3.2.1基本不等式的证明（教学课件）数学苏教版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的证明与应用，通过天平测量物体质量的情境导入，先回顾不等式基本性质，引出算术平均数与几何平均数的概念，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合几何直观（圆中半径与半弦长关系）和逻辑推理（作差法、分析法等多种证明），通过变式训练（如x+4/x求最值）培养数学运算能力。小结用“一正二定三相等”口诀，帮助学生掌握应用条件，教师教学时能高效引导学生理解和应用基本不等式。

3.2.1 基本不等式的证明 第三章 不等式 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：理解基本不等式的内容及证明 教学难点： 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小 理解基本不等式的内容及证明； 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小； 能初步运用基本不等式证明简单的不等式。 课程目标 学科素养 直观想象：理解基本不等式的内容及证明； 逻辑推理：能初步运用基本不等式证明简单的不等式； 数学运算：能熟练运用基本不等式比较两个实数的大小。 新知引入 不等式有下面的基本性质： 性质1(对称性) ； 性质2(传递性) ，； 性质3(可加性) 如果，那么； 性质4(可乘性) 如果，那么 如果，那么； 性质5(同向可加性) 如果，那么； 性质6（同向同正可乘性） 如果，那么 性质7（同乘方性） 如果，那么 新知引入 情境1：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 .如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么 并非物体的实际质量. 不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为. 那么如何合理地表示物体的质量呢? 以 表示物体的质量. 这样的做法合理吗? 设天平的两臂长分别为 ，，物体实际质量为 ， 根据力学原理有 ，. 将上述两个等式的两边分别相乘，得， 所以 . 新知引入 对于正数，我们把 称为的算术平均数， 称为 的几何平均数. 思考1：两个正数 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系? 我们可以从哪些方面研究算数平均数和几个平均数之间的大小关系呢？你能证明它吗？ 新知探究 8 4 5 4 4 4 问题1：请填写下列表格，尝试再取几个的值，计算 和，观察数值的大小，你有什么发现？ 新知探究 问题2：当时，我们可以尝试作出长度为和的两条线段，再比较这两条线段的长. 如图，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接半径，则 与大小关系怎么样？ 几何意义： 半径不小于半弦长 当且仅当点与圆心重合时取等. 新知探究 证明： （作差法） ， ,当且仅当时取得等号 思考：你能用前面所学的知识尝试证明吗？ 新知探究 思考：你能用前面所学的知识尝试证明吗？ （分析法/逆推法） 要证 ，① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 新知探究 思考：你能用前面所学的知识尝试证明吗？ 证明： （综合法） ≥， ⇒－2≥0， ⇒ ≥2， ⇒ ≥. 新知探究 基本不等式：对，，都有 当且仅当时，等号成立. 几何平均数 算术平均数 两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数 典例精讲 例1：设为正数，证明下列不等式成立： （1）＋ ≥； （2） 证明：（1）因为 为正数，所以 ， 也为正数. 由基本不等式，得 ＋ ≥2 ＝2， 当且仅当 ＝ ，即 时，取得等号. 所以原不等式成立. 新知探究 例1：设为正数，证明下列不等式成立： （1）＋ ≥； （2） 证明：（2）因为 为正数，所以 ， 也为正数. 由基本不等式，得 所以 ， 当且仅当 时，即时，取得等号. 因此，原不等式成立. 小技巧： 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数式，以便于利用基本不等式 新知探究 练习1：已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明： 当且仅当时，上式等号成立. 于是，当时，和有最小值. (2)当和等于定值时，∴ 当且仅当上式等号成立. 于是，当时，积有最大值 积定和最小 和定积最大 练习巩固 利用基本不等式求最值：一正，二定，三相等. （1）一正：各项必须为正数 （2）“二定”，即含变量的各项的和或积必须是定值（常数）.如果要求的最小值，那么必须是定值；要求的最大值，必须是定值. （3）“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值. 练习巩固 变式1-1：已知求的最小值. 解：∵∴ ∴ 当且仅当即时，等号成立， 因此所求的最小值为2. 一正 二定 三相等 下结论 思考：想一想，当时，成立吗？ 这时能说是的最小值吗？ 练习巩固 变式1-2：已知，求的最小值 解：∵ ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最小值为4. 典例精讲 例2：设 ，求的最小值. 解：因为，所以 . 由基本不等式，得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立. 因此，当 时，的最小值为. 练习巩固 练习2：已知，求的最小值 解：∵，∴ ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最小值为0. 练习巩固 变式2-1：已知，求的最大值 解：∵，∴0. ∴ 当且仅当得或(舍去)，即等号成立. ∴的最大值为. 练习巩固 配凑法的应用： 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知的式子和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话： 一不正，用其相反数，改变不等号方向； 二不定，应凑出定和或定积； 三不等，一般用函数的图象或性质. 练习巩固 变式2-2：已知，求的最大值. 解：∵，∴0，0. ∴ 当且仅当得或(舍去)，即时等号成立. ∴的最大值为. 练习巩固 练习3：已知,求的最大值. 解：∵∴ ∴ 当且仅当即时，等号成立， 因此所求的最小值为. 一正 二定 三相等 下结论 练习巩固 变式3-1：已知，求的最大值. 解：∵， ∴， ∴ 当且仅当，即时，“”成立. ∴的最大值为. 小结 基本不等式：对，，都有 当且仅当时，等号成立. 一正二定三相等 积定和最小 和定积最大 感谢聆听 数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系． ——希尔伯特 $$