精品解析：山东省临沂市兰山区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度上学期期中阶段质量检测试题八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 汉字是中华优秀传统文化的重要载体，在几千年的发展演变过程中，篆体是其发展中的重要阶段．在下列篆体文字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用三角尺作 的边 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（ ） A. 画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B. 画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C. 画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D. 画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 4. 2025年9月3日，我国隆重举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，多种自主研发新型装备首次亮相．如图，以重型歼 战斗机D，E所在的直线为x轴、过点A且垂直于 的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若中型歼战斗机B的坐标为，歼电子战飞机C与B到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等，则歼的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件不能确定 是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中，点 ， ， 分别是的中点，若阴影部分的面积为4，则 的面积是（ ） A. 32 B. 36 C. 28 D. 30 7. 如图，为了估计池塘两岸 ，间的距离，在池塘的一侧选取点 ，测得米，米，那么间的距离不可能是（ ） A. 11米 B. 15.8米 C. 26米 D. 米 8. 如图是某海域内三处观测站的分布图，经测量可得处在 处的南偏西方向，在 处向南偏东方向可观测到 处，而 处在处的北偏东方向，则在 处观测 处和处的视线夹角为（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 中，外角，的角平分线 ， 交于点 ，点 在 上，，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. 平分 B. 平分 C. D. 10. 如图，在 中， ，过点作 于点 ，过点作 于点，连接 ，过点 作，交 于点 ． 与 相交于点 ，若点 是 的中点，则下列结论中正确的有（ ） ① ；②；③；④． A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 第II卷（非选择题共90分） 注意事项： 1．第II卷分填空题和解答题． 2．第II卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图所示， ， ，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使 ，则需添加的条件是____________． 12. 如图是蜡烛的平面镜成像示意图，以桌面所在直线为 轴，镜面所在直线为轴建立平面直角坐标系，若火焰顶部 点的坐标是，则对应虚像火焰顶部点的坐标是_____． 13. 在 中， ， 边上的中线 ，则边 的取值范围是_____． 14. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线 为 的平分线的有_____． 15. 如图，在 的边 ， 上取点， ，连接 ， 平分平分，若，的面积是4， 的面积是6，则的长是_____． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为． （1）画出 关于轴对称的，写出点的坐标； （2）求出 的面积； （3）在轴上找一点 ，使 最小，并写出点 的坐标． 17. 风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架 ，底部骨架，点 在 的延长线上．求证：． 18. 如图所示， 是等边三角形， 点是 的中点，延长 到 ，使 ． （1）求 的度数？ （2）用尺规作图的方法，过 点作 ，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求证： ． 19. 如图，在 中，， 的垂直平分线分别交 ， 于点E，F， 的垂直平分线分别交 ， 于点M，N，直线 ， 交于点P． （1）求的度数； （2）求证：点P在线段 的垂直平分线上． 20. 如图，在 中， 为 外一点，连接 ， 平分于点 ，． （1）求证： ； （2）若，求 的长． 21. 【材料阅读】 已知直线同侧有两个点，要在上确定一个点，使得最短。小明的做法如下：作 关于直线的对称点，根据轴对称的性质，对于上任意一点，都有，因此连接 与直线的交点即为所求点，此时最短． （1）上述材料中小明判断最短的依据是_____； 【知识应用】 （2）如图2，有两条河 和 在村庄处交汇，它们的夹角，距离村庄500米处有一个种植园 ，现计划建立兼具灌溉排水功能的环形水渠，，则水渠总长度最短为_____米． 【拓展应用】 （3）如图3，在 中， ， ， ，， 平分 ，分别是边上的动点，求的最小值． 22. 【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形 中，，点 ， 分别是 上的点，且，连接 ，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小雨同学的方法是延长到点 ．使，连接 ，先证明 ，再证明，从而得出结论：_____； （2）拓展延伸：如图2，在四边形 中，分别是边 上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 23. 【数学建模】 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在 中， ， ，直线经过点 ，直线、 直线，垂足分别为点 ． （1）请直接写出 ， 和 之间的关系_____． 【变式探究】 （2）小丽认为当 不是直角三角形时，上述结论仍然成立。如图 ，在 中， ， ， ， 三点都在直线上，并且有，可得．你同意小丽的说法吗?请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题．如图3，和 均为等边三角形，点 ， ， 是同一直线上不重合的三点，，请说明为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期期中阶段质量检测试题八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 汉字是中华优秀传统文化的重要载体，在几千年的发展演变过程中，篆体是其发展中的重要阶段．在下列篆体文字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2. 用三角尺作的边 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作三角形的高，结合图形以及三角尺的特征进行分析，即可作答． 【详解】解：观察四个选项，唯有符合用三角尺作的边 上的高， 故选：B． 3. 在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（ ） A. 画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B. 画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C. 画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D. 画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键．根据题意得：平衡点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵平衡点应是三角形的重心， ∴平衡点是三角形三边中线的交点． 故选：A． 4. 2025年9月3日，我国隆重举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，多种自主研发新型装备首次亮相．如图，以重型歼 战斗机D，E所在的直线为x轴、过点A且垂直于 的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若中型歼战斗机B的坐标为，歼电子战飞机C与B到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等，则歼的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，中型歼战斗机与飞机关于 轴对称， ∴飞机的坐标为， 故选：D． 5. 下列条件不能确定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键；因此此题可根据三角形内角和定理分别求出三个内角的度数，进而问题可求解． 【详解】解：A、由可知：，所以 ，是直角三角形，故不符合题意； B、由及可知： ，所以是直角三角形，故不符合题意； C、由可知，因为，即，解得：，所以不是直角三角形，故符合题意； D、由可设，因为，所以，解得：，则，所以是直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，点 ， ， 分别是的中点，若阴影部分的面积为4，则的面积是（ ） A. 32 B. 36 C. 28 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵D，E，F分别是 ， ， 的中点， ∴，， ， ∵， ∴， 故选A． 7. 如图，为了估计池塘两岸 ，间的距离，在池塘的一侧选取点 ，测得米，米，那么间的距离不可能是（ ） A. 11米 B. 15.8米 C. 26米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵米，米， ∴， ∴， 观察四个选项，唯有不满足这个范围， 故选：D 8. 如图是某海域内三处观测站的分布图，经测量可得处在 处的南偏西方向，在 处向南偏东方向可观测到 处，而 处在处的北偏东方向，则在 处观测 处和处的视线夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要涉及方位角的概念以及三角形内角和定理．首先根据方位角求出三角形中相关的角的度数，再利用三角形内角和为求出结果即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，中，外角，的角平分线 ， 交于点 ，点 在 上，，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. 平分 B. 平分 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点 ，于点 ，由角平分线的性质，等量代换，可得，即可得 平分 ，在 上截取，连接 ，可证明，可得，证明，可得，，可得，由等腰三角形的性质，等量代换，可得，即可得，由，可得，即可得符合题意的选项． 【详解】解：作于点 ，于点 ， ∵ 平分， ，， ∴ ， ∵ 平分，，， ∴， ∴， 又∵ ，， ∴ 平分 ， ∴选项A结论正确，不符合题意； 由已知无法得出 平分， ∴选项B结论不一定正确，符合题意； 在 上截取，连接 ， ∵ 平分 ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴选项C结论正确，不符合题意； ，， ∵， ∴， ∴选项D结论正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算． 10. 如图，在中， ，过点作 于点 ，过点作 于点，连接 ，过点 作，交 于点 ． 与 相交于点 ，若点 是 的中点，则下列结论中正确的有（ ） ① ；②；③；④． A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，可证明得到 ，则可证明，得到 ，故①正确；可证明，得到，则可得到，进而可证明②③正确；过点 作于F，可证明，推出．进而得到，据此可推出④正确． 【详解】解：， ， ， 又， ． ， ， ， 在 和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， ． 在和中， ， ， ，故②正确， ． ， 且， ，故③正确； 如图，过点 作于F， ， ， 点 是 的中点， ， 在 和中， ， ， ． 由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，故④正确； 故选：D． 第II卷（非选择题共90分） 注意事项： 1．第II卷分填空题和解答题． 2．第II卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图所示， ， ，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使 ，则需添加的条件是____________． 【答案】 （或 或） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：， ， 即， ， 根据 只要添加 即可， 根据 只要添加 即可， 根据 只要添加即可． 故答案为： （或 或） 12. 如图是蜡烛的平面镜成像示意图，以桌面所在直线为 轴，镜面所在直线为 轴建立平面直角坐标系，若火焰顶部 点的坐标是，则对应虚像火焰顶部点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对称，先确定镜面所在的对称轴，再根据平面镜成像原理以及关于 轴对称的点的坐标规律求出点坐标． 【详解】解： 镜面所在直线为 轴建立平面直角坐标系， 关于 轴对称， 纵坐标不变，横坐标互为相反数，即． 13. 在中， ， 边上的中线 ，则边 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 延长 至 ，使，连接 ，则，证明和 全等得，在 中，根据三角形三边之间得，由此即可得出边 的取值范围． 【详解】解：延长 至 ，使，连接 ，如图所示： ， ， ， ∵ 是的中点， ， 在和 中， ， ， 在 中，根据三角形三边之间得：， ，， ， ， 即， 故答案为：． 14. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线 为 的平分线的有_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质和证明，选择适当条件证明三角形全等进而证明是解题关键． ①由图可知， ，， ，据此证明即可． ②由图可知， ， 垂直平分 ，据此证明即可． ③由图可知， ， ， ，依次证明， ，即可． ④由图可知，，，据此证明即可． 【详解】解：①有图可知， ， ， ， 射线 是 的角平分线； ②由图可知， ，， ， ， ， 射线 是 的角平分线； ③由图可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 射线 是 的角平分线； ④由图可知， ， ， ， ， ， ， 射线 是 的角平分线． 故答案为：①②③④． 15. 如图，在 的边 ， 上取点， ，连接 ， 平分平分，若，的面积是4， 的面积是6，则的长是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线；过点P作，垂足为点E，过点P作，垂足为点F，过点P作，垂足为点G，连接 ．得到，，根据 的面积是6，求出，得到，即可求出结果． 【详解】解：过点P作，垂足为点E，过点P作，垂足为点F，过点P作，垂足为点G，连接 ． ∵P是外角平分线的交点， ∴， ∵，的面积是4， ∴， ∴， ∴， ∵ 的面积是6， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于 轴对称的，写出点的坐标； （2）求出的面积； （3）在 轴上找一点 ，使 最小，并写出点 的坐标． 【答案】（1）作图见解析， （2） （3）作图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，割补法求三角形的面积，根据成轴对称图形的特征进行求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，分别找出点，再依次连接，得出，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． （3）先连接 交 轴于一点，即为点 ，此时 最小，即可作答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ∴； 【小问2详解】 解：依题意，； 【小问3详解】 解：如图所示，点 即为所求， ； 因为， 所以连接 交 轴于一点，即为点 ， 此时 最小， 观察平面直角坐标系，得． 17. 风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架 ，底部骨架，点 在 的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先理解题意，运用方式证明，故，又因为，则，即可作答． 【详解】解：依题意，在和 中， ． ， ． 18. 如图所示，是等边三角形， 点是 的中点，延长 到 ，使 ． （1）求 的度数？ （2）用尺规作图的方法，过 点作 ，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求证： ． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3） 证明： 是等边三角形， 是 中点， ，又 ， ， ， 又 ， ． 【解析】 【分析】此题综合考查了等边三角形的性质、基本作图和等腰三角形的性质．全等和等腰三角形都是证明线段相等的常用方法． （1）根据等边三角形的性质和三角形的外角的性质进行求解； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法进行求作； （3）根据等腰三角形的三线合一进行证明． 【小问1详解】 解： 是等边三角形， ， 又 ， 为 的外角， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，， 的垂直平分线分别交 ， 于点E，F， 的垂直平分线分别交 ， 于点M，N，直线 ， 交于点P． （1）求的度数； （2）求证：点P在线段 的垂直平分线上． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，则有，进而问题可求解； （2）连接 、 、 ，由题意易得，然后问题可求证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵ 是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接 、 、 ， ∵ 是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点P在线段 的垂直平分线上． 20. 如图，在中， 为外一点，连接 ， 平分于点 ，． （1）求证： ； （2）若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先过点作，交 延长线于点 ，结合 平分，得，又因为，证明，即可作答． （2）由（1）可得，则．再证明，得 ．即，把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：过点作，交 延长线于点 ， 平分， ． ， ， 在 与 中， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ． 在与中， ， ， ． ， ． 即， ∵， ． 21. 【材料阅读】 已知直线同侧有两个点，要在上确定一个点，使得最短。小明的做法如下：作 关于直线的对称点，根据轴对称的性质，对于上任意一点，都有，因此连接 与直线的交点即为所求点，此时最短． （1）上述材料中小明判断最短的依据是_____； 【知识应用】 （2）如图2，有两条河 和 在村庄 处交汇，它们的夹角，距离村庄500米处有一个种植园 ，现计划建立兼具灌溉排水功能的环形水渠，，则水渠总长度最短为_____米． 【拓展应用】 （3）如图3，在中， ， ， ，， 平分 ，分别是边上的动点，求的最小值． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）500；（3）的最小值为 【解析】 【分析】（2）本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，理解轴对称性质的应用是解题的关键． （1）在直线上任取一点 ，连接，证即可； （2）作点 关于直线的对称点，连接 交于 ，则点 就是所求作的点，即：在点 处开沟挖渠，水渠总长度最短，连接，证 为等边三角形，求得 的长即可求解； （3）在 上取一点 ，使得，连接 交 于点，连接，证，当 时，点到 的距离最小，即最小． 【详解】（1）两点之间线段最短．理由如下： 在直线上任取一点 ，连接， 点 在上，点关于直线对称， ， 当点 与点不重合时，，即：， 当点 与点重合时，，即：， ， 点是所求作的点（两点之间线段最短）． （2）作点 关于直线的对称点，连接 交于 ，则点 就是所求作的点，即：在点 处开沟挖渠，水渠总长度最短， 连接， 根据轴对称的性质，得， 的周长， ， （米）， 为等边三角形， （米），即：建立兼具灌溉排水功能的环形水渠，，水渠总长度最短为500米． 故答案为：500； （3）在 上取一点 ，使得，连接 交 于点，连接， 平分， ， ， ， ， ， 当 时，点到 的距离最小，即最小， 在 中，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】 22. 【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点 ， 分别是 上的点，且，连接 ，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小雨同学的方法是延长到点 ．使，连接 ，先证明 ，再证明，从而得出结论：_____； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边 上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明 得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到 ，使，连接 ，先导角证明，再证明 得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到 ，使，连接 ． ，， ， 在 与 中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 23. 【数学建模】 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中， ， ，直线经过点 ，直线、 直线，垂足分别为点 ． （1）请直接写出 ， 和 之间的关系_____． 【变式探究】 （2）小丽认为当不是直角三角形时，上述结论仍然成立。如图 ，在中， ， ， ， 三点都在直线上，并且有，可得．你同意小丽的说法吗?请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题．如图3，和 均为等边三角形，点 ， ， 是同一直线上不重合的三点，，请说明为等腰三角形． 【答案】（1）；（2）小丽的说法正确，理由见解析；（3）说明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知条件可证明，可得 ， ，即可求解； （2）根据已知条件可证明，也可得 ， ，即可求解； （3）根据等边三角形的性质，可得，，再根据（2）得 ，即可证明，由全等三角形的性质可知，即可说明结论． 【详解】（1） ， 和 之间的关系为：； ， ， 直线、 直线， ，， ， 在 和中： ， ， ， ， ， 故答案为： （2）小丽的说法正确，理由如下： 在 中，， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ； （3）由（2）可得 ，， 和 为等边三角形， ，． ，即． 在和 中， ， ， ， 为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $