第18章分式 单元自主提升训题 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册《第18章分式》单元自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．无论x取什么值时，分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 2．某细胞的半径约为0.0000109米，0.0000109用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．根据分式基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 4．如果把分式中的和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 5．已知，则A表示的分式是（   ） A． B． C． D． 6．将关于x的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．新情境  今年的5月12日某校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次多15人，结果1600名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若分式的值为0，则x的值为 ． 9．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 10．化简的结果是 ． 11．已知，则的取值可能是 ． 12．一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要 小时． 13．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距 ． 14．为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，则每个足球的进价是 元． 三、解答题 15．分式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．解下列方程： (1)； (2)． 17．已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 18．先化简，再求值：，其中． 19．甲、乙两位同学同时从学校沿同一路线到离学校2千米的户外拓展中心参加活动．甲同学有一半路程以a（千米/时）的速度行走，另一半路程以b（千米/时）的速度行走；乙同学有一半时间以a（千米/时）的速度行走，另一半时间以b（千米/时）的速度行走，其中． (1)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的时间分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (2)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的平均速度分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (3)请你判断哪位同学先到达户外拓展中心？请说明理由． 20．中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． (1)求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ (2)将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键；此题可根据分式有意义的条件进行排除选项． 【详解】解：A、由无论x取何值时，始终成立，故该选项符合题意； B、当时，即，分式有意义，故该选项不符合题意； C、当时，即，分式有意义，故该选项不符合题意； D、当时，即，分式有意义，故该选项不符合题意； 故选A． 2．D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据科学记数法的表示形式表示即可． 【详解】解：0.0000109用科学记数法表示为：， 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质变形即可． 【详解】解：， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查的知识点是分式的基本性质、解题关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据，判断作答即可． 【详解】解：把分式中的和的值都扩大为原来的倍， 则分式变为， 分式的值扩大为原来的倍． 故选：． 5．A 【分析】本题考查的是分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 6．B 【分析】此题主要考查了解分式方程，将分式方程两边同时乘以即可得解． 【详解】解： 分式方程两边同时乘以得，． 故选：B． 7．A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握“时间 总人数每秒撤离人数”的关系是解题的关键．根据时间 = 总人数÷每秒撤离人数，分别表示出第一次和第二次撤离所用时间，再结合第二次比第一次节省240秒的关系列方程． 【详解】解：由题意得 ，变形为． 故选：A． 8． 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 10．/ 【分析】本题考查了分式的加减法，根据分式的加减法运算法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．或或 【分析】讨论指数式的底数，结合指数运算性质求的取值． 【详解】解：当时，，，满足要求； 当时，，，满足要求； 当，即时，，满足要求； 所以的取值可能是或或， 故答案为：或或． 12． 【分析】该题考查了分式除法的应用，甲单独做一小时可完成工程总量的，乙单独做一小时可完成工程总量的，二人合作一小时可完成工程总量的．工程总量除以二人合作一小时可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需时间． 【详解】解：设该工程总量为1，二人合作完成该工程所需小时． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了分式方程的应用．把代入得到，解分式方程即可． 【详解】解：把代入得：， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 故答案为：． 14．75 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设每个足球的进价是元，根据“用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍”，即可列分式方程求解． 【详解】解：设每个足球的进价是元，则每个篮球的进价为元， 则， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即每个足球的进价是元， 故答案为：． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘方和四则混合运算，熟练掌握分式的乘方和四则混合运算的法则是解题的关键， （1）先计算分式的乘方，再根据乘除运算法则逐步化简即可得到答案； （2）先利用完全平方公式和提公因式分解因式，再利用分式乘除进行约分即可得到答案； （3）先利用分式的加减运算化简括号里的式子，再利用分式乘除化简即可得到答案； （4）先利用分式的加减运算化简括号里的式子，再利用分式乘除化简即可得到答案； 【详解】（1）解：； • •• ； （2）解： • ； （3）解： = = = =． （4）解： = = = =． 16．(1) (2)无解 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后再求解方程即可； （2）先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 经检验，是原分式方程的根， 原分式方程的解为． （2）解：方程两边都乘，得， 解得， 经检验，是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 17．(1)且 (2) 【分析】本题考查分式方程：将分式方程去分母整理为，然后： （1）方程的解为正数，则解为正数且不为增根4，据此列出不等式组求解即可； （2）分为0和不为0两种情况讨论即可． 【详解】（1）去分母得： 整理得：． ∵方程的根为正数， ∴且， 解得：且； （2）分式方程化为：， ∵方程无解， ∴方程有增根或等式不成立， ①当方程有增根时，即， 即， ∴， ②当时，等式不能成立， ∴， 综上所述，a的值为． 18．， 【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂、负整数指数幂等知识点，先根据分式的运算法则化简，得到化简结果，再根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则求出x的值，代入化简后的式子计算即可获得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 19．(1)； (2)； (3)乙先到达户外拓展中心；理由见解析 【分析】本题考查列代数式，分式的值大小比较，分式混合运算的应用，根据路程、速度、时间之间的关系列出式子是解题的关键． （1）根据时间=路程÷速度，甲有一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走，可表示出；根据路程=速度×时间，乙有一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，可得，即可表示出； （2）根据速度＝路程÷时间即可表示出，； （3）运用求差法比较与的大小即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ∴． （2）解：， ． （3）解：∵， 又，a、b为正数， ∴，， ∴，即， ∴， ∴乙先到达户外拓展中心． 20．(1)一袋“豆沙馅”6元，一袋“云腿馅”12元 (2)一袋“豆沙馅”9元，一袋“云腿馅”18元 【分析】本题考查列一元一次方程和分式方程解应用题： （1）设一袋“豆沙馅”的价格是元，一袋“云腿馅”的价格是元，根据题中等量关系列出方程并求解即可； （2）设每袋“豆沙馅”增加元，每袋“云腿馅”增加元，根据题中等量关系列出分式方程求解并检验即可． 【详解】（1）解：设一袋“豆沙馅”的价格是元，则一袋“云腿馅”的价格是元． 根据题意，得， 解方程，得， 则有， 答：一袋“豆沙馅”的价格是6元，则一袋“云腿馅”的价格是12元． （2）解：设每袋“豆沙馅”增加元，则每袋“云腿馅”增加元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的解． 则有， 答：此时，一袋“豆沙馅”的价格是9元，则一袋“云腿馅”的价格是18元． 学科网（北京）股份有限公司 $