第6章 图形的相似（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册优选题练习卷

2025-2026学年苏科版数学九年级下册章节复习检测中等卷 第6章 图形的相似 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．本题先根据，得出，再根据相似三角形的判定方法解答即可． 【规范解答】解： ， ， A、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； B、添加，无法判定，故本选项符合题意； C、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2021·广西柳州·一模）如图，已知，且，若的面积为12，则的面积为（    ） A． B．3 C．6 D．24 【答案】B 【思路引导】根据，且，可得到两个三角形的相似比为，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求的面积． 【规范解答】解：∵，且， ∴， ∴， 又∵的面积为12， ∴， 解得：， 故选：B． 【考点剖析】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）下列各组线段中是成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，5，9，13 C．1，2，2，4 D．1，2，2，3 【答案】C 【思路引导】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．． 根据定义对选项一一分析，排除错误答案即可． 【规范解答】解：∵， ∴， A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C； 4．（2024·广东·模拟预测）如图，中，点、分别是、的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的中位线的性质和相似三角形的性质是解题的关键．先证明是的中位线，根据中位线的性质得，，再根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【规范解答】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【思路引导】本题考查的知识点是比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例的基本性质． 根据比例的基本性质对选项进行逐一判断即可． 【规范解答】解：，如果，那么，选项式子正确，不符合题意； ，如果，那么，选项式子正确，不符合题意； ，对于，，即，，由，可得，则选项式子正确，不符合题意； ，例如，当，，，时，， 但是，，，所以选项式子不一定正确，符合题意． 故选：． 6．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【规范解答】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 7．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐一分析并判断每个选项是否符合题意要求即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，故A，B，C正确，D错误． 故选：D． 8．（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，表示出与的函数解析式是解题的关键，还需注意、两选项的区别． 根据翻折变换的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，从而得到，根据两组角对应相等的三角形相似求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出与的关系式，再根据二次函数的图象解答即可． 【规范解答】解：由翻折的性质得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴函数图象为C项图象． 故选：C． 9．（2024·湖北·一模）如图所示，在边长为的正方形中，有一个小正方形，其中点分别在线段上，若，则小正方形的边长为（   ） A．6 B．5 C． D．2 【答案】C 【思路引导】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理． 先证明，得出，即可求出的长，用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：由题得， ，， ， ， ， ， ，，， ， ． 故选：C． 10．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作于点，连接交于点；过点作于点，连接交于点；按此方法继续作图．则与的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】通过证明，可得，证明，可得，找出规律即可求解． 【规范解答】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， … ， 即， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了图形类规律探索，根据平行线判定与性质证明，根据矩形的性质求线段长，相似三角形的判定与性质综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．若，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将所求分式拆分为已知分式与常数的和． 将拆分为，结合已知代入计算即可． 【规范解答】解：， 因为，所以原式． 故答案为：． 12．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，若，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握线段比例的计算是关键． 根据题意得到，则有，代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 13．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了位似变换、矩形的性质及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积比确定其位似比，注意有两种情况． 读懂题意，根据位似图形性质，分原点同侧与异侧两种情况求解即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可知，， 矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的， 矩形与矩形相似，且相似比为， 点的坐标是或， 即点的坐标是或， 故答案为：或． 14．如图，、相交于点，如果，，，，那么___________． 【答案】3 【思路引导】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据两组角相等证得，根据相似三角形的性质得到，进而求解的值即可． 【规范解答】解：， ，， ． 故答案为：3． 15．（21-22九年级上·北京东城·期中）在中，，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为 ． 【答案】6 【思路引导】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设正方形的边长为x，则，证明，可得，，在中，利用勾股定理可求出x的值，利用三角形面积公式即可求解． 【规范解答】解：设正方形的边长为x，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：， 即，， ∴阴影部分面积为． 故答案为：6 16．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【规范解答】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 17．（22-23九年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．    【答案】6 【思路引导】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识．根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等边对等角可得，然后根据平行线分线段成比例定理，可得，结合即可得出答案． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 18．如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，分别连接、交于点F．若，则 ． 【答案】 【思路引导】过点A，B分别作，的平行线交于点K，则四边形为矩形，过点A作交于点M，过点M作交的延长线于点N，过点N作的平行线分别交，的延长线于点H，Q，则四边形为矩形，证明，得出，，证明，可求出的长． 【规范解答】解：过点A，B分别作，的平行线交于点K，则四边形为矩形， 过点A作交于点M，过点M作交的延长线于点N， 过点N作的平行线分别交，的延长线于点H，Q， 则四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·辽宁大连·月考）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，，证明，又，即可得证； （2）由（1）可知，，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 【规范解答】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 20．（本题6分）（24-25八年级上·上海普陀·期中）线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 【答案】 【思路引导】本题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键． 设，根据点P是线段的黄金分割点得出，解方程即可求解． 【规范解答】解：设，则， ∵点P是线段的黄金分割点， ∴，即， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 21．（本题8分）（23-24九年级下·广东广州·月考）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 【答案】 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断与相似，再根据边成比例计算即可． 【规范解答】解：，， ， 根据镜面的反射性质， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， 旗杆高度为． 22．（本题8分）（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，内接于，平分交于D点，交于点E，连接． (1)写出一个与相等的角______． (2)若平分交于点F，求证：． (3)在（2）的条件下，连接，若．且，求的长． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)1 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及圆周角定理解答即可； （2）结合三角形外角的性质可得，即可求证； （3）由（2）的结论以及垂径定理可得，再证明，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：或 （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（本题8分）已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）证明：作交的延长线于，如图， ∵， ∴， ∵点为的中点， ， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【考点剖析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 24．（本题8分）（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心； (2)请在方格图中将补画完整． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图—位似变换： （1）对应点连线的交点即为位似中心； （2）利用位似变换的性质画出图形． 【规范解答】（1）解：根据位似变换的性质，位似中心是原图形和位似图形对应点连线的交点，连接，，两条线相交于一点即为位似中心．如图，点即为所求； （2）解：根据位似变换的性质，应位于的延长线上，且与点相对于点的比例相同，根据，之间的比例关系，确定的位置，连接三点，即可得到．如图，即为所求． 25．（本题10分）（2023·浙江台州·一模）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，图象及性质见解析 (3) 【思路引导】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据得出，根据相似三角形的性质即可求解． （2）由(1)得，，进而求得解析式，画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）由，，解不等式即可求解． 【规范解答】（1）解∵， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）由(1)得，， ∴， ∴或， 画出图象如下：    性质：当时，随的增大而减小； （3）由，， 则， 解得， ∴的取值范围为：． 26．（本题10分）（25-26九年级上·四川成都·月考）在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】[特例感知]（1）①证明过程见详解；②；[深入研究]（2）的长为;[拓展提示]（3）的长为或或． 【思路引导】[特例感知]（1）①根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；②如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据①中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； [深入研究]（2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； [拓展提升]（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【规范解答】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 在中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 【考点剖析】本题主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合分类讨论思想是解题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版数学九年级下册章节复习检测中等卷 第6章 图形的相似 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·广西柳州·一模）如图，已知，且，若的面积为12，则的面积为（    ） A． B．3 C．6 D．24 3．（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）下列各组线段中是成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，5，9，13 C．1，2，2，4 D．1，2，2，3 4．（2024·广东·模拟预测）如图，中，点、分别是、的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 6．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 8．（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·湖北·一模）如图所示，在边长为的正方形中，有一个小正方形，其中点分别在线段上，若，则小正方形的边长为（   ） A．6 B．5 C． D．2 10．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作于点，连接交于点；过点作于点，连接交于点；按此方法继续作图．则与的数量关系是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．若，则的值是 ． 12．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，若，则的长为 ． 13．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 14．如图，、相交于点，如果，，，，那么___________． 15．（21-22九年级上·北京东城·期中）在中，，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为 ． 16．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 17．（22-23九年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．    18．如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，分别连接、交于点F．若，则 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·辽宁大连·月考）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 20．（本题6分）（24-25八年级上·上海普陀·期中）线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 21．（本题8分）（23-24九年级下·广东广州·月考）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 22．（本题8分）（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，内接于，平分交于D点，交于点E，连接． (1)写出一个与相等的角______． (2)若平分交于点F，求证：． (3)在（2）的条件下，连接，若．且，求的长． 23．（本题8分）已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 24．（本题8分）（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心； (2)请在方格图中将补画完整． 25．（本题10分）（2023·浙江台州·一模）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 26．（本题10分）（25-26九年级上·四川成都·月考）在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $