专项素养巩固训练卷(七)与二元一次方程组有关的常用技巧二元一次方程组的七种应用类型 易错题培优卷 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专项素养巩固训练卷(七)与二元一次方程组有关的常用技巧 方法一整体加减法 1.已知关于x，y的二元一次方程组 若方程组的解中x,y满足3x-2y=4,求 k 方法二转化法 2.解方程组 方法三整体代入法 3.解方程组： 4.解方程组: 方法四叠加、叠减法 5.解方程组: 方法五同解交换法 6.已知关于x，y的方程组 和 有相同的解，求 的值. 7.已知关于x,y的方程组 与 的解相同，求m+n的值.m+n 方法六换元法 8.阅读材料：善于思考的李同学在解方程组 时，采用了一种“整体换元”的解法. 解:把m+5,n+3看成一个整体,设m+5=x,n+3=y,原方程组可化为 解得 原方程组的解为 (1)已知 方 程组 的解是 则方程组 的解是 . (2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程 组 方法七构造方程组法 9.已知|3x-y-5|和 互为相反数，求点 P(x，y)所在的象限. 10.定义关于非零常数m,n的新运算,规定:m*n= mx+ny,例如:5*6=5x+6y.若1*2=3,3*(-2)=5,求非零常数x,y的值. 学科网（北京）股份有限公司 专项素养巩固训练卷 (八)二元一次方程组的七种应用类型 类型一数字问题 1.算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表个位、十位、百位、千位、万位、……，可以任意选定某档为个位，不拨珠空档表示0. 如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：“我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4.”请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出其十位数字和个位数字. 类型二销售问题 2.某超市用2820元购进A，B两种型号的热水袋共 60个，这两种型号的热水袋的进价、标价如下表所示： 型号 A 型 B型 进价/(元/个) 35 65 标价/(元/个) 50 100 (1)求这两种型号的热水袋各购进多少个. (2)在销售过程中，A，B两种型号的热水袋均按标价九折出售，但在 B种型号热水袋卖出m个后，恰逢“双十一”，超市决定将剩余 B 种型号热水袋按标价的八折销售，结果这批热水袋全部售出后超市共获得800元的利润，求m的值. 类型三增长率问题 3.某汽车专卖店同时销售A，B两款电动汽车，1月份两款电动汽车的总销售额为400万元.2月份A款电动汽车的销售额较上月提高了30%，B款电动汽车的销售额较上月减少了20%，两款电动汽车总销售额比上月增加了10万元.求该汽车专卖店1月份A，B两款电动汽车各款的销售额. 类型四行程问题 4.小明家与学校之间的路程为2km，从家到学校的路可分为两段，一段为上坡路，另一段为下坡路.他从家跑步去学校共用了16 min，已知小明在上坡路上行程问题的平均速度是 4.8km/h，在下坡路上的平均速度是12 km/h.则小明上坡、下坡各用了多少分钟? 类型五方案问题 5.某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知在各车满载的情况下，3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人. (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生? (2)若计划租小客车m辆，大客车 n辆，一次送完所有学生，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案. 类型六配套问题 6.某工厂需要生产一批三人扭腰器(如图)，每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成，若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产扶手架的个数比扭腰盘的个数少12，且每天6个工人生产的扶手架数量与5个工人生产的扭腰盘的数量相同. (1)工厂每人每天平均生产扶手架和扭腰盘各多少个? (2)现共有42名工人，应如何分配工人才能使每天生产的扶手架和扭腰盘配套? 类型七图形问题 7.如图，现要在大长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形(图中阴影部分)区域种植鲜花.设小长方形的相邻两边长分别为 x m和ym. (1)如图①，若大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长. (2)如图②，若大长方形的相邻两边长分别为a m和 bm，那么小长方形的周长与大长方形的周长的比值是不是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由. 参考答案 专项素养巩固训练卷(七)与二元一次方程组有关的常用技巧 1.解析 ①+②,得3x-2y=7k-3, ∵3x-2y=4,∴7k-3=4,∴k=1. 2.解析 方程组整理得 ①×3-②×2,得5x=8,解得 把 代入①，得 所以方程组的解是 3.解析 将①代入②,得5x-2×8=-1,解得x=3,把x=3代入①,可得y=5, ∴该方程组的解是 4.解析 将①变形得(6y-4x=10③,将③代入②，得 解得 把 代入①，得 解得 ∴原方程组的解为 5.解析 (1)①+②,得27x+27y=81, ∴x+y=3,∴13x+13y=39③, 把③代入①得39+y=40,∴y=1, 将y=1代入x+y=3可得x=2, ∴原方程组的解为 (2)①-②,得2x+2y=4,∴18x+18y=36③, 把③代入①得x+36=17,∴x=-19, 将x=-19代入2x+2y=4可得y=21, ∴ 原方程组的解为 6.解析 解方程组 得 把 代入方程组 得 解得 则 7.解析 ∵方程组 5 的解相同，∴方程组 的解也是它们的解，解 得 则有 两式相加得5m+5n=15,∴m+n=3. 8.解析 (1)∵方程组 的解是 (2)设x+y=m,x-y=n,则原方程组可化为 即 ②-①,得 把 代入②，得平得 9.解析 ∵ l3x-y-5l和 互为相反数， ①+②,得5x=5,解得x=1,把x=1代入②,解得y=-2, ∴方程组的解为 ∴P 的坐标为(1,-2), ∴点P在第四象限. 10.解析 ∵m*n= mx+ ny,1*2=3,3*(-2)=5, 解得 ∴x，y的值分别为2, 专项素养巩固训练卷(八)二元一次方程组的七种应用类型 1.解析 由题意得，小华在百位拨出的数字是6，设个位数字是x，十位数字是y， 由题意得 解得 故这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠. 2.解析 (1)设A种型号的热水袋购进x个，B种型号的热水袋购进y个， 由题意得 解得 答：A种型号的热水袋购进36个，B种型号的热水袋购进24个. (2)由题意得36×(50×0.9-35)+m×(100×0.9-65)+(24-m)×(100×0.8-65)=800,解得m=8. 答：m的值为8. 3.解析 设该汽车专卖店1月份A 款电动汽车的销售额为x万元，B款电动汽车的销售额为 y万元，根据题意得 解得 答：该汽车专卖店1月份A 款电动汽车的销售额为180万元，B款电动汽车的销售额为220万元. 4.解析 设小明上坡用了x min，下坡用了y min，根据题意得 解得 答:小明上坡用了10 min,下坡用了6m in. 5.解析 (1)设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生， 根据题意得 解得 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生. (2)根据题意得20m+45n=660,∴m=33- n. ∵m，n均为正整数 或 或 ∴共有3 种租车方案，方案1：租用24 辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车. 6.解析 (1)设工厂每人每天平均生产扶手架x个，扭腰盘y个，由题意得 解得 答：工厂每人每天平均生产扶手架60个，扭腰盘72个. (2)设x名工人生产扶手架，则(42-x)名工人生产扭腰盘，由题意得3×60x=72(42-x)、解得x=12, ∴42-x=42-12=30. 答：12名工人生产扶手架，30名工人生产扭腰盘，才能使每天生产的扶手架和扭腰盘配套. 7.解析 (1)根据题意，得 解得 答：小长方形相邻两边的长分别是10m，25m. (2)是定值.根据题意可知1个小长方形的周长为2(x+y)m,a=2x+y,b=x+2y,则大长方形的周长为2(a+b)=2(2x+y+x+2y)=6(x+y), 可得 .小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值，为 学科网（北京）股份有限公司 $