2.7.2 抛物线的几何性质 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[知识点二]　焦点弦　 　直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，故|AB|＝　x1＋x2＋p　. 2.抛物线y2＝2px(p>0)过焦点且垂直于对称轴的弦长是多少？ 提示：抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称．(　　 ) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　　 ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　 ) (4)抛物线y＝－eq \f(1,8)x2的准线方程为x＝eq \f(1,32).(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　 (3)√　(4)× 2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　 ) A．x2＝16y　　　 B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 解析：D　[顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.] 3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　 ) A．10　　　 B．8　　　 C．6 　　 D．4 解析：B　[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.] 用抛物线的几何性质求标准方程 [例1]　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2eq \r(3)，则抛物线的方程为　________　. (2)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，求抛物线的标准方程． [解析]　(1)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±eq \r(3)，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，eq \r(3))或(－1，eq \r(3))，设抛物线方程为 y2＝2px或y2＝－2px(p>0)， 则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x. [答案]　(1)y2＝3x或y2＝－3x (2)[解]　由已知得eq \f(c,a)＝2，所以eq \f(a2＋b2,a2)＝4，解得eq \f(b,a)＝eq \r(3)， 即渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.而抛物线准线方程为x＝－eq \f(p,2)， 于是Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))， 从而△AOB的面积为eq \f(1,2)·eq \r(3)p·eq \f(p,2)＝eq \r(3)，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x. 用待定系数法求抛物线方程的步骤 [变式训练] 1．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程． 解：设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0)． 因为点P到对称轴距离为6，所以y0＝±6， 因为点P到准线距离为10，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(a,2)))＝10.　① 因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0.　② 由①②，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,x0＝9))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝18，,x0＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－18，,x0＝－1.)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,x0＝－9.)) 所以所求抛物线方程为y2＝±4x或y2＝±36x. 抛物线性质的应用 [例2]　(1)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是　________　. (2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长． [解析]　 (1)如图，设A(x0，y0)， 过A作AH⊥x轴于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1， 由∠AFO＝120°， 得∠AFH＝60°， 故y0＝|AH|＝eq \r(3)(x0－1)，所以A点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\r(3)x0－1))， 将点A坐标代入抛物线方程可得3xeq \o\al(2,0)－10x0＋3＝0， 解得x0＝3或x0＝eq \f(1,3)(舍)，故S△AKF＝eq \f(1,2)×(3＋1)×2eq \r(3)＝4eq \r(3). [答案]　4eq \r(3) (2)如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq \o\al(2,1)＝2px1，yeq \o\al(2,2)＝2px2. 又|OA|＝|OB|，所以xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)＝xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2)， 即xeq \o\al(2,1)－xeq \o\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. ∵x1＞0，x2＞0,2p＞0，∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称．由此得∠AOx＝30°， 所以y1＝eq \f(\r(3),3)x1，与yeq \o\al(2,1)＝2px1联立，解得y1＝2eq \r(3)p. ∴|AB|＝2y1＝4eq \r(3)p. 利用抛物线的性质可以解决的问题 1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题． 2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． 3．范围：解决与抛物线有关的最值问题． 4．焦点：解决焦点弦问题． [变式训练] 2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，求抛物线的标准方程． 解：由已知得eq \f(c,a)＝2，所以eq \f(a2＋b2,a2)＝4，解得eq \f(b,a)＝eq \r(3). 即渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，而抛物线准线方程为x＝－eq \f(p,2)，于是Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3),2)p))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3),2)p))，从而△AOB的面积为eq \f(1,2)·eq \r(3)p·eq \f(p,2)＝eq \r(3). 可得p＝2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为y2＝4x. 与焦点弦有关的问题 [例3]　已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程； (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λeq \o(OB,\s\up16(→))，求λ的值． [思路点拨]　(1)设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解． (2)根据①求出点A、B的坐标，设出点C的坐标，由eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λeq \o(OB,\s\up16(→))，可用λ表示点C的坐标，最后根据点C在抛物线上求出λ值． [解]　直线AB的方程是y＝2eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq \f(5p,4)， 由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x. 由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq \r(2)，y2＝4eq \r(2)，从而A(1，－2eq \r(2))，B(4,4eq \r(2))； 设eq \o(OC,\s\up16(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq \r(2))＋λ(4,4eq \r(2))＝(4λ＋1,4eq \r(2)λ－2eq \r(2))， 又yeq \o\al(2,3)＝8x3，即[2eq \r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2. 1．焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. 2．“中点弦”问题解题策略两种方法 [变式训练] 3．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(5,2)p，求AB所在直线的方程． 解：∵过焦点的弦长|AB|＝eq \f(5,2)p，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零， 设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵y2＝2px的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)). ∴直线方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))). 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq \f(1,4)k2p2＝0(k≠0)， ∴x1＋x2＝eq \f(k2p＋2p,k2)，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(k2p＋2p,k2)＋p， 又|AB|＝eq \f(5,2)p，∴eq \f(k2p＋2p,k2)＋p＝eq \f(5,2)p，∴k＝±2. ∴所求直线方程为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))或y＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))). 抛物线的综合应用 [例4]　求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离． [解]　方法一　设A(t，－t2)为抛物线上的点， 则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝eq \f(|4t－3t2－8|,5)＝eq \f(|3t2－4t＋8|,5)＝eq \f(1,5) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))2－\f(4,3)＋8))＝eq \f(1,5) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))2＋\f(20,3)))＝eq \f(3,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))2＋eq \f(4,3). 所以当t＝eq \f(2,3)时，d有最小值eq \f(4,3). 方法二　如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋m＝0，))消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0， ∴m＝－eq \f(4,3)， 故最小距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－8＋\f(4,3))),5)＝eq \f(\f(20,3),5)＝eq \f(4,3). 应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化． (2)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值． [变式训练] 4.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值． 解：(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2， 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1. (2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB， 即eq \f(y1－2,x1－1)＝－eq \f(y2－2,x2－1). 又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝eq \f(y\o\al(2,1),4)，x2＝eq \f(y\o\al(2,2),4)， 从而有eq \f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),4)－1)＝－eq \f(y2－2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)，即eq \f(4,y1＋2)＝－eq \f(4,y2＋2)，得y1＋y2＝－4， 故直线AB的斜率kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝－1. [当堂达标] 1．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　 ) A．y2＝x　　　 B．x2＝8y C．x2＝－8y D．y2＝－8x 解析：AC　[若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝eq \f(1,2)，所以抛物线的方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝2p×(－2)，解得p＝－4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.故选AC.] 2．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　 ) A.eq \f(1,2)　　　　B.eq \f(1,4)　　　 C.eq \f(1,6)　　　D.eq \f(1,8) 解析：A　[线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).] 3．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是　________　. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，可得p＝eq \f(1,4). ∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－eq \f(1,4)＝eq \f(15,4)， 故AB的中点的纵坐标是eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(15,8). 答案：eq \f(15,8) 4．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程． 解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直线l的方程为y＝x－eq \f(p,2).设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1， 则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6， ∴x1＋x2＝6－p.① 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＝2px，即x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p， 代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq \f(3,2). ∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x. 当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x. $$