几何线段计算问题(知识点梳理+题型精析+强化专练)讲义 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过框架图系统梳理了几何线段计算的知识体系，将线段比较、两点距离、中点概念等核心内容按“概念-方法-应用”逻辑组织，用表格归纳比较方法和易错点，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，如动点问题中结合速度时间表示线段长度，培养运算能力与推理意识。典例与跟踪训练覆盖基础计算到综合应用，易错提醒帮助学生规避单位不统一等错误，教师可据此实施精准分层教学，助力不同学生提升。

几何线段计算问题 - 【知识点1】线段的比较及长短比较 一、线段比较的核心前提 线段是直线上两点间的有限部分，有确定长度，因此线段的比较本质是长度的比较（区别于直线、射线，后两者无长度，无法比较）。 二、线段长短的 3 种常用比较方法 1. 叠合法（直观操作，课堂演示常用） 操作步骤： 1.将两条线段的一个端点重合（如把线段AB的端点A与线段CD的端点C重合）； 2.让两条线段在同一直线上排布（使B、D在A（C）的同一侧）； 3.观察另一个端点的位置，判断长短： *若B落在C、D之间，则AB<CD； *若B与D重合，则AB=CD； *若B落在D的外侧，则AB>CD 2. 度量法（精准比较，解题核心方法） 操作步骤： .*用刻度尺分别测量两条线段的长度（单位统一，如厘米、毫米）； *比较两个长度数值的大小，数值大的线段更长。 3. 截取法（结合线段和差，进阶用法） 操作逻辑：以一条线段为基准，在另一条线段上截取与基准线段等长的部分，通过剩余部分判断长短。 三、线段长短比较的重要结论 传递性：若AB>CD，CD>EF，则AB>EF；若AB=CD，CD=EF，则AB=EF（可类比数的大小传递性，便于记忆）。 最短性关联：两点之间线段最短，因此连接两点的所有线中，线段的长度是最短的，可作为比较路径长短的依据。 四、易错提醒 1.比较时单位必须统一，避免出现 “AB=5cm，CD=45mm” 未统一单位就判断AB>CD的错误； 2.叠合法中，务必保证两条线段 “端点重合、共线且同侧”，否则会因摆放错误导致判断失误； 3.线段的长短与端点的字母顺序无关，如AB和BA是同一条线段，长度相等。 【知识点2】两点的距离 一.核心定义 两点的距离，是指连接这两个点的线段的长度（注意：是 “长度”，不是 “线段” 本身）。 二.关键性质 *唯一性：两点之间的距离是确定的（两点确定一条线段，长度唯一）。 *最短性：两点之间的距离，是这两点间所有路径（折线、曲线等）中最短的（由 “两点之间线段最短” 公理推导）。 三.与其他知识点的关联 1.和线段计算结合： *若点C在、之间，则AB=AC+CB（AB是、的距离，、是局部距离）。 *若M是AB中点，则、的距离 = 、的距离 = 、的距离。 2.与动点问题结合： *动点运动过程中，两点的距离会随位置变化而改变（需用 “速度 × 时间” 表示线段长度，再计算距离）。 四、实际应用 测量问题：如测量两点间的直线距离（直接用工具量线段长度）。 最短路径问题：如 “从A到B走直线最近”，本质是走 “两点的距离” 路径。 【知识点】线段的中点 一、核心定义 线段的中点，是指把一条线段分成两条长度相等的线段的点（中点在这条线段上）。 二、核心公式（必记） 若M是线段AB的中点，则： 1.AM=MB=AB 2.AB=2AM=2MB 三、易错提醒 中点必须在线段上，若点在延长线上，不是中点； 计算时注意区分 “线段” 和 “线段长度”（中点是 “点”，不是 “线段”）。 题型1.线段的加减运算 【典例1】．已知直线上、、三点，如果线段，线段 ，那么线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差，掌握线段的和差计算方法，图形结合分析是解题的关键． 根据线段的位置分类讨论：①如图所示点在点的左边；②如图所示点在点的右边；根据线段的和差计算方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：①如图所示点在点的左边，，， ∴； ②如图所示，点在点的右边，，， ∴； ∴的长度为或． 故选：C． 【跟踪训练2】．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；……，依次进行这样的标记，则（   ） A．48 B．56 C．64 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义及图形的变化规律，先根据线段中点的定义分别求出，从而求出，同理得到，，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵线段和的中点分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理：，， ∴， 故选：B． 【跟踪训练3】．如图，，为线段上两点，，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查线段的和差，解题的关键是数形结合，列出方程；由题意得方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 解得：． 故答案为：9． 题型2.线段分点(中点/多等分点)计算 【典题1】．如图，线段，点C为线段上一点，点B为的中点，．若点E在线段上，且，则的长为 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握并灵活运用线段的中点和线段的和差是解决本题的关键． 先根据点B为的中点，求解出的长度，再由与可求解的长度，再由即可求解． 【详解】解：若点E在线段上时，如图， 由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练2】．．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 【跟踪训练3】．．．若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（　　） A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论． 【详解】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm， ∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm）， 点D是线段AC的三等分点， ①当AD＝AC时，如图， BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）； ②当AD＝AC时，如图， BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）． 所以线段BD的长为10cm或8cm， 故选：D． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论的思想的运用是解题的关键； 题型3.线段间的长度关联 【典例1】．C是线段MN的中点，D是线段NC上一点，则选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差，中点的性质，由中点可得线段相等，进而可得出线段之间的数量关系，解题的关键是根据示意图找出线段的关系． 【详解】 解：如图：是线段的中点， ， A、，故该选项正确，不符合题意； B、，故该选项正确，不符合题意； C、不是线段中点，，故该选项错误，符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【跟踪训练2】．．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离的应用，解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个解． 根据比例设，则，分为两种情况：①当含有线段的绳子最长时，，②当含有线段的绳子最长时，，求出每个方程的解，代入求出即可． 【详解】解：根据题意，设，则， ①∵将一根绳子对折后得到线段，从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴当含有线段的绳子最长时，， 解得：， 即绳子的原长是 ； ②当含有线段的绳子最长时，， 解得：， 即绳子的原长是； 故答案为或． 故选：C. 【跟踪训练3】．．如图，，点C是线段的中点，若， ． 【答案】16 【分析】本题考查了两点间的距离． 由题意根据线段中点的性质，可得，，然后利用求出，进而利用线段的和差计算可得答案． 【详解】解：∵点C是线段的中点，， ∴， ， ∵， ∴， ∴（）． 故答案为：16． 题型4.线段动点问题解析 【典例1】．已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【答案】1或 【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：   ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：   ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 【跟踪训练2】．．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 【跟踪训练3】．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可求出线段EC． 【详解】设运动时间为t， 则AB=2t，BD=10-2t， ∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点， ∴EB= =t，BC= =5-t， ∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm， 故选：B． 【点睛】此题考查对线段中点的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键． 题型5.两点间的最短路径 【典例1】．如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是（    ）    A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段中点的定义 【答案】C 【分析】根据两点之间线段最短解答即可． 本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据两点之间线段最短，得C正确； 故选：C． 【跟踪训练2】下列说法：①直线与直线是同一条直线；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③若线段，，则线段；④两点之间，线段最短；⑤若，则点是线段的中点．其中正确的有 （    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线，线段，解题的关键是熟记直线，线段的联系与区别． 根据直线的定义对①进行判断；根据两点间的距离的定义对②进行判断；根据线段的和差对③进行判断；根据线段公理对④进行判断；根据线段中点的定义对⑤进行判断． 【详解】解：①直线与直线是同一条直线，故本说法正确； ②应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本说法错误； ③若线段，，则线段或，故本说法错误； ④两点之间，线段最短，故本说法正确； ⑤若，则点是线段的中点，说法错误，因为、、三点不一定共线； 综上所述，正确的有①④共个； 故选：B． 【跟踪训练3】．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为7，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是把． 【详解】解：如图，连接，则，    当N在A，C之间时，的最小值， 的最小值是， 故答案为：． 题型6.两点间的线段长度 【典例1】．如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查两点间的距离，本题需要分析两种情况，当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当点在点的右侧时， ， ∵线段，， ∴， 当点在点的左侧时， ， ∵线段，， ∴， 综上所述，A，C两点间的距离是或， 故答案为：4或8． 【跟踪训练2】．【新知理解】如图1，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点是线段的巧点，则 cm． 【答案】6，9或12 【分析】此题主要考查了两点间的距离，理解“巧点”的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．依题意可知有以下三种情况：①当点靠近点，且时，则点是线段的“巧点”，根据可得出；②当点是线段的中点时，则或，则点是线段的“巧点”，根据线段中点的定义得；③当点靠近点，且时，则点是线段的“巧点”，根据得，综上所述即可得出答案． 【详解】解：点在线段上， 根据“巧点”的定义可知有以下三种情况： ①当点靠近点，且时，如图1所示： 点是线段的“巧点”， ， ， ； ②当点是线段的中点时，则或，如图2所示： 点是线段的“巧点”， ； ③当点靠近点，且时，如图3所示： 点是线段的“巧点”， ， ， ， ， 综上所述：当点是线段的巧点，则的长为6或9或． 故答案为：6或9或12． 【跟踪训练3】．．以下给出的四个语句中，正确的是（   ） A．若线段，则点，，在同一直线上 B．如果线段，则是线段的中点 C．线段厘米，为直线上的一点，且厘米，那么的长度是1厘米 D．两点之间的线段叫做这两点间的距离 【答案】A 【分析】本题考查了线段、两点间的距离，根据线段的和差，可判断A，B；根据线段中点的定义，可判断B；根据两点间的距离的定义，可判断D． 【详解】解：A、若线段，则点A，B，C在同一直线上，故A正确； B、如果线段，C不在线段上时，C不是线段的中点，故B错误； C、线段厘米，C为直线上的一点，且厘米，当C在线段的延长线时那，么的长度是7厘米，故C错误； D、两点之间的线段长叫做这两点间的距离，故D错误； 故选：A． 题型7.路径最短问题求解 【典例1】．如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为，A、C间的路程为，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ）    A．点C处 B．线段之间 C．线段的中点 D．线段之间 【答案】A 【分析】设、间的路程为，分类讨论，当点在点的左侧和点在点的右侧，用含的代数式表示车站到三个村庄的路程之和，就可以得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 设、间的路程为， 如图，当点在点的左侧，    车站到三个村庄的路程之和为：； 如图，当点在点的右侧，    车站到三个村庄的路程之和为：； 综上所述：车站到三个村庄的路程之和为； ∴当时，路程之和最小为， ∴当车站建在村庄处，车站到三个村庄的路程之和最小． 故选： A． 【点睛】本题考查了分类讨论思想的运用，代数式的运用，解答时求得车站到三个村庄的路程之和是关键． 【跟踪训练2】快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【答案】B 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：B 【跟踪训练3】如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米． 【答案】12.5/ 【分析】分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可． 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5) =15.5千米； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+ (2+1.5)=12.5千米； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2) +2+1.5=14.5千米． 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为12.5千米． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键． 1．如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解决本题的关键． 根据线段的性质即可求解． 【详解】解：依题意，小明家到学校有4条路，其中③走最近， 依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短 2．有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据“两点之间线段最短”和“两点确定一条直线”两个公理进行分析判断即可． 【详解】解：①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短，其原理能用基本事实“两点之间线段最短”解释，故不符合题意； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短和两点确定一条直线，理解并掌握两点之间线段最短和两点确定一条直线是解题关键． 3．如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 【答案】5 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候，光点P就会发出红光， ∵图中共有线段，它们共有6个中点，其中线段和的中点重合， ∴最多亮5次红灯． 故答案为：5． 4．如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段的中点，N是线段的中点，若想求出的长度，则只需条件（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是线段中点的定义、两点间的距离等知识点，明确线段中点的定义是解题的关键． 根据点M、N分别是、的中点，，进而得到，即只需知道的长度即可求得的长度． 【详解】解：∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴， ∴，即只需知道的长度即可求得的长度， ∴符合题意． 故选：B． 5．如图A、B、C、D四个车站的位置顺次在一条直线上，A，C两站之间的距离，B，C两站之间的距离，B，D两站之间的距离．若A，B两站之间的距离，则C，D两站之间的距离为 ． 【答案】269 【分析】本题考查了整式加减的应用，首先根据题意表示出，，然后根据求解即可． 【详解】A，B两站之间的距离； ， ， ， ． 答：C，D两站之间的距离是． 故答案为：269． 6．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 7．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解析：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，， ∴，正确，①符合题意； ②，， 当时， 或20； 故②不符合题意； ③， 故正确，③符合题意． 故答案为：B． 8．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段两点间的距离，理解题意、分类作出相应图形是解题的关键． 分两种情况讨论：①当A、C或B、D重合且剩余两端点在重合点同侧时；②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时；让分别作出相应图形，并结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当A、C或B、D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； ②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； ∴两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 9．有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 【答案】A 【分析】根据作图的方法以及线段的中点，三等分点的定义，即可求解． 【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确； ②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误． 故选：A．           【点睛】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，画线段，分类讨论是解题的关键 .10．如图，已知线段，M、N为线段的三等分点． (1)写出图中所有线段； (2)求这些线段长度的和． 【答案】(1)线段，线段，线段，线段，线段，线段 (2) 【分析】本题主要考查了线段的定义、线段的三等分点等知识点，根据三等分点确定各线段的长度成为解题的关键． （1）根据线段的定义确定各线段即可； （2）根据线段的三等分点可得，， ，然后求出各线段的和即可． 【详解】（1）解：图中的线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段． （2）解：∵线段，M、N为线段的三等分点， ∴， ， ， ∴这些线段长度的和是． 11.．如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且． (1)图中共有________条线段；(直接写出结果) (2)若，求线段的长； (3)若为直线上一点，且，请直接写出的值________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的数量问题，线段的中点的性质以及线段的和差关系； （1）根据线段的求出，写出所有的线段条数即可； （2）先根据线段中点的定义求出，然后根据求出，根据计算即可； （3）分两种情况进行解答，即点在的延长线上和点在的延长线上，由线段的和差关系得出答案． 【详解】（1）解：图中的线段有：，，，，，，共条， 故答案为：； （2）线段的长为，点为线段的中点， ， ， ，， ； （3）由于，因此点在的延长线或的延长线上， 当点在的延长线时， ， ； 当点在的延长线时， ， ； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 12．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 13．已知点在线段上，，线段在线段上移动，且点在点的左侧． (1)若，． ①如图1，当为中点时，求的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，求的长； (2)若，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)）①；②的长为3或5； (2) 【分析】本题主要考查线段中点的性质及和差关系，熟练掌握线段中点的性质及和差关系是解题的关键． （1）①由题意易得，，，然后问题可求解； ②由题意可分当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，然后根据线段的和差关系进行求解即可； （2）设，，则，则有，，然后可得， 再由求出之间的数量关系，即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴，， ①∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴； ②由题意可得： 当点E在点F的左侧时，如图所示： ∵，， ∴点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点E在点F的右侧时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的长为3或5； （2）∵，，且满足关系式， 如图所示： 设，，则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴． 14．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为米 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）根据（2）可知当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，然后即可求解； 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 几何线段计算问题. 【知识点1】线段的比较及长短比较 一、线段比较的核心前提 线段是直线上两点间的有限部分，有确定长度，因此线段的比较本质是长度的比较（区别于直线、射线，后两者无长度，无法比较）。 二、线段长短的 3 种常用比较方法 1. 叠合法（直观操作，课堂演示常用） 操作步骤： 1.将两条线段的一个端点重合（如把线段AB的端点A与线段CD的端点C重合）； 2.让两条线段在同一直线上排布（使B、D在A（C）的同一侧）； 3.观察另一个端点的位置，判断长短： *若B落在C、D之间，则AB<CD； *若B与D重合，则AB=CD； *若B落在D的外侧，则AB>CD 2. 度量法（精准比较，解题核心方法） 操作步骤： .*用刻度尺分别测量两条线段的长度（单位统一，如厘米、毫米）； *比较两个长度数值的大小，数值大的线段更长。 3. 截取法（结合线段和差，进阶用法） 操作逻辑：以一条线段为基准，在另一条线段上截取与基准线段等长的部分，通过剩余部分判断长短。 三、线段长短比较的重要结论 传递性：若AB>CD，CD>EF，则AB>EF；若AB=CD，CD=EF，则AB=EF（可类比数的大小传递性，便于记忆）。 最短性关联：两点之间线段最短，因此连接两点的所有线中，线段的长度是最短的，可作为比较路径长短的依据。 四、易错提醒 1.比较时单位必须统一，避免出现 “AB=5cm，CD=45mm” 未统一单位就判断AB>CD的错误； 2.叠合法中，务必保证两条线段 “端点重合、共线且同侧”，否则会因摆放错误导致判断失误； 3.线段的长短与端点的字母顺序无关，如AB和BA是同一条线段，长度相等。 【知识点2】两点的距离 一.核心定义 两点的距离，是指连接这两个点的线段的长度（注意：是 “长度”，不是 “线段” 本身）。 二.关键性质 *唯一性：两点之间的距离是确定的（两点确定一条线段，长度唯一）。 *最短性：两点之间的距离，是这两点间所有路径（折线、曲线等）中最短的（由 “两点之间线段最短” 公理推导）。 三.与其他知识点的关联 1.和线段计算结合： *若点C在、之间，则AB=AC+CB（AB是、的距离，、是局部距离）。 *若M是AB中点，则、的距离 = 、的距离 = 、的距离。 2.与动点问题结合： *动点运动过程中，两点的距离会随位置变化而改变（需用 “速度 × 时间” 表示线段长度，再计算距离）。 四、实际应用 测量问题：如测量两点间的直线距离（直接用工具量线段长度）。 最短路径问题：如 “从A到B走直线最近”，本质是走 “两点的距离” 路径。 【知识点3】线段的中点 一、核心定义 线段的中点，是指把一条线段分成两条长度相等的线段的点（中点在这条线段上）。 二、核心公式（必记） 若M是线段AB的中点，则： 1.AM=MB=AB 2.AB=2AM=2MB 三、易错提醒 中点必须在线段上，若点在延长线上，不是中点； 计算时注意区分 “线段” 和 “线段长度”（中点是 “点”，不是 “线段”）。 题型1.线段的加减运算 【典例1】．已知直线上、、三点，如果线段，线段 ，那么线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【跟踪训练2】．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；……，依次进行这样的标记，则（   ） A．48 B．56 C．64 D．65 【跟踪训练3】．如图，，为线段上两点，，且，则 ． 题型2.线段分点(中点/多等分点)计算 【典题1】．如图，线段，点C为线段上一点，点B为的中点，．若点E在线段上，且，则的长为 ． 【跟踪训练2】．．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【跟踪训练3】．．．若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（　　） A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm 题型3.线段间的长度关联 【典例1】．C是线段MN的中点，D是线段NC上一点，则选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练3】．．如图，，点C是线段的中点，若， ． 题型4.线段动点问题解析 【典例1】．已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【跟踪训练2】．．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 【跟踪训练3】．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 题型5.两点间的最短路径 【典例1】．如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是（    ）    A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段中点的定义 【跟踪训练2】下列说法：①直线与直线是同一条直线；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③若线段，，则线段；④两点之间，线段最短；⑤若，则点是线段的中点．其中正确的有 （    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪训练3】．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为7，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为 ．    题型6.两点间的线段长度 【典例1】．如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 【跟踪训练2】．【新知理解】如图1，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点是线段的巧点，则 cm． 【跟踪训练3】．．以下给出的四个语句中，正确的是（   ） A．若线段，则点，，在同一直线上 B．如果线段，则是线段的中点 C．线段厘米，为直线上的一点，且厘米，那么的长度是1厘米 D．两点之间的线段叫做这两点间的距离 题型7.路径最短问题求解 【典例1】．如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为，A、C间的路程为，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ）    A．点C处 B．线段之间 C．线段的中点 D．线段之间 【跟踪训练2】快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【跟踪训练3】如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米． 1．如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是 ． 2．有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号） 3．如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 4．如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段的中点，N是线段的中点，若想求出的长度，则只需条件（   ）． A． B． C． D． 5．如图A、B、C、D四个车站的位置顺次在一条直线上，A，C两站之间的距离，B，C两站之间的距离，B，D两站之间的距离．若A，B两站之间的距离，则C，D两站之间的距离为 ． 6．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 7．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 9．有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 .10．如图，已知线段，M、N为线段的三等分点． (1)写出图中所有线段； (2)求这些线段长度的和． 11.．如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且． (1)图中共有________条线段；(直接写出结果) (2)若，求线段的长； (3)若为直线上一点，且，请直接写出的值________． 12．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 13．已知点在线段上，，线段在线段上移动，且点在点的左侧． (1)若，． ①如图1，当为中点时，求的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，求的长； (2)若，且满足关系式，求的值． 14．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ 试卷第1页，共3页 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