4.2.2 第1课时 对数的运算性质（一）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

第4章 指数与对数 1 4.2 对 数 4.2.2 对数的运算性质 2 从对数定义知道，对数式与指数式是可以相互转化的，我们已经学习 了指数幂的运算性质与法则，那么对数的运算是否存在类似的性质与法则 呢？这节课我们就从指数与对数的关系及指数幂的运算性质，来研究相应 的对数的运算性质. 返回导航 新课导入 3 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件. 2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 3.能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 4.能灵活运用对数的运算性质及换底公式解决对数运算问题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 对数的运算性质 思考 计算下列三组对数运算式,观察各组结果,你能猜想对数的运算性质吗? （1）, ; 提示 ； ，猜想 . 返回导航 7 （2）, ; 提示 ； ，猜想 . （3）, . 提示 ；，猜想 . 返回导航 8 ［知识梳理］ （1） ①_______________. （2） ②_______________. （3） ③_________. 其中,,,, . 点拨 （1）性质的逆运算仍然成立； （2）公式成立的条件是，，而不是 ，比如式子 有意义，而与 都没有意义； （3）性质（1）可以推广为： ，其中 , ,且,,, , 均大于0. 返回导航 9 ［例1］ （1）（多选）以下运算正确的是( ) A. B. C. D. 解析：A选项， ，A正确； B选项， ，B正确； C选项， ，C正确； D选项， ，D错误. √ √ √ 返回导航 10 （2）（对接教材例4）计算 ____, __. 19 解析： ; . 返回导航 11 对数式化简求值的基本原则 对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策 略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. 返回导航 12 ［跟踪训练1］ （1）下面给出的四个式子 中正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选A.由对数的运算性质得当，，， 时， 成立，A选项正确；当， 时，B，C， D选项错误. √ 返回导航 13 （2）求值:___; ___. 0 7 解析： ; . 返回导航 14 二 利用对数的运算性质化简求值 ［例2］ 求下列各式的值： （1） ； 【解】由题意可得，原式 . （2） . 解：原式 . 返回导航 15 利用对数运算性质解题的一般思路 （1）“收”：将同底的两个对数的和（差）合并为积（商）的对数，即公 式逆用； （2）“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两个对数的和（差），即公式 的正用； （3）“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用 <m></m>，进行 计算或化简. 返回导航 16 ［跟踪训练2 ］ 计算下列各式的值： （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回导航 17 三 对数运算性质的综合应用 ［例3］ （1）若任何一个正数可以用科学计数法表示成 （,为正整数），此时 ，当 时，称的位数是.根据以上信息可知 的位数是 （参考数据： ）( ) A.27 B.28 C.29 D.30 解析： ， 则的位数是 . √ 返回导航 18 （2）已知,,则用, 表示为( ) A. B. C. D. 解析：因为,,所以 , ,则 .故选A. √ 返回导航 19 母题探究1 本例（2）条件不变,求 的值. 解： . 母题探究2 本例（2）条件“”变为“”.试用,表示 . 解：因为,则 , 所以， ，所以 . 返回导航 20 （1）利用对数式解决一些实际问题,要正确建立实际问题的对数式模型， 然后利用对数的运算性质进行求解; （2）用代数式表示对数时，应做到：①统一化：所求为对数式，条件转 为对数式；②用公式：会使用对数运算性质解决问题. 返回导航 21 ［跟踪训练3］ （1）在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为 ， 则它们的音分差为.当音与音的频率比为时，音分差为 ， 当音与音的频率比为时，音分差为 ，则( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题意可知， ， ， 联立方程组消去可得， . √ 返回导航 22 （2）设，，则_________.（用， 表示） 解析： . 返回导航 23 PART 02 课堂巩固 自测 24 1. ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析：选C.原式 . √ 返回导航 25 2.（多选）下列计算错误的有( ) A. B. C. D. 解析：选 .对于A选项， ，A错误； 对于B选项，当时，有意义， 无意义，B错误； 对于C选项， ，C正确； 对于D选项， ，D错误. √ √ √ 返回导航 26 3.根据有关资料可知，围棋的状态空间复杂度的上限约为 ，记 .光在真空中的速度约为，记 .则下列各 数中与的值最接近的是（参考数据： ）( ) A. B. C. D. 解析：选 , ， 所以 .故选B. √ 返回导航 27 4.求下列各式的值： （1） ； 解： . （2） . 解： . 返回导航 28 1.已学习：（1）对数的运算性质. （2）利用对数的运算性质化简、求值. （3）对数运算性质的运用. 2.须贯通：熟练利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、 减、乘的运算. 3.应注意：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算 法则. 返回导航 29 $