1.1 集合的概念与表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦集合的概念与表示核心知识点，从生活分类实例导入，系统梳理元素与集合的概念、关系（属于/不属于）、表示方法（列举法、描述法）及元素特性（确定性、互异性），构建“实例-概念-表示-应用”的学习支架。 以生活实例（如图书馆书籍分类）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题探究（如判断对象是否构成集合）培养推理意识，多样表示训练数学语言表达。课中即时练强化理解，课后分层检测助学生查漏补缺，提升学习效果。

第1章 集合 1.1 集合的概念与表示 新课导入 在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类.例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的;三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.学习了集合、元素等概念，我们就会对事物的分类有更清晰的认识. 学习目标 1.了解集合与元素的概念. 2.理解元素与集合的关系，掌握常见数集的表示方法. 3.理解集合中元素的特性，并能利用它们进行解题. 新知学习 探究 一 元素与集合 研究下面的例子，回答问题： （1）2025级聪明的学生； （2）的近似值； （3）直角坐标系中横坐标与纵坐标相等的所有点； （4）所有奇数. 思考1．以上各例的研究对象是什么？ 思考2．哪个例子中的对象划分标准不确定？ 思考3．（3）、（4）例子中的对象有什么共同特征？ 【答案】思考1 提示 分别研究学生、近似值、点、奇数. 思考2 提示（1）、（2）所指对象不确定，“聪明”与“近似”这些概念界限不清晰. 思考3 提示 两个例子中的研究对象都很明确，且均指“所有的”，即某种研究对象的全体. ［知识梳理］ 1．元素 【答案】每一个对象； ，， 2．集合 【答案】确定的； 不同的； ,, ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 集合中的元素一定是数.（ ） （2） 参加2025年哈尔滨亚洲冬季运动会闭幕式的全体人员是一个集合.（ ） （3） 由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合.（ ） （4） 一个集合中可以找到两个相同的元素.（ ） 【答案】（1） × （2） √ （3） √ （4） × 2．（多选）下列对象能构成集合的有（ ） A. 接近于2 025的所有正整数 B. 小于的实数 C. 未来10年内的房价趋势 D. 点与点 【答案】BD 【解析】选.对于，接近于2 025的所有正整数的标准不明确，不能构成集合； 对于，小于 的实数是确定的，能构成集合； 对于，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合； 对于，点 与点 是两个不同的点，是确定的，能构成集合. 3．英文单词的所有字母组成的集合共有_ _ _ _ 个元素. 【答案】6 【解析】英文单词 中不同的字母有，，，，，，共6个，故所有字母组成的集合共有6个元素. 一组对象能构成集合的两个条件 （1）能找到一个明确的标准，使得对于任意一个对象，都能确定它是不是给定集合中的元素. （2）该组中各个对象是不同的. 二 元素与集合之间的关系 ［知识梳理］ 1．常用的数集及其记法 常用的数集 非负整数集（或自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ①_ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ③_ _ _ _ ④_ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； 或； ； ； 2．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 是集合的元素 ⑥_ _ _ _ 属于 不属于 不是集合的元素 ⑦_ _ _ _ 或 不属于 【答案】； ［例1］ （1） 已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 （2） 用符号“ ”或“ ”填空： _ _ _ _ ；_ _ _ _ ；_ _ _ _ ； _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） ；；； 【解析】 （1） 由，解得，因为，，故，且. （2） 因为 为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集， 所以；；；. 判断元素和集合之间关系的方法 （1）直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可. （2）推理法:首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. ［跟踪训练1］． （1） （多选）下列元素与集合的关系判断正确的是（ ） A. B. C. D. （2） 若是16和24的公约数组成的集合，用符号“ ”或“ ”判断下列元素与集合的关系： 8_ _ _ _ ；3_ _ _ _ ；2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） BD （2） ；；【解析】 （1） 选.因为 为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，所以，错误；，正确；，错误；，正确. （2） 根据题意，集合 中的元素有1，2，4，8，所以;;. 三 集合的表示 观察下列两个集合： （1）中华人民共和国国旗上所有颜色组成的集合； （2）十二生肖组成的集合. 思考．上述集合与除了用自然语言描述外，还有更简单明了的表示方式吗？如何表示？ 提示 可以，两个集合可以这样表示，如红色，黄色}；鼠，牛，虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪}. ［知识梳理］ 1．列举法：将集合的元素①_ _ _ _ _ _ _ _ 出来，并置于花括号“”内的表示集合的方法叫作列举法. 【答案】一一列举 2．描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的形式，这样表示集合的方法称为描述法. 【答案】 3．为了直观地表示集合，我们常画一条③_ _ _ _ 的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为④_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】封闭； 图 4．集合的分类 按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集. （1）一般地，含有⑤_ _ _ _ 个元素的集合称为有限集，含有⑥_ _ _ _ 个元素的集合称为无限集. （2）不含⑦_ _ _ _ 元素的集合称为空集，记作⑧_ _ _ _ . 【答案】有限； 无限； 任何； 5．集合相等 如果两个集合所含的元素⑨_ _ _ _ _ _ _ _ （即中的元素都是的元素，中的元素也都是的元素），那么称这两个集合相等. 【答案】完全相同 ［例2］ （对接教材例1、例2）用适当的方法表示下列集合： （1） 由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； （2） 方程的实数根组成的集合； （3） 方程组的解集； （4） 二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】（1） 【解】小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，故可用列举法表示为. （2） 方程 的实数根为2，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为,}. （3） 解方程组 得 故解集可用描述法表示为， 也可用列举法表示为. （4） 二次函数 的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中，满足，由于点有无数个，则用描述法表示为，}. （1）用列举法表示集合的注意点 ①把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次. ②这里“”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等. （2）利用描述法表示集合的注意点 ①写清楚该集合代表元素的符号. ②所有描述的内容都要写在花括号内. 注意 用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、准确的语言描述集合的特征性质. ［跟踪训练2］．用适当的方法表示下列集合： （1） 方程的根的集合； （2） 不等式的解集； （3） 方程，，的解集； （4） 平面直角坐标系中第三象限内的点组成的集合. 【答案】（1） 解：由 可得 或，所以方程 的根的集合为,. （2） 由 可得, 所以不等式 的解集为，. （3） 描述法：，，; 列举法：因为方程的解为 或 或 或 用列举法表示为，，，. （4） 平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标为负，纵坐标为负，即，，故第三象限内的点的集合为，，，. 四 集合中元素的特性及应用 ［例3］ [（2025·连云港月考）]已知集合中含有两个元素和，若，则实数的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】若， 则 或， 当 时，， 不符合集合中元素的互异性， 所以； 当 时，， 因为，所以， 此时集合 中含有两个元素1，，符合集合中元素的互异性. 综上所述，. 母题探究．若本例条件变为“已知集合中含有两个元素1和，若”，求实数的值. 解：由 可知，或. 当 时，此时，与集合中元素的互异性矛盾，所以；当 时，或（舍去），当 时，经检验，符合题意.综上可知，. 集合中元素的特性的应用策略 应用集合中元素的特性时，我们要利用集合中元素的确定性（元素相同）找到解题的“突破口”；还要注意检验元素是否满足互异性. ［跟踪训练3］． （1） 已知集合,1,，,1,，若，则（ ） A. 或3 B. 0或1 C. 3 D. （2） 若一个集合含有两个元素和，则实数需满足_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 且 【解析】 （1） 选.由 有，解得，. 当 时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去. 当 时，，满足题意.综上所述，. （2） 由集合中元素的互异性可得，解得 且. 课堂巩固 自测 1．下列各组对象可以构成集合的是（ ） A. 数学必修第一册课本中所有的难题 B. 小于8的所有素数 C. 直角坐标平面内第一象限的一些点 D. 所有小的正数 【答案】B 【解析】选.对于，“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于，小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于，“小”没有明确的标准，所以不能构成集合. 2．（多选）（教材P7T1改编）下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.对于，是实数， 即，正确； 对于，，错误； 对于，是无理数，所以，正确； 对于，不是 的元素，错误. 3．已知集合，用列举法表示集合_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，可得，，由，可得,3,6，则,2,5，则. 4．已知集合,，若，则实数的值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，则 或.当 时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当 时，或， 当 时，不满足集合中元素的互异性； 当 时，,，符合题意. 综上所述，. 1.已学习：（1）集合的概念、元素与集合的关系. （2）用列举法和描述法表示集合. 2.须贯通：利用集合中元素的特性确定集合；求参数时注意元素的互异性以及分类讨论思想的应用. 3.应注意：重视集合中元素的互异性；注意点集与数集的区别. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下列各组对象不能构成集合的是（ ） A. 上课迟到的学生 B. 小于 的正整数 C. 著名的运动健儿 D. 所有有理数 【答案】C 【解析】选.上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合； 小于 的正整数分别为1,2,3，所以能构成集合； 著名的运动健儿标准不明确，所以不能构成集合； 任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合. 2．若集合,，则集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】选.由,，即，所以集合 中的元素个数为5. 3．已知集合是由大于且小于1的实数构成的集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选，故 错误；，故 错误；1不小于1，故 错误；，故 正确. 4．[（2025·潍坊期中）]若的三边长，，可构成集合，则不可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】选.由题意，根据集合元素的互异性，可得，，互不相等，故 一定不是等腰三角形，所以 不可能是等腰直角三角形. 5．用列举法表示集合为（ ） A. , B. C. , D. 【答案】A 【解析】选.解方程，得 或，所以集合 用列举法表示为,.故选. 6．（多选）已知集合,,，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】BD 【解析】选.由，得 或 或， 解得 或 或， 所以当 时，，，不符合集合中元素的互异性，故 舍去； 当 时，，，，满足题意； 当 时，，，，满足题意. 综上所述，或. 7．已知，，，则实数_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】若，则，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，则，可得 或（舍去），经检验，满足要求.综上，. 8．若,,1,2,，,，用列举法表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为,,1,2,，,，所以. 9．已知集合中有两个元素和，集合中有两个元素0和，若，则_ _ _ _ . 【答案】0 【解析】由于，且, 所以 解得，且符合题意. 10．（13分）用适当的方法表示下列集合： （1） 从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（4分） （2） 方程 的解集；（4分） （3） 由二次函数图象上所有点组成的集合.（5分） 【答案】 （1） 解：当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3； 当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32； 当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312. 由于元素个数有限，故用列举法表示为 ，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，. （2） 由算术平方根及绝对值的意义，可知， 解得 因此该方程的解集为. （3） 此集合应是点集，是二次函数 图象上的所有点， 故用描述法可表示为，. B 能力提升 11．（多选）下列四个说法中正确的是（ ） A. 方程 的解集为, B. 由所确定的实数集合为,0, C. 集合,,}可以表示为,, D. 集合中含有3个元素 【答案】BC 【解析】选.选项,方程的解为 解集为，故 错误； 选项,由 知，， 当，同为正数时，； 当，一正一负时，； 当，同为负数时，， 故由 所确定的实数集合为,0,，故 正确； 选项,,,， ，当 时，；当 时，；当 时，， 故集合}可以表示为,,，故 正确； 选项，,， 当 时，；当 时，；当 时，；当 时，， 故集合,0,1,中含有4个元素，故 错误.故选. 12．若集合，则_ _ _ _ ；_ _ _ _ .（填写“ ”或“ ”） 【答案】； 【解析】由 解得 不满足, 故； 由 解得 满足,故. 13．（13分）已知集合. （1） 若中只有一个元素，求实数的值，并把这个元素写出来；（6分） （2） 若中至多有一个元素，求实数的取值范围.（7分） 【答案】（1） 解：当 时，,此时,此时 中仅有一个元素，满足题意.当 时，,解得,此时方程为,即,则 中仅有一个元素.综上可知，当 时，元素为；当 时，元素为. （2） 由（1）得，当 中有1个元素时，或;当 中没有元素时， ,即,且,解得.综上可知，当 中至多有一个元素时，实数 的取值范围为. 14．（15分）已知集合,，，集合，,,且集合中再没有其他元素属于，能否根据上述条件求出实数的值？若能，则求出的值，若不能，则说明理由. 解：能.因为，所以 或，若，则，此时,9,，,0，，显然 且，与已知矛盾，故舍去.若，则，当 时，,5,，，，，中有两个，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；当 时，，,，，,，符合题意.综上所述，满足条件的 存在，且. C 素养拓展 15．[（2025·苏州月考）]（多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，,1,2,3,4，给出如下四个结论中，正确的是（ ） A. B. C. 若整数,属于同一“类”，则 D. 若，则整数,属于同一“类” 【答案】ACD 【解析】选.对于，，因此，正确；对于，，因此，错误；对于，由,是同一“类”，令，，，,,1,2,3,4,因此，,，正确；对于，若，则令,，即,，不妨令,，,1,2,3,4，于是,,，因此整数,属于同一“类”，正确. 学科网（北京）股份有限公司 $