第6章 图形的相似（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册优选题练习卷

2025-2026学年苏科版数学九年级下册章节复习检测培优卷 第6章 图形的相似 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C 在第一象限，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 3． 如图，中，E为中点，，则（    ） A． B． 1 C． D． 4．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是（ ）． A．8 B． C． D． 6．（2025·河南·模拟预测）如图，平行四边形的对角线、交于点，是的中点，连接交于点，，则=（   ） A． B． C． D． 7．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在中，，，平分，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25九年级下·广东清远·月考）如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们运动的速度都是．若点、点同时开始运动，设运动时间为的面积为，已知与之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（　　） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③⑤ 10．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接． 平分 交于点 F，连接交于点G，则的长为（   ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2023·北京·模拟预测）黄金分割被视为最美丽的几何学比例，并广泛地用于建造和雕刻中，令人惊奇的是许多植物的叶片从上往下看时，上下两层中相邻两片叶子错开的角度满足图①所示的黄金比．图②为符合上述规律的某种植物，和表示上下两层中相邻两片叶子主叶脉的长度，若，且以点O为圆心，长为半径的的长约为，则的长度约为 ．（结果保留整数） 12．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 13．（2024·北京·三模）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于 ． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知矩形的边长，，若将矩形绕点C旋转，使点B的对应点恰好落在上，连接，则的长为 ． 15．（25-26九年级上·陕西西安·月考）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 16．（2025·河北邯郸·二模）如图，锐角三角形中，，以为直径的半圆交于点，过点作半圆的切线，交的延长线于点，交于点．若，则 ． 17．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，正方形的边长为2，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则的长为 ． 18．在等腰直角三角形中，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 20．（本题6分）（2025·甘肃张掖·三模）如图，边长为的正方形的顶点在坐标原点处，点，分别在轴、轴的正半轴上，点是边上的点（不与点重合），，且与正方形外角平分线交于点． (1)当点坐标为时，试证明 (2)如果将上述条件“点坐标为”改为“点坐标为”，结论是否仍然成立，请说明理由； (3)在轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形若存在，用表示点的坐标；若不存在，说明理由． 21．（本题8分）（2025·山东泰安·一模）如图，已知．    ①以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③作射线交BC于点D； ④分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点； ⑤作直线，分别交，于点E，F，依据以上作图，若，，． (1)求的长； (2)求的值． 22．（本题8分）（2025·上海静安·二模）如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，当，时，直接写出的长． 23．（本题8分）（24-25九年级下·广东·阶段练习）如图，在四边形中，，平分，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)请用直尺（不带刻度）和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是的切线． 24．（本题8分）（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，在四边形中，，点分别在线段上，且，． (1)求证：． (2)请增加一个条件，使，并证明． 25．（本题10分）（2025·江西吉安·二模）追本溯源 题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在菱形中，对角线与交于点O，且，，求菱形的高． 方法应用 （2） 如图2，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作于点E，交于点F，若，，求的长 26．（本题10分）（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________； (2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版数学九年级下册章节复习检测培优卷 第6章 图形的相似 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了位似变换，根据已知图形得出位似比，进而得出对应点坐标． 【规范解答】解：如图所示：可得两图形的位似比为2， ∵小鱼上的点， ∴对应大鱼上的点为：． 故选：D． 2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C 在第一象限，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，根据条件易证，利用面积比等于相似比平方可得，继而可求出k值． 【规范解答】解：∵矩形的面积是6， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴． 故选：D． 3． 如图，中，E为中点，，则（    ） A． B． 1 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是关键：由题意易得，则对应边成比例，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵E为中点，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式； 根据，列出，求出的长即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是（ ）． A．8 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，角平分线的判定定理，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．连接，利用矩形的性质，求出，的长度，证明平分，再证，最后证，利用相似的性质即可求出的长度． 【规范解答】解：如图，连接， 四边形为矩形， ，，， 为中点， ， 由翻折知，， ，，， ， 平分， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．（2025·河南·模拟预测）如图，平行四边形的对角线、交于点，是的中点，连接交于点，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，根据四边形是平行四边形，可知，，因为点是的中点，可知，根据可知，根据相似三角形对应边成比例可知，根据三角形的面积公式可知． 【规范解答】解：四边形是平行四边形， ，， 是的中点， ，， ， ， ， ， 故选：B． 7．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在中，，，平分，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是构造相似三角形．过点作交延长线于点， 得到，由平分，，等量代换可得，得到，由平行可得，从而可得的值． 【规范解答】解：如图所示，过点作交延长线于点， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 即的值为． 故选：A ． 8．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据得到，得到；根据得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断①；根据，可以判断②；根据题意，得可以判断③；根据，得，得到，从而得，可判断④；根据，，得，结合，得，可判断⑤． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ∴②正确； ， ， ∴③正确； ， ， ， ， ， ，故④错误． ∵，， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 综上，错误的有2个， 故选：A． 9．（24-25九年级下·广东清远·月考）如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们运动的速度都是．若点、点同时开始运动，设运动时间为的面积为，已知与之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（　　） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③⑤ 【答案】B 【思路引导】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质等，由图可知，整个运动过程分为段，点到达时，点同时到达，由此可知，，，由勾股定理求得，再逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【规范解答】解：由图可知，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ①当时，点在上，点在BC上，且， ∴是等腰三角形，故①正确； ②，故②错误； ③∵，， ∴当时，点在上，点在处， ∴，故③正确； ④如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 作的垂直平分线，交于，交于，当点位于或处时，是等腰三角形； 综上，运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个，故④错误； ⑤∵是直角三角形， ∴当且仅当点在上时，与相似， 此时，，且， ∴或， 即或， 解得或（不合，舍去）， ∴当与相似时，，故⑤正确； 综上，正确的有①③⑤， 故选：． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接． 平分 交于点 F，连接交于点G，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】延长交延长线于点，过点作于点，由矩形的性质可得 ，，，根据全等三角形的判定与性质可得，，然后利用相似三角形的判定与性质可得答案． 【规范解答】解：延长交延长线于点，过点作于点， 在矩形中，，，， ∵平分，，， ∴， 设，则， ∵点是的中点， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：． 【考点剖析】此题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2023·北京·模拟预测）黄金分割被视为最美丽的几何学比例，并广泛地用于建造和雕刻中，令人惊奇的是许多植物的叶片从上往下看时，上下两层中相邻两片叶子错开的角度满足图①所示的黄金比．图②为符合上述规律的某种植物，和表示上下两层中相邻两片叶子主叶脉的长度，若，且以点O为圆心，长为半径的的长约为，则的长度约为 ．（结果保留整数） 【答案】 【思路引导】本题考查了弧长公式，先计算得出的度数，设的长度为，再由弧长公式计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意可得：， 设的长度为，则， 解得：， 故的长度约为， 故答案为：． 12．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查的是相似三角形的性质，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【规范解答】解：由题意可得：，， ∴， ∵，，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 综上：当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为或． 故答案为：或 13．（2024·北京·三模）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了折叠、相似三角形的性质与判定以及勾股定理，根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【规范解答】解：过点作，垂足为， 由折叠得：是正方形，， ， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则，由勾股定理得，， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知矩形的边长，，若将矩形绕点C旋转，使点B的对应点恰好落在上，连接，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】过点作于点，先求出，再由旋转的性质证明，得到，然后由等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作于点， 矩形的边长，， ，， ， ， ， 在中，， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键． 15．（25-26九年级上·陕西西安·月考）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【思路引导】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系．利用黄金分割点可得，进而得解． 【规范解答】解：由题意知：是的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 16．（2025·河北邯郸·二模）如图，锐角三角形中，，以为直径的半圆交于点，过点作半圆的切线，交的延长线于点，交于点．若，则 ． 【答案】 【思路引导】连接，根据等腰三角形的性质得到，，再根据平行线的判定定理得到，根据切线的性质得到，再由勾股定理得，最后根据平行证明，由相似三角形的性质可求出的长． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 17．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，正方形的边长为2，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【思路引导】作于．证明，由全等三角形的性质得出，，由三角形的面积求出，由勾股定理求出，由相似三角形的判定与性质求出，的长，根据勾股定理可得出答案． 【规范解答】解：作于． 正方形的边长为2，点是的中点， ，，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18．在等腰直角三角形中，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】1或 【思路引导】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 分两种情况进行讨论，即当时和当时，分别利用平行线分线段成比例和等腰直角三角形的性质进行求解即可． 【规范解答】解：①如图所示，当时， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当时， ∴， ， 则， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴； ③当时，点与点重合，不符合题意； 综上，的长为1或， 故答案为：1或． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（6分）（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 20．（6分）（2025·甘肃张掖·三模）如图，边长为的正方形的顶点在坐标原点处，点，分别在轴、轴的正半轴上，点是边上的点（不与点重合），，且与正方形外角平分线交于点． (1)当点坐标为时，试证明 (2)如果将上述条件“点坐标为”改为“点坐标为”，结论是否仍然成立，请说明理由； (3)在轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形若存在，用表示点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)仍然成立，理由见解析 (3)存在使得四边形是平行四边形 【思路引导】（1）过点P作轴于H，可证明是等腰直角三角形，得到；证明，利用相似三角形的性质可推出，则可证明，得到； （2）同（1）证明即可； （3）由平行四边形的性质和（2）的结论可得；证明，得到，则，即． 【规范解答】（1）证明：如图所示，过点P作轴于H， ∵四边形是边长为5的正方形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（2）可得， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在使得四边形是平行四边形； 【考点剖析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 21．（8分）（2025·山东泰安·一模）如图，已知．    ①以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③作射线交BC于点D； ④分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点； ⑤作直线，分别交，于点E，F，依据以上作图，若，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用作图方法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长． （2）根据，得，所以，同理：，设，则，，菱形的面积为，，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：连接，，如图，    由作法得平分，垂直平分， ，，， ， ， ， 同理可得， 四边形为平行四边形， 又∵， 四边形为菱形， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴， ， ， 同理：， 设，则，， 菱形的面积为， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了作图复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、平行线分线段成比例定理、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 22．（8分）（2025·上海静安·二模）如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，当，时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查菱形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）先判定为平行四边形，再根据菱形的性质进行证明即可； （2）根据的直角三角形的性质求出进而求出，再根据相似三角形和勾股定理求出即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图， ∵中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（8分）（24-25九年级下·广东·阶段练习）如图，在四边形中，，平分，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)请用直尺（不带刻度）和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析；证明见解析 【思路引导】（1）由勾股定理得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可证明，可得，即可得出结论； （2）作线段的垂直平分线，交于点，以线段的长为半径画圆，即可得所求的；连接，由角平分线的定义可得，由，可得，进而可得，则，即可得，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，即为所求． 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线． 【考点剖析】本题考查作图复杂作图、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、圆周角定理、切线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 24．（8分）（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，在四边形中，，点分别在线段上，且，． (1)求证：． (2)请增加一个条件，使，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【规范解答】（1）证明：， ． 在和中， ， ． （2）解：增加条件． 证明：， ， ，即． 又， ． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 25．（10分）（2025·江西吉安·二模）追本溯源 题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在菱形中，对角线与交于点O，且，，求菱形的高． 方法应用 （2）如图2，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作于点E，交于点F，若，，求的长 【答案】（1）；（2）． 【思路引导】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据勾股定理求出的值，根据等面积法列方程求解即可； （2）根据菱形的性质得出，，，，证明，得到，进而求出，根据勾股定理求出，根据等面积法即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵在菱形中，对角线与交于点O，且，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 26．（10分）（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________； (2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【思路引导】（1）由勾股定理求得，从而有，点与点重合，则，求解即可； （2）分两种情况：当时，则点Q在上 ，当时，则点Q在上，分别求解即可； （3）分两种情况：当，则点Q在上时，当，则点Q在上时，根据相似三角形性质求解即可； （4）分两种情形：如图1中，连接，交于点．当时，，根据经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积，知此时平分平行四边形的面积．如图2中，连接，交于点，当时，，此时平分平行四边形的面积．分别求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ∵为边的中点， ， ∵点与点重合， ∴， ． 故答案为：． （2）解：当时，则点Q在上 ， ∴； 当时，则点Q在上 ， ∴； 综上，． （3）解：当，则点Q在上时， 则，， ∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时， ∴当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即， 解得：（舍去）； 当，则点Q在上时， 当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即 解得：（舍去）． 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或． （4）解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵， ∴， ， ， 解得． 如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $