14 2.5 2.5.2 椭圆的几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦椭圆的几何性质，系统讲解标准方程、范围、对称性、顶点、焦点及离心率等核心知识。通过问题思考引导学生从方程探究边界、对称性等性质，结合圆的性质建立联系，搭建圆锥曲线学习支架。 其特色是融合直观想象（特征三角形理解a,b,c关系）、逻辑推理（焦点三角形求离心率）和数学运算（实例计算），采用问题驱动与分层练习，如鱼群洄游等实际应用案例。学生能提升思维与解题能力，教师可借助结构清晰的例题和易错精讲高效教学。

2.5.2　椭圆的几何性质 　 第二章　2.5　椭圆及其方程 知识层面 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．　 2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、 图形. 素养层面 通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象、数学运算、逻辑推理 素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 问题导思 同理可得－b≤y≤b，故椭圆位于x＝±a和y＝±b围成的矩形内． 问题2.如上图所示，椭圆具有怎样的对称性？如何用方程加以说明？ 提示：既关于坐标轴为轴对称，又关于原点为中心对称．方程中若(x，y)满足，则易知(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)也满足． 问题3.如上图所示，椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？ 提示：令x＝0，则y＝±b；令y＝0，则x＝±a，故(±a，0)，(0，±b)为特殊点． 知识点　椭圆的简单几何性质 新知构建 标准方程   ________________   ________________ 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 对称性 对称轴__________，对称中心________ x轴和y轴 (0，0) 范围 x∈____________， y∈____________ x∈____________， y∈____________ 顶点 ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ 轴长 长轴长|A1A2|＝____ 短轴长|B1B2|＝____ 焦点 ________________________ ________________________ 焦距 |F1F2|＝____ 离心率   e＝_____(0<e<1) [－a，a] [－b，b] [－b，b] A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) [－a，a] A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 2a 2b F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2 1．椭圆的特征三角形 a是椭圆的半长轴长，b是椭圆的半短轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如图，a，b，c恰好构成一个直角三角形．这个三角形就是椭圆的特征三角形，直观地显示出a，b，c三者之间的关系．由此可得“已知椭圆的四个顶点作其焦点”的方法：以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点． 微提醒 2．准确理解椭圆的离心率 椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的扁平程度． (1)当e越趋近于1时， 越趋近于0，椭圆越扁； (2)当e越趋近于0时， 越趋近于1，椭圆越接近于圆． 当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2＋y2＝a2.　　 自主检测 A．点(－3，－2)不在椭圆上 B．点(3，－2)不在椭圆上 C．点(－3，2)在椭圆上 D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上 √ √ 返回 合作探究 返回 　　(1)已知椭圆x2＋my2＝1(m>0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝ √ 思路点拨　解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质． 例1 (2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为 ，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 方法技巧 1．已知椭圆方程不是标准形式时，应先化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上，再讨论其几何性质． 2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置． (2)椭圆的范围决定椭圆的大小． (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度． (4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这些点． √ √ 　　(链教材P141练习BT1)根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)长轴长为10，离心率为 ； 思路点拨　 由2a＝10， 求得a → → 由b2＝a2－c2 求得b2 写出两个 标准方程 解：由题意，得2a＝10，所以a＝5. 所以b2＝a2－c2＝25－9＝16. 例2 思路点拨　 由焦距为6 求得c → → 由a2＝b2＋c2 求得a2 写出标准方程 (2)焦点在x轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为6. 由已知垂直 关系求得b 解：如图，因为焦距为6， 所以2c＝6， 所以c＝3. 因为B1F⊥B2F， 所以∠B1FO＝45°， 所以|OB1|＝|OF|，所以b＝c＝3， 所以a2＝b2＋c2＝18. 方法技巧 已知椭圆的几何性质求标准方程的步骤 1．确定焦点所在的坐标轴，确定椭圆标准方程的形式； 2．建立关于a，b，c的关系式或方程(组)，并解出a，b的值； 3．写出椭圆的标准方程．　　 √ 思路点拨　求椭圆的离心率就是设法建立a，c的关系式． 例3 (2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________． 思路点拨　求椭圆的离心率就是设法建立a，c的关系式． 变式探究 1．(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率． 解：在△PF1F2中， 因为∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°， 所以∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，如图， 故|F1F2|＝2c，m＋n＝2a， 2．(变条件，变设问)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围． 解：由题意，知以F1F2为直径的圆与椭圆相交，故c>b，所以c2>b2. 又b2＝a2－c2， 方法技巧 求椭圆离心率的值或取值范围问题，先将已知条件转化为a、b、c的方程或不等式，再求解． (1)若已知a、c可直接代入e＝ 求得． (2)若已知a、b则使用e＝ 求解． (3)若已知b、c，则求a，再利用(1)求解． (4)若已知a、b、c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)． (5)给出图形的问题，先由图形和条件找到a、b、c的关系，再列方程(不等式)求解．由于a、b、c之间是平方关系，所以在求e时，常常先平方再求解．　　 √ 题型四　椭圆的实际应用 　　某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群(将鱼群视为点P)洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C.现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求椭圆C的方程； 思路点拨　 利用待定系数法求出椭圆方程 → 利用点P到A、B两点的距离求出鱼群P的位置坐 例4 因为2a＝8，2c＝4， 所以a＝4，c＝2，b2＝a2－c2＝12， (2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群(探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计)，A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为5∶3，试确定此时鱼群P的位置(即点P的坐标)． 解：易知A(－2，0)，B(2，0)． 因为|PA|∶|PB|＝5∶3，|PA|＋|PB|＝8， 所以|PA|＝5，|PB|＝3. 所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3)． 方法技巧 1．解决与椭圆相关的应用题的基本策略： (1)通过求解椭圆的方程来研究它们的性质； (2)应用椭圆的定义、方程及性质把有关几何知识转化为数量关系，再结合代数知识来求解． 2．利用椭圆解决实际问题的基本步骤： (1)建立适当的坐标系； (2)求出椭圆的标准方程(待定系数法)； (3)根据椭圆的方程及性质解决实际问题．　　 A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D．b＝ 对点练4．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(距地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一个直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则 √ √ √ 例5 所以a2－b2＝2.② 联立①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，所以a2＝4. (2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围． 思路点拨　点M(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为M(x1，y1)，由题设能导出3x1－4y1＝－5x0，由点P(x0，y0)在椭圆C上，知－2≤x0≤2.由此可求出3x1－4y1的取值范围． 解：因为点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)， 所以3x1－4y1＝－5x0. 所以－2≤x0≤2， 所以－10≤－5x0≤10， 即3x1－4y1的取值范围为[－10，10]． 方法技巧 椭圆几何性质的拓展 1．设椭圆 ＝1(a>b>0)上的任意一点P(x，y)，则当x＝0时， |PO|有最小值，这时P在短轴端点处；当x＝a时，|PO|有最大值，这时P在长轴端点处． 2．椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c，0)，F2(c，0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． 3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角三角形，其三边长满足等式a2＝b2＋c2. 4．椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点．　　 对点练5．已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一个动点，点A的坐标为(0，5)，则|PA|的最小值为________． 2 易错精析 正解　①若焦点在x轴上，即当k＋8>9时，a2＝k＋8，b2＝9. ②若焦点在y轴上，即当0<k＋8<9时，a2＝9，b2＝k＋8. 例1 易错探因　错解中忽视了椭圆的焦点位置的不确定性，应分焦点在x轴和y轴上两种情况进行讨论． 误区警示　在解椭圆的有关问题时，有时需要进行分类讨论，否则极易犯以偏概全的错误，如当字母的取值范围不能确定时，就需要分类讨论． 设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d， 例2 易错探因　本题易忽略椭圆方程中y的取值范围，在解题时直接得：当y＝ － 时，d2有最大值．事实上，由于点(x，y)在椭圆上，所以有－ b≤y ≤b，因此在求d2的最大值时，应分类讨论． 误区警示　与椭圆有关的最值问题，在转化为函数求最值时，一定要注意函数的定义域． 返回 课时测评 返回 1．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则关于椭圆C下列叙述正确的是 A．椭圆C的长轴长为10 B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0，3) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A距地面 m km，远地点B距离地面n km，地球半径为k km，则飞船运行轨道的短轴长为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点， PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以b2＝a2－c2＝25－5＝20， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)． 所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：由余弦定理得 解得|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又因为椭圆中0<e<1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．P到F1(－4，0)，F2(4，0)，E1(0，－4)，E2(0，4)四点的距离之和为定值 B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称 C．曲线C所围区域面积必小于36 D．曲线C的总长度不大于6π √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 逐一考查所给的说法： 考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆 ＝1上，P到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0，4)两点的距离之和不为定值，故A错；两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，所以曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线C的总长度大于圆的周长6π，故D错误．故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：由(1)得，A(－2，0)，F(1，0)，设P(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ . (1)求椭圆C的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当| |最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围． 返回 又点M(m，0)在椭圆长轴上， 所以1≤m≤4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 问题1.如图所示，椭圆方程为＋＝1，你能根据方程确定椭圆的边界吗？ ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 3．若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为________． 2 4．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的 离心率为________． 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)． 所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)，顶点坐标为A1(0，－)，A2(0，)，B1(－2，0)，B2(2，0)． 椭圆＋＝1的长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.椭圆＋＝1(k<9)的长轴长为2，短轴长为2，焦距为2＝8，离心率为.因此两个椭圆的焦距相等．故 选C. 由＝及a， 求得c 对点练2．(1)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为 A．＋y2＝1 B．x2＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 (2)若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 则椭圆的方程是__________． ＋＝1 题型三　求椭圆的离心率 　 　(链教材P139例2)(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为 ________． 对点练3．(1)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1AF2＝，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． (2)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2 ＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________． 方法一：因为椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，所以以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆必有交点，如图，b≤c，所以b2≤c2，又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2≤c2，即a2≤2c2，则e2＝≥，又因为0<e<1，所以≤e<1，所以椭圆的离心率e的取值范围为. 题型五　与椭圆有关的综合问题 　 　已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足＋＝0. (1)求椭圆C的方程； 思路点拨　由点P(－，1)在椭圆上和＋＝0，M在y轴上，可得到两个关于a，b的关系式，联立解得b2＝2，a2＝4.从而能得到所求椭圆C的方程． ＋ 易错点2　忽略椭圆的范围致错 　　 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程． ＝－3＋4b2＋3(－b≤y≤b)． 解得b＝±－，与0<b<矛盾． 所以必有b≥，此时当y＝－时，d2有最大值，从而d有最大值，即4b2＋3＝()2，解得b2＝1，所以a2＝4. 若b<，则当y＝－b时，d2有最大值，从而d有最大值，于是()2＝ ， C．椭圆C的离心率等于 D．若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝ 4．我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设F1，F2是“优美椭圆”C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，则椭圆C上满足∠F1PF2＝90°的点P的个数为 A．0 B．1 C．2 D．4 5．(多选)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是 A． B． C． D． 6．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁(填序号)． 7．(一题两空)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则椭圆的 离心率为________，若过点F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于两点，其 中一点为A，则|F1A|＝________． 因为P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，则P点的坐标为， 解：由4x2＋9y2＝36⇒＋＝1，知焦距为2，所以所求椭圆的焦距也为2，c＝.又离心率为，所以＝，所以a＝5， (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝. 10．(10分)设椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率e的取值范围． 11．(5分)(多选)如图，两个椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个选项中正确命题为 ＋ 12．(5分)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，若直线l：x＝上存在一点P，使得线段PF1的垂直平分线过点F2，则离心率的范 围是________． 由题意得F1(－c，0)，F2 (c，0)，设点P，则由中点公式可得线段PF1的中点K，所以直线PF1的斜率与KF2的斜率之积等于－1， 13．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点坐标为(0，)，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求·的取值范围． 14．(5分)(多选)已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且＝，cos∠PF2F1＝，则下列结论正确的有 A．椭圆E的离心率为 B．椭圆E的离心率为 C．PF1⊥PF2 D．若△PF1F2内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10 ＝x－2mx0＋m2＋12＝x－2mx0＋m2＋12＝(x0－4m)2－3m2＋12.所以||2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x0＝4时，||2最小，所以4m≥4，所以m≥1. $