1.2 子集、全集、补集-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦子集、真子集、全集、补集核心知识点，从集合间基本关系（子集、真子集）到全集与补集，再到综合应用（求参数）递进，通过情境思考、知识梳理表格、例题解析及跟踪训练搭建学习支架。 以开学季班级、赛事运动员等现实情境导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，结合Venn图、数轴直观图示及分层例题（含母题探究）与检测（A/B/C级），提升数学思维能力，课中助教师高效授课，课后便于学生回顾强化、弥补盲点。

1.2 子集、全集、补集 新课导入 本年开学季，某校新招的高一18个班的新生组成集合，其中高一（1）班的50位新生组成集合,那么，集合与集合有什么关系？这就是本节课我们所要学习的集合间的关系. 学习目标 1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2.了解全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 3.能理解用图表示集合的基本关系，体会图对理解抽象概念的作用. 新知学习 探究 一 子集与真子集 某国际赛事中，假设全部参赛运动员组成集合，中国参赛运动员组成集合. 思考1．集合中的任何一个元素都是集合中的元素吗？ 思考2．集合中的任何一个元素都是集合中的元素吗？ 【答案】思考1 提示 不一定. 思考2 提示 都是. ［知识梳理］ 类别 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合的①_ _ _ _ _ _ _ _ 元素都是集合的元素（若,则）,那么集合称为集合的子集 ②_ _ _ _ 或③_ _ _ _ ，读作“集合包含于集合”或“集合包含集合” 真子集 如果,并且④_ _ _ _ _ _ ,那么集合称为集合的真子集 ⑤_ _ _ _ 或⑥_ _ _ _ ，读作“真包含于”或“真包含” 子集性质 （1）任何一个集合是它本身的⑦_ _ _ _ ,即⑧_ _ _ _ . （2）对于集合,,,如果,且,那么⑨_ _ _ _ _ _ . （3）空集是任何集合的⑩_ _ _ _ ，是任何非空集合的⑪_ _ _ _ _ _ . 【答案】任意一个； ； ； ； ；； 子集； ； ； 子集； 真子集 ［例1］ （对接教材例1、例3）判断下列各组集合中,是否为的子集. （1） ，0,，,，0,1，； （2） ，； （3） ，； （4） ，，，}. 【答案】（1） 【解】因为,,,即集合 的每一个元素都是 的元素，所以 是 的子集. （2） 集合 的元素是数，集合 的元素是有序实数对，故 不是 的子集. （3） 集合，用数轴表示集合，，如图所示，由图可知 是 的子集. （4） 集合,1,3,，集合,3,5,，故 不是 的子集. 母题探究．本例中，对于集合是集合的子集的情况，指出哪些是真子集？ 解：中，集合 是集合 的真子集. （1）判断集合关系的方法 ①观察法：一一列举观察. ②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. ③数形结合法：利用数轴或图. （2）求有限集的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集： 和集合本身. ②按集合中含有元素的个数由少到多分类，一一写出，保证不重不漏. 常用结论 假设集合中含有个元素，则有：的子集有个；的非空子集有个；的真子集有个. ［跟踪训练1］． （1） 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. （2） 写出集合的所有非空子集_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） ，，，,，,，，,1, 【解析】 （1） 选. 是无理数，所以 选项错误；空集是任何集合的子集，所以 选项正确. 集合 与集合 的元素不相同，所以没有包含关系，所以 选项错误. ，所以 选项错误. （2） ,1,， 其所有非空子集有，，，,，,，，,1,. 二 补集 思考．在某次数学模拟考试中，单选题的第8题有四个选项，某同学求不出正确答案，但明显知道其余三个是错误的，那她能做对这道题目吗？理由是什么？这就是这节课我们所要学习的新知识. 提示 能. ［知识梳理］ 1．全集 （1） 定义:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的①_ _ _ _ _ _ _ _ ,那么就称这个集合为全集. （2） 记法:全集通常记作②_ _ _ _ . 【答案】（1） 所有元素 （2） 2．补集 定义 文字语言 设，由中③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的所有元素组成的集合称为的子集的补集 符号语言 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 图形语言 性质 ,; ⑤_ _ _ _ _ _ ; ⑥_ _ _ _ ，⑦_ _ _ _ 【答案】不属于； ,且； ； ； ［例2］ （1） 设集合，，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知全集，集合，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） ，或 【解析】 （1） 因为集合，，所以. （2） 将集合 和集合 分别表示在数轴上，如图所示. 由补集的定义可知，或. 求集合的补集的方法 （1）定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解. （2）图法：借助图可直观地求出全集及补集. （3）数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题. ［跟踪训练2］． （1） [（2025·南通月考）]已知全集,,0,,，则（ ） A. , B. , C. , D. , （2） 已知全集，集合，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） ，或 【解析】 （1） 选.因为,,0,，,所以,. （2） 借助数轴（图略）得，或. 三 根据子集或补集求参数 ［例3］ 已知集合,或,. （1） 求； （2） 若,求实数的取值范围. 【答案】 （1） 【解】因为,或， 所以. （2） 因为, 所以 ， 因为, 所以 解得. 即实数 的取值范围为. 母题探究．本例中集合，不变，若，求实数的取值范围. 解：若，则 或，即 或，故实数 的取值范围为，或. 由子集或补集求参数的方法 （1）当集合为不连续数集时，常根据子集或补集的定义，建立方程求解，此时应注意分类讨论. （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实心点还是空心点. （3）不能忽视集合为 的情形，当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. ［跟踪训练3］． （1） 已知集合，.若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. （2） 已知集合,或，若中恰好含有2个整数，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.当 时，满足，此时，解得； 当 时，由 得 解得. 综上所述，实数 的取值范围为. （2） 根据题意，知，则.若 中恰好含有2个整数，则. 课堂巩固 自测 1．已知集合,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为,，则，，，，故 正确，，，均错误. 2．（教材（4）改编）若全集，集合，则（ ） A. ,或 B. ,或 C. ,或 D. ,或 【答案】B 【解析】选.全集，集合，则，或. 3．（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】ABD 【解析】选.由，得到 或，即,，因为，由，当 时，无解，此时 ，满足题意； 当 时，得到，所以 或，得到 或. 综上所述，实数 的值为0，，. 4．已知集合,，,，则与之间最适合的关系是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得，集合 是能被3整除的整数组成的集合，集合 是能被6整除的整数组成的集合，所以. 5．若全集且，则集合的真子集共有_ _ _ _ 个. 【答案】7 【解析】因为 且,，所以，共有3个元素，所以 的真子集有（个）. 1.已学习：（1）子集、真子集.（2）全集和补集. 2.须贯通：利用图理解子集与全集、补集的概念；利用数形结合、分类讨论思想求解参数问题. 3.应注意：不要忽略空集的情况；求参数的取值范围时，注意端点的取舍. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由已知，因此，错误，表达方式错误，正确. 2．已知全集，，则（ ） A. ，或 B. ，或 C. ，且 D. ，且 【答案】A 【解析】选.因为全集，，所以，或. 3．若全集，且，，则集合的真子集共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】选.由题意得， 所以， 其真子集有（个）. 4．设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】选.依题意，有 或.当 时，解得,此时,,，不满足;当 时，解得,此时,,,0,，满足.所以.故选. 5．已知全集，，或,,且,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为，或, 所以, 因为 且,所以. 6．（多选）设全集，，，，，则的值是（ ） A. 2 B. 8 C. D. 【答案】AB 【解析】选.由题意得，,5,7,，所以，解得 或. 7．[（2025·天津期中）]已知集合，则写出集合的所有子集_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ，，， 【解析】因为， 所以集合 的子集有： ，，，. 8．若是集合的真子集，则的值为_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】由题意知集合 为空集，则，即. 9．已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得，，如图所示. 因为，所以. 10．（13分）已知集合,且,,,,.是否存在实数，使得?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 解：假设存在这样的实数. 对于集合,因为,且, 即, 所以，且. 对于集合，因为,且, 所以当 时，; 当 时，; 当 时，. 当 时,要使, 则,即,矛盾； 当 时，要使， 则有,即； 当 时，要使,则有, 即,无解. 综上所述，存在，使得. B 能力提升 11．已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】选， 则，即， 所以满足条件的集合 有,,,,，,，共7个. 12．已知全集,,是的非空子集，且，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.依据题意画出 图， 观察可知，. 13．[（2025·连云港期中）]已知集合,,,的所有非空真子集的元素之和为，则_ _ _ _ . 【答案】290 【解析】集合,,,的所有非空真子集有，，，，,，,，,，,，,，,，,,，,,，,,，,,， 所以有， 解得. 14．[（2025·德州期末）]（13分）已知集合，. （1） 若集合,,且,求实数的值；（6分） （2） 若集合,且,求实数的取值范围.（7分） 【答案】 （1） 解：由集合，,,且, 所以可得 此时方程组无解； 或 解得. 所以实数 的值为5. （2） 当集合, 且 时,若 ， 则 解得； 当 时，若，则，，此时,，不满足； 若，则，此时，满足. 综上可知，实数 的取值范围为 或. C 素养拓展 15．（15分）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为，且.类似地，对于集合，，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作.据此回答下列问题： （1） 在下列各图中用阴影表示出集合；（5分） （2） 若，，求；（5分） （3） 若集合，，集合，有 ，求实数的取值范围.（5分） 【答案】 （1） 解：如图所示： （2） 根据题意知，. （3） 因为 ，所以. 又， ， 且， 所以，即. 所以实数 的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $