3.2.1 基本不等式的证明-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

3.2 基本不等式 3.2.1 基本不等式的证明 新课导入 某金店有一架天平，左右两臂长略有不等，直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量和，然后以作为项链的质量来计算，试问：顾客吃亏还是店主吃亏?本节课就让我们一起来探究吧！ 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能够利用基本不等式解决一些不等式证明、大小比较的问题. 新知学习 探究 一 基本不等式 现有2个形状、大小完全相同的图形（图1和图2），已知四边形为矩形，为等腰直角三角形，，,图1和图2中阴影部分的面积分别为，. 思考1．求,的值. 思考2．观察图1和图2中的阴影部分，，有什么大小关系？如何表示？ 【答案】思考1 提示 因为四边形为矩形，为等腰直角三角形，所以为等腰直角三角形，所以,. 思考2 提示，即，当且仅当时，等号成立. ［知识梳理］ 1．算术平均数、几何平均数 对于正数,,我们把①_ _ _ _ _ _ _ _ 称为,的算术平均数,②_ _ _ _ _ _ 称为,的几何平均数. 【答案】； 2．基本不等式 （1）基本不等式： 符号语言： ③_ _ _ _ ,当且仅当时,等号成立. 文字语言：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当两个正数相等时，算术平均数与几何平均数相等. （2）变形公式：当,时, （当且仅当时,等号成立）; （当且仅当时,等号成立）. 【答案】 ［例1］ （1） 不等式中等号成立的条件是（ ） A. B. C. D. （2） 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） B 【解析】 （1） 因为，根据基本不等式，当且仅当 时，等号成立，故在 中，当且仅当 时，等号成立. （2） 由，得，，所以，，由基本不等式可得.所以，故 正确，,,错误. 基本不等式的理解 基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化,当题目中不等号的两端中一端是“和式”而另一端是“积式”时,就要考虑利用基本不等式来解决. ［跟踪训练1］．已知实数，，满足，，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为，由基本不等式得，故， 因为，，两式相减得，， 故，所以，故，所以. 二 利用基本不等式证明不等式 ［例2］ （对接教材例1）已知，，，且.求证：. 【证明】 因为，，，, 所以 ， 当且仅当 时,等号成立， 所以. 母题探究．已知,,，求证：. 证明：因为，，且，所以，当且仅当 时,等号成立.所以. 利用基本不等式证明不等式的策略 （1）借助不等式的性质和有关定理，从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. （2）考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用. （3）当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到. ［跟踪训练2］．设，，为正数，求证：. 证明：因为，，为正数，由基本不等式可得，，当且仅当 时，等号成立， ，当且仅当 时，等号成立， ，当且仅当 时，等号成立， 以上三式相加有， 即，当且仅当 时，等号成立. 三 利用基本不等式求最值 ［例3］ （对接教材例2）已知，求的最小值. 【解】 因为，所以,， 所以, 当且仅当,即 时等号成立. 所以 的最小值是10. （1）利用基本不等式求解最值时，要注意条件是否满足,，尤其是要注意验证等号成立的条件. （2）拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值. ［跟踪训练3］． （1） 已知，求的最大值； （2） 已知，求的最大值. 【答案】 （1） 解：因为， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即 时，等号成立， 故当 时，. （2） 因为，所以， 所以， 当且仅当， 即 时，等号成立， 故当 时，. 课堂巩固 自测 1．下列选项中不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.若,则 不成立,故 错误;当,时,,故 错误;当,时,,故 错误;由基本不等式可知,正确. 2．（多选）下列几个不等式中，能取到等号的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.对于，当且仅当，即 时，等号成立； 对于，当且仅当，即 时，等号成立； 对于，当且仅当，即 时，等号成立； 对于，当且仅当，，即 时，等号成立，无解，所以等号不成立.故选. 3．已知,则的最小值为_ _ _ _ . 【答案】6 【解析】因为， 所以，.当且仅当，即 时等号成立，因此所求的最小值为6. 4．设，则的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为,所以 ，当且仅当，即 时，等号成立，所以,所以， 故其最大值为. 1.已学习:基本不等式及其变形公式. 2.须贯通:基本不等式的意义及证明；利用基本不等式求最值要对式子灵活变换. 3.应注意:对基本不等式中“当且仅当”条件的理解要准确；注意,. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选 选项，对于任意，，即，故 错误；选项，当，，，，故 错误；选项，当 时，，故 错误；选项，因为，所以,故 正确. 2．已知，则有（ ） A. 最大值为0 B. 最小值为0 C. 最大值为 D. 最小值为 【答案】C 【解析】选.因为，所以，当且仅当，即 时，等号成立.故 有最大值为. 3．已知，，且，则的最大值为（ ） A. 16 B. 25 C. 9 D. 36 【答案】B 【解析】选.因为，，且， 所以，当且仅当 时，等号成立， 故 的最大值为25. 4．设，，，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，所以，所以， 所以， 所以 . 又因为， 所以 ，即. 5．（多选）设，为正实数，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选 选项，由基本不等式得，当且仅当 时，等号成立，选项正确； 选项，当，时，，但，选项错误； 选项，由基本不等式得，当且仅当，即 时,等号成立，选项正确； 选项，当，时，，但，选项错误.故选. 6．（多选）下列求最值正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为0 D. 的最小值为2 【答案】BC 【解析】选.选项 中，没有考虑 的情况，错误； 选项 中，，当且仅当，即 时，取等号，正确； 选项 中，因为，所以，，当且仅当，即 时，取等号，正确； 选项 中，当 时，无解，故取不到2，错误. 7．[（2025·常州期中）]“，”是“”的_ _ _ _ _ _ _ _ 条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【解析】当，时，成立，当且仅当，即 时等号成立；当 成立时，只需，，即，或，，所以“，”是“”的充分不必要条件. 8．已知，，，则的最大值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，取最大值，最大值为. 9．已知，则的最小值为_ _ _ _ . 【答案】16 【解析】 ， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当， 即 时，等号成立. 10．（13分）已知，是互不相等的正数，求证：. 证明：因为，是互不相等的正数， 则由基本不等式可得，， 所以，当且仅当 时，等号成立， 又，所以，得证. B 能力提升 11．甲、乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走，若，则甲、乙两人到达指定地点的情况是（ ） A. 甲先到 B. 乙先到 C. 甲乙同时到 D. 与,的大小有关 【答案】A 【解析】选.设总路程为，甲所用时间为，乙所用时间为，由，得，显然，于是，而，，，, 因此，即，，所以甲先到达. 12．（多选）若，，且，下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】选.选项，因为，，, 所以，当且仅当，即,时，等号成立，故 正确； 选项，因为，， 当且仅当 时，等号成立，故 不正确； 选项， , 当且仅当 且，即,时，等号成立，故 正确； 选项，，当且仅当，即,时，等号成立，故 正确. 13．已知,,若不等式恒成立,则的最大值为_ _ _ _ . 【答案】9 【解析】因为,, 且,所以 恒成立.又,当且仅当,即 时,等号成立.所以,所以.所以 的最大值为9. 14．（13分） （1） 已知，求的最小值;（6分） （2） 已知，求的最大值.（7分） 【答案】 （1） 解：. 因为，所以，， 所以， 当且仅当， 即 时，等号成立， 所以 的最小值为4. （2） 因为，所以，所以，当且仅当，即 时等号成立，故 的最大值为. C 素养拓展 15．（15分） （1） 已知，，都是正数，求证：；（7分） （2） 已知正实数,,，且，用综合法证明：.（8分） 【答案】 （1） 证明：因为,,， 所以，，，当且仅当 时，等号成立， 所以,所以. （2） 因为，且， 可得，当且仅当 时，等号成立， 同理可得，当且仅当 时，等号成立，，当且仅当 时，等号成立， 三个式子相加，可得，当且仅当 时，等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $