1.3 交集、并集-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学交集、并集核心知识点，从运动会报名统计的实际问题导入，通过观察集合公共元素与合并元素抽象出概念，结合定义法、数形结合法（数轴、Venn图）掌握运算及性质，延伸至区间表示、容斥原理及参数问题，构建“概念-运算-应用”的学习支架。 以现实情境激发兴趣，培养用数学眼光观察现实世界的习惯，通过思考探究与例题分析发展数学思维，借助数轴、Venn图直观表达数学关系，课中助力教师引导学生主动探究，课后分层达标检测帮助学生巩固知识，弥补学习盲点。

1.3 交集、并集 新课导入 学校举行秋季运动会，高一（1）班的同学们积极踊跃报名参赛，有的跳远，有的跳高，有的接力，有的百米 ，班主任统计发现，第一组的同学每人至少报了一个项目，那如何统计参赛一项、两项甚至三项的同学呢？这节我们就学习集合间的运算问题. 学习目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集. 2.能使用图表示集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 3.掌握区间是表示集合的另一种方法，并会用区间表示集合. 新知学习 探究 一 交集 观察集合，2，，，3，，，，，，回答下面的问题. 思考1．集合与集合有公共元素吗？公共元素组成的集合是什么？ 思考2．集合，，中的元素与集合，有什么关系？ 思考3．集合与集合，有什么区别？ 【答案】思考1 提示 有公共元素，组成的集合是，. 思考2 提示 既属于，又属于. 思考3 提示 集合中的元素是由既属于，又属于的所有元素组成的，集合，中的元素是由既属于，又属于的其中一个元素组成的. ［知识梳理］ 文字语言 由所有属于集合①_ _ _ _ 属于集合的元素构成的集合,称为与的交集,记作②_ _ _ _ _ _ ,读作“交” 符号语言 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 图形语言 的性质 ④_ _ _ _ _ _ ；,, 【答案】且； ； ,且； ［例1］ （1） [（2024·天津卷）]已知集合，2，3，，，3，4，，则（ ） A. ，2，3， B. ，3， C. ， D. （2） 设集合,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） A 【解析】 ［例1］ 则由交集的定义可得.选. （1） 因为,,所以. （2） 在数轴上表示出集合 与，如图. 编辑作答空间顺序 交集运算的方法和注意点 （1）求集合交集的运算方法有定义法、数形结合法. （2）若，是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示. 常用结论 若，则；若，则；； . ［跟踪训练1］． （1） 已知集合,,,2,，则（ ） A. , B. C. D. （2） 已知集合，集合，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.因为,,,2,，故. （2） 集合，集合，所以. 二 并集 请同学们观察下列三组集合： ①，，，，，0，1，； ②是偶数，是奇数，是整数}； ③，，，3，，，2，3，. 思考1．集合中的元素与集合，中元素的关系是什么？ 思考2．①中集合的元素个数等于集合，的元素个数的和吗？③中呢？ 【答案】思考1 提示 集合中的元素是由所有属于或属于的元素组成. 思考2 提示 ①中等于，③中不等于. ［知识梳理］ 文字语言 由所有属于集合①_ _ _ _ 属于集合的元素构成的集合,称为与的并集,记作②_ _ _ _ _ _ _ _ ,读作“并” 符号语言 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 图形语言 的性质 ；,,, 【答案】或者； ； ,或 ［例2］ （1） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知集合，，，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） D 【解析】 （1） 由集合的并运算，得. （2） 因为，则,，且集合，，所以，,结合选项可知，，错误，正确. 并集的运算技巧 （1）若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性. （2）若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解.但要注意端点值的取舍. （3）在进行集合运算时，若条件中出现或，应转化为，然后用集合间的关系解决问题，并注意 的情况. 常用结论,. （2）若,则,反之也成立，即若，则. ［跟踪训练2］． （1） （多选）满足，，3，的集合可能是（ ） A. B. ， C. ， D. ，3， （2） 若集合,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） ABD （2） 【解析】 （1） 选.由，，3，，知，3，，且 中至少有1个元素5.故选. （2） 在数轴上表示出集合 与，如图所示，故. 三 交集与并集的综合应用 角度1 集合的交、并、补的综合运算 ［例3］ （1） [（2024·全国甲卷）]已知集合,，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知全集，集合，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） ，或； 【解析】 （1） 由题意可得,,则.故选. （2） 根据题意，画出数轴， 由图1可得，或. 由图2可得，或. 所以，或， . 解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于图来求解. （2）如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意端点值问题. 角度2 根据交集与并集运算求参数 ［例4］ 已知集合,集合,且,求实数的取值范围. 【解】 当 ，即 时，,满足； 当 时，要使,即， 只需 解得. 综上可知，实数 的取值范围是. 母题探究1．把本例条件“”改为“”，试求实数的取值范围. 解：由，可知. 所以 即 所以 .所以实数 的取值范围为 . 母题探究2．把本例条件“”改为“”,求的值. 解：由题意可知 解得. 利用集合间的关系求参数的一般步骤 （1）若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系. （2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）. （3）解方程（组）或不等式（组），从而确定参数的值或取值范围. ［跟踪训练3］． （1） 设全集，，3，，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. （2） 已知集合，,}.若 ，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.由题意得，题图中阴影部分所表示的集合是. （2） 因为，,}且 ， 所以. 四 区间的表示方法 ［知识梳理］ 设，，且. 区间 集合 名称 数轴表示 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 闭区间 ②_ _ _ _ _ _ _ _ 开区间 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 左闭右开区间 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 左开右闭区间 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 开区间 ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 开区间 ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 开区间 【答案】； ； ； ； ； ； ［例5］ 把下列数集用区间表示： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ，或. 【答案】（1） 【解】. （2） . （3） . （4） ，或. 用区间表示数集的方法 （1）区间左端点值小于右端点值. （2）区间两端点之间用“，”隔开. （3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号. ［跟踪训练4］． （1） 不等式的所有解组成的集合表示成区间是（ ） A. B. C. D. （2） 已知区间，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） , 【解析】 （2） 由，得. 培优点 容斥原理及其应用 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有限集合，， ，，将中的元素个数记为. 关于集合中的元素个数有下面的关系（也称容斥原理） 二元容斥原理； 三元容斥原理. ［典例］ 为提升学生学习双语的热情某教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”、“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了均不擅长的同学的人数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， 所以， 所以， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为. ［练习］．小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为_ _ _ _ . 【答案】46 【解析】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为,,， 喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为， 喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图， 则 后三个方程相加得，与第一个方程消去 得， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为. 课堂巩固 自测 1．已知集合,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由,即可得. 2．（多选）图中阴影部分用集合表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选.根据题图可知，阴影部分表示的集合是， 所以,正确,错误， 而，不符合题意，错误. 3．（教材P16T6改编）设全集,集合，,,},则（ ） A. ,} B. ，} C. ,｝ D. 【答案】A 【解析】选.通解（列举法）： ,,1,4,7,10,, ,,2,5,8,11,,所以 ,,,1,2,4,5,7,8,10,11,,所以 ,,0,3,6,9,,其元素都是3的倍数，即,｝.故选. 优解（描述法） 集合 表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.故选. 4．已知集合,,，全集为实数集. （1） 求，； （2） 若 ，求实数的取值范围. 【答案】 （1） 解：因为， ， 所以. 因为， 所以，或， 所以，或. （2） 如图所示，当 时， . 所以实数 的取值范围为. 1.已学习：（1）交集、并集的概念、运算及性质. （2）区间及其表示. 2.须贯通：利用图或数轴进行集合的运算；求参数用到分类讨论思想. 3.应注意：由交集、并集的关系求解参数时要注意对空集及区间端点的讨论. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】选.由题意集合，，根据并集的定义可知，. 2．已知集合，，0，1，，，则（ ） A. ，，0， B. ，1， C. D. 【答案】C 【解析】选.由于，所以，排除，；由于，所以，排除.故选. 3．已知实数集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，则， 又，则. 4．[（2025·常州期中）]设全集，集合，,，则集合中的元素个数有（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】选.因为全集，， 所以， 又因为,，故. 因此，集合 中的元素个数为3. 5．已知集合,，且 ,则实数应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为集合,, ,所以. 6．（多选）如图所示，全集，,，则下列说法正确的是（ ） A. 阴影部分表示的集合是的子集 B. 阴影部分表示的集合是的子集 C. 阴影部分表示的范围是 D. 阴影部分表示的范围是 【答案】BC 【解析】选.由题图可知，阴影部分表示的集合是，且 是 的子集，故 错误，正确； 因为，所以，又，所以，故 正确，错误. 7．设全集，，，则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，， 所以. 又因为， 所以. 8．已知集合,，,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意，联立 解得 所以. 9．已知集合,,且,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .（用区间表示）. 【答案】 【解析】因为，画出数轴（图略）可知表示实数 的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边， 所以. 10．（13分）已知集合, （1） 求,；（6分） （2） 求,（7分） 【答案】（1） 解：由条件可得,. （2） 或， 所以, 或. B 能力提升 11．（多选）已知集合,，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时，的取值范围是或 【答案】AB 【解析】选.， 当 时，， 则，故 正确； 或，，故 正确； 当 时，，不是 的子集，故 错误； 当 时，，即有 无解，故 错误. 12．某校有26名学生参加了数学小组，17名学生参加了物理小组，10名学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购_ _ _ _ 张车票. 【答案】32 【解析】依题意，得如图所示的 图， 参加数理化竞赛的学生共有（人），所以需要预购32张车票. 13．（13分）已知，，其中. （1） 当时，求和；（6分） （2） 若，求实数的取值范围.（7分） 【答案】 （1） 解：当 时，， 所以，. （2） 若，则，则 解得.故实数 的取值范围是. 14．（13分）已知集合，.若 ，求实数的取值范围. 解：因为 ，所以， ①当 时，，即，成立； ②当 时，由，有，解得， 所以实数 的取值范围为. C 素养拓展 15．（多选）设全集，不大于的最大整数为，如.已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.因为，所以 或，故 正确； 又因为，即，故 错误， 可得，，故 错误,正确. 学科网（北京）股份有限公司 $