2.2 充分条件、必要条件、充要条件-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

2.2 充分条件、必要条件、充要条件 新课导入 “有之则必然，无之则未必不然”， “无之则必不然，有之则未必然”. 这两句话蕴含什么逻辑关系呢?这就是本节我们所要探讨的内容. 学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念. 2.结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法. 3.会利用充分条件、必要条件、充要条件求参数（范围）. 新知学习 探究 一 充分条件与必要条件 有如图所示的电路图. 思考．开关闭合时灯一定亮吗？从数学的角度如何描述这种关系？ 提示开关闭合时灯一定亮；开关闭合是灯亮的充分条件. ［知识梳理］ 命题真假 “若,则”为真命题 “若,则”为假命题 推出关系 ①_ _ _ _ ②_ _ _ _ 条件关系 是的③_ _ _ _ 条件 是的④_ _ _ _ 条件 不是的⑤_ _ _ _ 条件 不是的⑥_ _ _ _ 条件 【答案】； ； 充分； 必要； 充分； 必要 ［例1］ （对接教材例1、例2）下列各题中，哪些是的充分条件？哪些是的必要条件？ （1） 四边形为菱形，四边形为平行四边形； （2） ，; （3） ,. 【答案】 （1） 【解】因为四边形 为菱形 四边形 为平行四形，即， 所以 是 的充分条件. 因为四边形 为平行四边形 四边形 为菱形，即， 所以 不是 的必要条件. （2） 因为,即, 所以 是 的充分条件. 因为,即， 所以 不是 的必要条件. （3） 若，则, 所以， 所以 不是 的充分条件. 若，则，所以， 所以 是 的必要条件. 充分条件与必要条件的判断方法 （1）判断是的什么条件，主要判断若成立时，能否推出成立，反过来，若成立时，能否推出成立.若为真，则是的充分条件，若为真，则是的必要条件. （2）除了用定义判断外，还可以利用集合间的关系判断，由构成的集合为，由构成的集合为，若，则是的充分条件;若，则是的必要条件. ［跟踪训练1］． （1） 已知，，是实数，下列命题结论正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “四边形为菱形”是“四边形的对角线垂直”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的必要条件 （2） “”是“”的_ _ _ _ 条件，“”是“”的_ _ _ _ 条件.（用“充分”“必要”填空） 【答案】（1） C （2） 必要；充分 【解析】 （1） 选.对于，当，时，满足，但是，所以充分性不成立；对于，四边形的对角线垂直不能推出该四边形为菱形，所以必要性不成立；对于，由 得，则 成立，所以充分性成立；对于，当，时，满足，但是，所以必要性不成立，故“”不是“”的必要条件.故选. （2） 由于,所以“”是“”的必要条件，“”是“”的充分条件. 二 充要条件 给出下面两个“若，则”形式的命题： （1）若，则； （2）若，则. 思考1．能判断这两个命题的真假吗？ 思考2．若，，则是的什么条件？ 思考3．命题（1）与命题（2）有什么关系？ 【答案】思考1 提示 （1）是真命题；（2）是真命题. 思考2 提示 由命题（1）知是的充分条件；由命题（2）知是的必要条件. 思考3 提示 互为逆命题. ［知识梳理］ 1．充要条件 一般地,如果①_ _ _ _ _ _ _ _ ,且②_ _ _ _ _ _ ,那么称是的充分且必要条件,简称为是的③_ _ _ _ 条件，也称的充要条件是，记作④_ _ _ _ _ _ ,称为“与等价”，或“等价于”. 【答案】； ； 充要； 2．对充分条件和必要条件的进一步划分 条件与结论的关系 结论 ,且 是的⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 条件 ,且 是的⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 条件 ,且,即 是的⑦_ _ _ _ 条件 ,且 是的⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 条件 【答案】充分且不必要； 必要且不充分； 充要； 既不充分又不必要 角度1 充要条件的判断 ［例2］ （对接教材例3）指出下列命题中，是的什么条件. （1） ，，中至少有一个不为零； （2） ，； （3） ，； （4） 是偶数，是偶数；是偶数. 【答案】 （1） 【解】因为，， 所以 是 的充分且不必要条件. （2） 因为，， 所以，所以 是 的充要条件. （3） 由，得 且，又，所以 是 的必要且不充分条件. （4） 当 是偶数，是偶数时，是偶数，反之不成立，如，，，所以 是 的充分且不必要条件. 判断充要条件的三种方法 （1）定义法：直接判断“若，则”以及“若，则”的真假. （2）集合法：即利用集合的包含关系判断.如果条件和结论相应的集合分别为和，那么若，则是的充分条件；若，则是的必要条件；若，则是的充要条件. （3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由，可得；充要条件也有传递性. 角度2 充要条件的证明 ［例3］ 求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 【证明】（1）充分性：因为，所以方程 的判别式，且， 所以方程 有两个同号且不相等的实根. （2）必要性：若方程 有两个同号且不相等的实根，分别设为，， 则有 解得. 综合 知，方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 充要条件的证明思路 在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时，要注意：若证明“的充要条件是”，那么“充分性”是，“必要性”是；若证明“是的充要条件”，则与之相反. 注意 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向. ［跟踪训练2］． （1） 下列选项中，使成立的一个必要且不充分条件是（ ） A. B. C. D. （2） 已知，，均为实数，证明“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件. 【答案】（1） B （2） 证明：充分性：因为，所以，所以方程 为一元二次方程，且，所以 有两个不相等的实数根，分别设为，.因为，所以，所以，为一正一负，即 有一正根和一负根. 必要性：因为 有一正根和一负根， 所以， 所以方程 为一元二次方程. 设两个根分别为，， 则，所以. 综上知，“”是“关于 的方程 有一正根和一负根”的充要条件. 【解析】 （1） 选.不等式，解得，根据充分条件、必要条件的定义可知： 对于，是 成立的充要条件，错误； 对于，，则 是 成立的一个必要且不充分条件，正确； 对于，，则 是 成立的一个充分且不必要条件，错误； 对于，与 没有包含关系，则 是 成立的既不充分又不必要条件，错误. 三 由充分条件、必要条件求参数范围 ［例4］ 已知,，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解】 因为 是 的必要不充分条件，所以 是 的充分不必要条件， 即, 故有 或 解得. 又，所以实数 的取值范围为. 母题探究．本例中,不变，是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解：不存在.理由如下：若 是 的充要条件，则 方程组无解.故不存在实数,使得 是 的充要条件. 由条件关系求参数的值（范围）的步骤 （1）根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系； （2）根据集合端点,数形结合列方程或不等式（组）求解. ［跟踪训练3］．已知,. （1） 当为何值时，是的充分不必要条件？ （2） 当为何值时，是充要条件？ 【答案】 （1） 解：因为 是 的充分不必要条件，所以,且,所以. 所以当 时,是 的充分不必要条件. （2） 因为 是 的充要条件， 所以, 所以. 所以当 时，是 的充要条件. 课堂巩固 自测 1．设，则“”是“”的（ ） A. 必要且不充分条件 B. 充分且不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】选.“” “”，反之不成立.所以“”是“”的充分且不必要条件.故选. 2．（多选）已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选.对于选项，若，则有，又当，有，所以选项 正确； 对于选项，若，则有，又当，有，所以选项 正确； 对于选项，若，则，可得到，但，得不出，即得不出，所以选项 不正确； 对于选项，，则有，得不出，所以选项 不正确.故选. 3．写出的一个必要且不充分条件:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（答案不唯一） 【解析】由，得， 则 不能推出，能推出， 则 是 的必要且不充分条件，即 的一个必要且不充分条件是. 4．若“”是“”的充分且不必要条件，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为“”是“”的充分且不必要条件，所以，则,解得. 1.已学习：（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件. 2.须贯通：（1）充分条件、必要条件、充要条件的判断方法:定义法、集合法、传递法； （2）根据充分、必要条件求参数的值（范围）. 3.应注意：（1）充分条件、必要条件不唯一； （2）求参数范围时，要注意能否取到端点值. 课后达标 检测 A 基础达标 1．“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 既不充分又不必要条件 C. 充要条件 D. 必要且不充分条件 【答案】D 【解析】选.由 得，所以，所以 是 的必要且不充分条件. 2．“三角形有两边上的高相等”是“这个三角形为等腰三角形”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】选.当三角形两边上的高相等时，由三角形面积公式可得这两边也相等，所以这个三角形为等腰三角形，当三角形为等腰三角形时，同样由三角形的面积公式可知，两腰上的高相等，所以“三角形有两边上的高相等”是“这个三角形为等腰三角形”的充要条件.故选. 3．已知集合,，，3，，则“”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分条件又是必要条件 【答案】A 【解析】选.若,则有 且,所以 或，故当 时，有，而 时，不一定是1，故“”是“”的充分条件，不是必要条件. 4．使“”成立的一个充分且不必要条件是（ ） A. B. 或 C. ，3， D. 或 【答案】C 【解析】选.选项中只有，3，是使“”成立的一个充分且不必要条件. 5．（多选）的一个必要且不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选.由于，而反之不成立；，反之不成立，故，是 的必要且不充分条件；经分析，选项，均不符合题意.故选. 6．（多选）下列说法中正确的有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “或”是“”的充要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】选.对于，“”成立时，“”不一定成立，故 错误.对于，,或,所以“”是“”的充分不必要条件，故 正确.对于，的两个根为2，，故 正确.对于，取，，则,但,所以“”不能推出“”；取,,则,但,所以“”也不能推出“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故 错误.故选. 7．若“”是“”的必要且不充分条件，且，则的取值可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】2（答案不唯一，满足且均可） 【解析】因为“”是“”的必要且不充分条件，则，又，所以 且，故 可取2. 8．已知条件，，是的必要条件，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】已知条件，，设集合，. 因为 是 的必要条件，所以， 所以，解得. 9．“方程没有实数根”的充要条件是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为方程 没有实数根，所以，解得，因此“方程 没有实数根”的必要条件是.反之，若，则，方程 无实数根，从而充分性成立.故“方程 没有实数根”的充要条件是“”. 10．（13分）下列各题中，是的什么条件？ （1） ，；（4分） （2） 三角形为等腰三角形，三角形存在两角相等.（4分） （3） 为空集，与之一为空集.（5分） 【答案】 （1） 解：因为， . 所以 是 的必要且不充分条件. （2） 由三角形为等腰三角形等价定义可知,可互相推出，因此 为 的充要条件. （3） 为空集，则，无公共元素，但不一定是空集，若，之一为空集，则 为空集，因此 为 的必要不充分条件. B 能力提升 11．“函数的图象在轴的上方”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】选.因为函数 的图象在 轴的上方，所以,解得,由集合的包含关系可知选. 12．下列选项中，是“ 是集合,的真子集”成立的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.若“ 是集合,}的真子集”,则, ，所以方程 有实数解，当 时，由 可得，符合题意;当 时，由 可得，所以 且.综上所述，, 的充要条件为,即“ 是集合,}的真子集”成立的充要条件为.根据题意，即求 的必要不充分条件，故，，错误，正确.故选. 13．设，一元二次方程有整数根的充要条件是_ _ _ _ . 【答案】3或4 【解析】一元二次方程的根为， 因为 是整数，即 为整数， 所以 为整数，且， 又，取,2,3,4. 验证可得 或4，符合题意， 所以 或4时，可以推出一元二次方程 有整数根. 14．（13分）已知集合或,. （1） 求实数的取值范围，使它成为的充要条件；（6分） （2） 求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件.（7分） 【答案】 （1） 解：的充要条件是,所以实数 的取值范围是. （2） 结合数轴可知 时符合题意，则实数 的取值范围是. C 素养拓展 15．（15分）“关于的方程有实数根”是“”的什么条件？请证明你的结论. 解：必要不充分条件.证明如下： 先证充分性不成立： 取，,此时方程 有实数根，但此时，因此充分性不成立.再证必要性成立： 当 时，恒成立，所以方程 有实数根，即必要性成立. 所以“关于 的方程 有实数根”是“”的必要不充分条件. 学科网（北京）股份有限公司 $