经学习了指数幂的运算性质与法则，那么对数的运算是否存在类似的性质与法则呢？这节课我们就从指数与对数的关系及指数幂的运算性质，来研究相应的对数的运算性质. 学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件. 2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 3.能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 4.能灵活运用对数的运算性质及换底公式解决对数运算问题. 第1课时 对数的运算性质（一） 新知学习 探究 一 对数的运算性质 思考．计算下列三组对数运算式,观察各组结果,你能猜想对数的运算性质吗? （1） ,; （2） ,; （3） ,. 【答案】（1） 提示 ；，猜想. （2） ；，猜想. （3） ；，猜想. ［知识梳理］ （1） ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （3） ③_ _ _ _ _ _ _ _ . 其中,,,,. 【答案】（1） （2） （3） 点拨 （1）性质的逆运算仍然成立； （2）公式成立的条件是，，而不是，比如式子 有意义，而 与 都没有意义； （3）性质（1）可以推广为：，其中,,且,,, ,均大于0. ［例1］ （1） （多选）以下运算正确的是（ ） A. B. C. D. （2） （对接教材例4）计算_ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） ABC （2） 19； 【解析】 （1） 选项，，正确； 选项，，正确； 选项，，正确； 选项，，错误. （2） ;. 对数式化简求值的基本原则 对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. ［跟踪训练1］． （1） 下面给出的四个式子中正确的是（ ） A. B. C. D. （2） 求值:_ _ _ _ ;_ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 0；7 【解析】 （1） 选.由对数的运算性质得当，，，时，成立，选项正确；当，时，，，选项错误. （2） ;. 二 利用对数的运算性质化简求值 ［例2］ 求下列各式的值： （1） ； （2） . 【答案】 （1） 【解】由题意可得，原式 . （2） 原式. 利用对数运算性质解题的一般思路 （1）“收”：将同底的两个对数的和（差）合并为积（商）的对数，即公式逆用； （2）“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两个对数的和（差），即公式的正用； （3）“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用 ，进行计算或化简. ［跟踪训练2 ］．计算下列各式的值： （1） ; （2） . 【答案】 （1） 解：原式 . （2） 原式 . 三 对数运算性质的综合应用 ［例3］ （1） 若任何一个正数可以用科学计数法表示成（,为正整数），此时，当时，称的位数是.根据以上信息可知的位数是（参考数据：）（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 （2） 已知,,则用,表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） A 【解析】 （1） ，则 的位数是. （2） 因为,,所以,,则.故选. 母题探究1．本例（2）条件不变,求的值. 解：. 母题探究2．本例（2）条件“”变为“”.试用,表示. 解：因为,则, 所以，，所以. （1）利用对数式解决一些实际问题,要正确建立实际问题的对数式模型，然后利用对数的运算性质进行求解; （2）用代数式表示对数时，应做到：①统一化：所求为对数式，条件转为对数式；②用公式：会使用对数运算性质解决问题. ［跟踪训练3］． （1） 在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为，则它们的音分差为.当音与音的频率比为时，音分差为，当音与音的频率比为时，音分差为，则（ ） A. B. C. D. （2） 设，，则_ _ _ _ _ _ _ _ .（用，表示） 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.由题意可知，， ， 联立方程组 消去 可得，. （2） . 课堂巩固 自测 1． （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】选.原式. 2．（多选）下列计算错误的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选.对于 选项，，错误； 对于 选项，当 时，有意义，无意义，错误； 对于 选项， ，正确； 对于 选项，，错误. 3．根据有关资料可知，围棋的状态空间复杂度的上限约为，记.光在真空中的速度约为，记.则下列各数中与的值最接近的是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选,，所以.故选. 4．求下列各式的值： （1） ； （2） . 【答案】（1） 解：. （2） . 1.已学习：（1）对数的运算性质. （2）利用对数的运算性质化简、求值. （3）对数运算性质的运用. 2.须贯通：熟练利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算. 3.应注意：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则. 课后达标 检测 A 基础达标 1．计算（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】选. 2．下列计算正确的是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】选.根据对数的运算性质, 所以，不正确； 由对数的运算性质，可得，所以 正确； 根据对数的化简，可得， 而 无意义，所以 不正确. 3．已知，则用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，所以， 所以. 4．若，是方程的两个实根，则（ ） A. 2 B. C. 100 D. 【答案】C 【解析】选.因为，是方程 的两个实根， 所以由根与系数的关系得， 所以，所以. 5．计算（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】选.因为，，所以. 6．（多选）下列运算正确的是（ ） A. B. （其中，，） C. D. 【答案】BC 【解析】选 中，，故 不正确； 中，因为，，， 所以，故 正确； 中， ，故 正确； 中，，故 不正确. 7．的值是_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】原式. 8．若，则_ _ _ _ . 【答案】4 【解析】因为 ， 所以 由，知， 所以 或. 又，且， 所以，则. 9．已知，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用含，的式子表示） 【答案】 【解析】. 10．（13分）计算下列各式的值： （1） ；（6分） （2） .（7分） 【答案】（1） 解：原式. （2） 原式. B 能力提升 11．已知，，，，，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题得，所以， 所以，即. 12． _ _ _ _ . 【答案】1 【解析】 . 13．（13分）已知，. （1） 求，（用，表示）；（6分） （2） 若，求的值.（7分） 【答案】 （1） 解：； . （2） ， 所以. 14．（15分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气温度是 ，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，10分钟后茶水的温度是. （1） 求的值；（7分） （2） 经验表明，当室温为时，该种普洱茶用的水泡制，自然冷却至时饮用，可以产生最佳饮用口感，那么，刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到）（8分） （参考数据：,） 【答案】 （1） 解：根据题意，当,,,, 代入函数模型，整理得， 解得,. （2） 假设自然冷却大约需要放置 才能达到最佳饮用口感， 则，代入， 得， 所以刚泡好的茶水在室温为 时自然冷却大约需要放置 才能达到最佳饮用口感. C 素养拓展 15．在数学中连加符号是“ ”，例如：.设函数，将使为整数的定义为希望数，则在区间内，希望数的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 512 D. 513 【答案】A 【解析】选.依题意， ， 要使 成为希望数，则，,而，则，即， 又，, ，,,则,3,4， ,， 所以在区间 内，希望数的个数为9. 第2课时 对数的运算性质（二） 新知学习 探究 一 换底公式 思考．假设，则，即，从而有，将其化为对数式得，从而有.若将对数的底数2换成，还成立吗？ 提示 成立，证明如下：设，则，从而有，将其化为对数式得，从而有. ［知识梳理］ . 点拨 对数换底公式的重要推论 （1）; （2）; （3）,,,,且,,. ［例1］ （对接教材例8）利用对数的换底公式求下列各式的值： （1） ； （2） . 【答案】 （1） 【解】 . （2） . 利用换底公式求值的思想与注意点 ［跟踪训练1］．计算： （1） （ ） A. B. C. 2 D. 4 （2） _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选.原式. （2） 原式. 二 对数与指数的综合应用 ［例2］ （1） 已知，，用，表示为（ ） A. B. C. D. （2） 已知,则_ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 1 【解析】 （1） 因为，所以， .故选. （2） 由已知，， 则，， . 母题探究．本例（2）变为：若且,,且,且，则_ _ _ _ . 【答案】80 【解析】因为，所以,， 所以.解得. （1）根据需要，利用指数式与对数式的关系对二者进行互化. （2）不同底数的幂值相等时，经常设出幂的值，然后转化为对数式再进行化简求值. （3）在幂的指数中含有对数时，一是运用对数恒等式化简计算，二是通过等式两边取对数的方法转化为对数式进行化简求值. ［跟踪训练2］． （1） （多选）设,,都是正数，且，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. （2） 若，且，则_ _ _ _ . 【答案】（1） BCD （2） 1 【解析】 （1） 选.令，则，,,所以,,， 对于，两边同除以 等价于，由上可知，，所以，正确； 对于，两边同除以 等价于，由上可知，，所以，错误； 对于，两边同除以 等价于，由上可知，，所以，错误； 对于，两边同除以 等价于，由上可知，，所以，错误. （2） 由题意，设， 则,,， 所以 . 三 对数的运算性质在实际中的应用 ［例3］ （对接教材例10）碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5 730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代.设生物体内的碳14的含量为，死亡年数为. （1） 试将表示为的函数； （2） 不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的，请推算该生物死亡的年代距今约多少年？（参考数据：） 【答案】 （1） 【解】已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设，由经过5 730 年衰减为原来的一半，可得，所以， 故碳14的含量 与死亡年数 的函数关系式为. （2） 由已知， 所以， 即 ， 所以推算该生物死亡的年代距今约13 370年. 解决对数应用题的一般步骤 ［跟踪训练3］．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意得，，则，即，所以. 课堂巩固 自测 1．的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】选.故选. 2．已知,,则的值为（ ） A. 3 B. 8 C. 4 D. 【答案】A 【解析】选.因为, 所以, 又, 所以. 3．已知,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用,表示） 【答案】 【解析】由，得， 又， 所以. 4．设,且,则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为, 则,, 则， 所以. 5． _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】原式. 1.已学习：换底公式. 2.须贯通：对数的运算性质是相同底数的对数运算，可正用,可逆用，换底公式的作用是完成不同底数的对数式之间的转化，实现同底的目的，底数没有明确要求时，就以10为底. 3.应注意：（1）运用换底公式注意成立条件. （2）根据不同问题选择公式的正用或逆用. 课后达标 检测 A 基础达标 1．若，则（ ） A. 9 B. C. 25 D. 【答案】D 【解析】选.由题意知，所以，所以. 2．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由 得，，则. 3．已知，且，则实数的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】选.因为， 所以，，所以，. 因为，所以，所以. 4．设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选 . 5．（多选）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.对于，原式，正确； 对于，原式，错误； 对于，原式，错误； 对于，原式，正确.故选. 6．（多选）实数，满足，则下列关系不正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】选.，，，故 正确; ，故 不正确; ，故，不正确.故选. 7．若，，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ . 【答案】1； 【解析】因为，所以， 所以， . 8．已知，则_ _ _ _ _ _ _ _ .（用表示） 【答案】 【解析】. 9．计算：_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 . 10．（13分） （1） 已知，求的值；（6分） （2） 计算的值.（7分） 【答案】 （1） 解：由， 得， 所以. 所以 . （2） 方法一：原式 . 方法二：原式 . B 能力提升 11．已知,且,则实数的值为（ ） A. 12 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】选.由 得,,所以,,由,得,所以,又,所以.故选. 12．若，则_ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题得， 所以， 所以，又，所以. 13．（13分）物理学规定音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，其音量的大小 可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度）.人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的多少倍？ 解：因为， 所以 声音的声波强度，声音的声波强度， 所以， 所以 声音的声波强度 是 声音的声波强度 的100倍. 14．[（2025·盐城月考）]（15分）对数的运算大大提高了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. （1） 设，是关于的方程的两个实数根，求的值；（7分） （2） 已知，且，，若，，求的值.（8分） 【答案】（1） 解：因为，是关于 的方程 的两个实数根，所以由根与系数的关系得 由 得，则.由 得，所以，即，则. （2） 由，得，由，得，则，所以，即，故. C 素养拓展 15．[（2025·镇江月考）]若，是整数，则称数为“和谐数”，则在内“和谐数”的个数为_ _ _ _ . 【答案】8 【解析】依题意，,则，令，则，其中，因为，所以，即，解得，又因为，所以满足条件的 共有8个. 学科网（北京）股份有限公司 $