河北省张家口市第一中学2025-2026学年高三上学期12月期中数学试题

( 备课人 : ) ( 高三年级数学 ) ( 张家口市第一中学北校区 ) ( 班级： 姓名： )审核人： 日期： 2025-2026 学年高三上学期期中考试 数学测试卷 答案 1 ：D 2．B 3. A ． 4．故选：C. 5.D 6 D. 7.B 8.C 9. 故选：BC 10. ACD 11 ．故选：ACD. 8.C 提示：g x > 0 在 x>1 时恒成立，f x > 0 的解集中只含有2 个正整数 11. 12.故答案为： x + y - 2π = 0 ( 2 — x ≠ 0 )13. 函数 fx = x3 + ln有意义， 由 > 0 ，解得-2 < x < 2 ， 即 f x的定义域为 — 2,2 ，因为 f — x = — x3 + ln = — x3 — ln =— fx， 所以f (x ) 为奇函数，且 f(x = x3 + ln = x3 + ln = x3 + ln ( — 1 + —)， 函数 y = x3 和 y = ln ( — 1 + —)都是( — 2,2上的增函数，所以f (x ) 为(-2, 2)上的增函数， 由 f (a) + f (2a -1) > 0 ， 得f (2a -1) > -f (a) = f (-a) ， 则 有 2a - 1 > -a ， 解 得 a > ， 同 时 有 {l (〔) --2 (2) 2 (a)-21 < 2 ，解得- < a < ，综上，实数 a 的取值范围为(|( , ), . 14. 故答案为： 因为BD = 3DC ，所以BD (uuur) = 3DC (uuur) ，所以A (-)- - A (-)-B-→ = 3 (A (-)- - A (-)- )， A (-)- = 3 A (-)- + 1 A (-)- A (-)-2 = 9 A (-)-2 + 1 A (-)-B-→ 2 + 3 A (-)-B-→ . A (-)- 所以 4 4 ，则 16 16 8 ， 又AC = 2 ， AD = ，所以2 = × 4 + c2 + c × 2× cos 上BAC ， ( 即 c c \ c ，当且仅当 c 即 c = 2 时等号成立 ， )-12 cos上BAC = c2 + 4 = c + 4 ≥ 2 = 4 c = 4 第 1 页 共 4 页 ( 此时 cos 上 BAC ≤ - ， 由函数 y = cos x 在 ( 0 , π ) 上单调递减知， 故当 c = 2 时 ， cos 上 BAC 取最大 值 - ， 上 BAC 取最小值 ，此时 sin 匕 BAC = = 2 2 ， V ABC 的面积为 S = 1 AB . AC . sin 匕 BAC = 1 × ) ( 备课人 : ) ( 高三年级数学 ) ( 张家口市第一中学北校区 ) ( 班级： 姓名： )审核人： 日期： ( 2 v 厂 ) 3 3 2 2 2 × 2 × = . 15. （1）因为a- = (2 , sin wx ) ，b- = (cos2 wx, 2 cos wx )，所以f (x ) = a- .b- - = 2 cos2 wx + 2 sin wx cos wx - 3 = (1+ cos 2wx )+ sin 2wx- = 2 sin (|(2wx + ), , w > 0 ， 因为f (x ) 相邻的对称轴之间的距离为 ，所以f (x ) 的最小正周期为 π ,所以 = π , 得 w = 1 ，所以f (x ) = 2 sin(|(2x + ), ， （2） 由（1）知f (x ) = 2 sin(|(2x + ), ，将f (x ) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到函数y = 2 sin (|(4x + ), ，再向左平移个单位得g(x) = 2sin L (「)|4 x +), + = 2sin (|( 4x + ),， 令t = 4x + , x ∈ |L「- , ，则t ∈ |L「 , ，所以2 sin t ∈ - , 2 ，因为2sin t = m 在t ∈ , 」 (7)|上有 解， 由y = 2sin t 的图象可得， — 3 ≤ m ≤ 2 所以 m 的取值范围是[ — 3,2]. 16. （1）因为向量m- 与n- 共线，所以a sinB = - b cosA， 边化角可得，2Rsin Asin B = - × 2Rsin B cosA ，因为B ∈(0, π )，所以sin B > 0 ，所以sin A = - cosA ，即 tan A = - ，因为A∈(0, π ) ，所以A = . （2） 由余弦定理a2 = b2 + c2 - 2bc cosA ，可得13 = 9 + c2 + 3c ， 整理得c2 + 3c - 4 = 0 ，解得c = 1 或c = -4 （舍），所以S△ABC = bcsin A = ah ， ( 即 2 3 2 ，解得 26 . )1 × 3×1× sin 2π = h h = 3 17（1）解：因为函数f (x) = x (ln x - m -1), x > 1 ，可得f,(x) = . x + ln x - m -1 = ln x - m ， 1 分①当m ≤ 0 时， 由x > 1 时，可得f, (x ) = ln x - m > 0 ， 所以函数f (x ) 的单调增区间是(1, +∞) ，无单调减区间； 3 分 ②当m > 0 时，令ln x - m = 0 ，解得x = em ，当1< x < em 时， f ' (x ) < 0 ；当x > em ， f, (x ) > 0 ， 所以函数f (x ) 的单调减区间是(1, em ) ，单调增区间是(em , +∞) ， 5 分综上：当m ≤ 0 时， f (x ) 的单调增区间是(1, +∞) ，无单调减区间； 当m > 0 时，函数f (x ) 的单调减区间是(1, em ) ，单调增区间是(em , +∞) ， 6 分 （2）解：因为对于任意x ∈ e, e2 ，都有f (x) < 4 ln x 成立，所以(x - 4)ln x - (m + 1)x < 0 对于x ∈ e, e2 恒成立，即m + 1 > 对于x ∈ e, e2恒成立， 8 分 ( 令 x ，则 x 2 ， 9 分 )g (x ) = (x - 4)n x g , (x ) = 4 ln x + x - 4 令t (x ) = 4 ln x + x - 4, x ∈ e, e2 ，可得t, (x ) = + 1 > 0 ， 10 分 所以t (x)在区间e, e2上单调递增，故t (x)min = t (e) = 4 + e - 4 = e > 0 ，即g, (x ) > 0 ，12 分所以g(x ) 在区间e, e2上单调递增，所以g (x )max = g (e2 ) = 2 - ， 13 分 第 2 页 共 4 页 ( 备课人 : ) ( 高三年级数学 ) ( 张家口市第一中学北校区 ) ( 班级： 姓名： )审核人： 日期： ( m + 1 > 2 - ) ( , 即 e ， 14 分 )要使m + 1 > 对于x ∈ e, e2恒成立，只需m + 1 > g(x)max ( (| 1 - , +∞ ) )所以实数 m 的取值范围是( e , . 15 分 18(1) ( - 2 ax + 1 , ) ( 1 分 )19.【详解】（1） 由f(x) = ln(x +1) - ax2 + x 求导得f, (x ) = 因函数f (x) 在x = 处取得极值，则f, () = 0 所以 - 2a + 1 = 0，则a = 当a = 时， f, (x) = - x + 1 = - = - (x + )1 (x) - ) ， 当x ∈ (-1, ) 时， f,(x) > 0 ，则f (x ) 在(-1, )上单调递增； 当x ∈ ( , +∞) 时， f,(x) < 0 ， f (x ) 在( , +∞)上单调递减， 1 所以f (x) 在x = 处取得极值成立． 故a = 2 ． 4 分 ( （ 2 ） 由（ 1 ）知方程 4 ，即 4 ， )f (x ) = 1 x2 ln (x + 1) - 3 x2 + x = 0 令g (x ) = ln (x +1) - x2 + x ，因为k ∈N ，则需要在(0, +∞) 上讨论，显然g(0) = 0 ， g , (x ) = - x + 1= - = - ， 6 分 则当0 < x < 1 时， g,(x) > 0 ； x > 1 时， g,(x) < 0 ， 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1, +∞) 上单调递减 8 分 因为g(2) = ln 3 - 3+ 2 = ln 3 -1 > 0 ， g (3) = ln 4 - + 3 = ln 4 - < 0 ， 9 分所以存在唯一的x0 ∈ (2, 3) ，使g(x0 ) = 0 ( （ 3 ）令 4 4 ， )所以存在k = 2 ，使得f (x ) = x2 在(k, k + 1) 内有唯一的根 10 分h (x ) = f (x )- t ln (x + 1) - 1 x2 = (1- t)ln (x + 1) - 3 x2 + x 2 分 ( 备课人 : ) ( 高三年级数学 ) ( 张家口市第一中学北校区 ) ( 班级： 姓名： )审核人： 日期： 则h, 11 分 1 ①因为抛物线y = 3x2 + x + 2t - 4 的对称轴方程为x = - 6 ，开口向上，所以2t - 4 ≥ 0 即t ≥ 2 时， 3x2 + x + 2t - 4 > 0对x > 0 成立， 所以t ≥ 2 时， h, (x ) < 0 对x > 0 成立，所以h (x)在(0, +∞) 上单调递减， 又h (0) = 0 ，所以x > 0 时， h (x ) < 0 成立， 即此时，丫x > 0,f x < t ln x + 1 + x2成立； 13 分 ②当t < 2 ， Δ = 1-12 (2t - 4) = 49 - 24t > 1 ， 记3x2 + x + 2t - 4 = 0 的两根为x1, x2 (x1 < x2 ) ， y = 3x2 + x + 2t - 4 ( - 1 - · 49 - 24 t 6 ) ( x 1 = ) ( x 2 = , ) ( 则 )-1+ ·49 - 24t 6 ， 则x1 < 0，x2 > 0 ，所以当0 < x < x2 时， h, (x ) > 0 ，当x > x2 时， h, (x ) < 0 ，所以h (x)在(0, x2 )上单调递增，在(x2,+∞)上单调递减． 所以h (x2 ) > h (0) = 0 ，所以h (x ) < 0 不能恒成立， 即丫x > 0,f x < t ln x + 1 + x2 不能恒成立 16 分 综上， t 的取值范围是[2, +∞) . 17 分 ( 第 4 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 备课人 : ) ( 高三年级数学 ) ( 张家口市第一中学北校区 ) ( 班级： 姓名： )审核人： 日期： 2025-2026 学年高三上学期期中考试 数学测试卷 考试时长：120 分钟 总分：150 分 一、选择题：本小题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 设集合 A = {x x ≤ 1} ，B = x l ≤ 0} ，则A∩ B = ( ) A ． {x -1≤ x < 0} B ． {x -1≤ x ≤ 1} C ． {x 0 < x ≤ 2} D ． {x 0 < x ≤ 1} 2．如图，5×5 的方格里，每个方格长度为 1 ，则向量 - b (→) = ( ) A ．e (-)-1 (→) + 3e (-)-2 (→) B ． - + 3e (-) C ． — 3e (-)-1 (→) + e (-)-2 (→) D ．3e (-)-1 (→) + e (-)-2 (→) 3. 设sin + Cos = ，则sin α = ( ) A ．− B ．− C ． D ． 4．在梯形ABCD 中，A (-)- = 2D-- ，E 为CD 的中点，AC ，BE 交于点F ，若 A (-)-F-→ = λA (-)- + μ A (-)-B-→ , 则 λ + μ = ( ) ( 3 B ． 4 ) ( 6 C ． 5 ) ( 5 D ． 6 )4 A ． 3 6．已知向量a (-→) = 1,2 ,b (-→) = x,y, ，若 b (→) 在 上的投影向量是 ，则x2 + y2 的最小值为 ( ) A ． B ． C ． D ． 8. 已知 f(x = alnx − 1) − x3 + 4x2 ，g x = xex − lnx − x − , 若不等式g (f)x (x) > 0 的解集中只含有2 个 正整数，则a 的取值范围为 ( ) A ． (|( , B ． (|(- , 0 C ． ((|- , 0 D ． , 」 (7)| 二、多选题:本小题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．下列命题中为假命题的是 ( ) 1 1 A ．若1< x < 5 ，则 x -1 + 5 - x 的最小值为 1 a a + c B ．若a > b > 0 ，则“c > 0 ”是“ b > b + c ”的充要条件 ( D ． “ x < 5 ” 是 “ x - 1 ” 的一个必要不充分条件 )C ．不等式kx2 + kx -1< 0 对一切实数x 恒成立，则-4 < k < 0 3 ≥ 1 10. 已知复数 z = （其中i 是虚数单位）， z 为 z 的共轭复数，则 ( z = 5 )A. z 的虚部为 1 B. C. z 在复平面内对应的点位于第四象限 D. z 是方程 x2 - 4x + 5 = 0 的一个复数根 第 1 页 共 2 页 ( 备课人 : ) ( 高三年级数学 ) ( 张家口市第一中学北校区 ) ( 班级： 姓名： )审核人： 日期： 11. 三、填空题（本小题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）. 12． 曲线y = x - sin 2x在x = π 处的切线方程为 ． 13. 已知函数 fx = x3 + ，且满足 fa + f2a − 1) > 0，则实数 a 的取值范围为 14.如图，在V ABC 中， AC = 2 ，点D 在线段BC 上，且BD = 3DC ， AD = ，则当上BAC 取最小值时，V ABC 的面积为 . 四、解答题:本题共5 分，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（13 分）． 向量a (-→) = i2 3, sin w x) ， b (→) = (cos2 wx, 2cos wx) ，函数 fx = a (-→) . b (-→) − 3 w > 0, ，f x,相 邻对称轴之间的距离为． (1)求f (x ) 的解析式； (2)将函数f (x ) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再向左平移个单位得g(x ) 的图象，若关于 x 的方程g(x) = m 在「|L- , 」 (7)|上有解，求实数 m 的取值范围． 16.(15 分)设V ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别是a, b, c ，且向量 = (a,b)与 = (- cosA, sin B)共线， (1)求A ； (2)若a = ，b = 3 ，求BC 边上的高h . 17（15 分）． 已知函数f (x) = x (ln x - m -1), m ∈ R ，. (1)当x >1 时，求函数f (x ) 的单调区间； (2)若对于任意x ∈ e, e2 ，都有f (x) < 4ln x 成立，求实数 m 的取值范围. 19.(17 分)已知函数f(x) = ln(x +1) - ax2 + x 在x = 处取得极值． (1)求实数 a 的值； (2)是否存在自然数 k ，使得方程 f(x) = x2在(k, k + 1) 内有唯一的根?如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由； (3)若丫x > 0,f x < t ln ( x + 1) + x2成立，求实数 t 的取值范围． ( 第 2 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $