8 2.3 2.3.2 圆的一般方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

2.3.2　圆的一般方程 　 第二章　2.3　圆及其方程 知识层面 1.了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．　 2.会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简 单问题．　 3.灵活选取恰当的方法求圆的方程. 素养层面 通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养；借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的核心素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 问题1.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2能否化为二元二次方程的一般 形式？ 问题导思 提示：可以．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是二元二次方程的一般形式． 问题2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？举例说明． 提示：不一定．如x2＋y2＋1＝0，不能表示任何曲线． 知识点　圆的一般方程 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当__________________时，该方程 叫作圆的一般方程，其中圆心为_____________，半径为____________． 新知构建 D2＋E2－4F＞0 1．一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0. 3．圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件．　　 微提醒 微思考　如何判断点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系？ 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3) √ 自主检测 2．(多选)已知方程x2＋y2＋2x－m＝0，下列叙述正确的是 A．方程如果表示圆，则m≥－1 B．方程如果表示圆，则圆心在x轴上 C．方程如果表示圆，则圆心在y轴上 D．当m＝0时，方程表示以(－1，0)为圆心，半径为1的圆 √ √ 3．已知圆的方程C：x2＋y2＋2ax＋9＝0圆心坐标为(5，0)，则它的半径为________． 4 4．直线x－2y－3＝0平分圆x2＋y2－2ax＋2y－1＝0(a∈R)，则a＝____． 1 合作探究 返回 题型一　二元二次方程表示圆的判断 　　(链教材P109例2)判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径： (1)x2＋y2－4x－6y＝0； 解：由x2＋y2－4x－6y＝0可得D＝－4，E＝－6，F＝0， 所以D2＋E2－4F＝16＋36＝52>0， (2)x2＋y2＋5x－6y＋20＝0； 解：由x2＋y2＋5x－6y＋20＝0可得D＝5，E＝－6，F＝20， 所以D2＋E2－4F＝25＋36－4×20＝－19<0， 故x2＋y2＋5x－6y＋20＝0不表示任何曲线． 例1 (3)x2＋y2－8x－6y＋25＝0； 解：由x2＋y2－8x－6y＋25＝0可得D＝－8，E＝－6，F＝25， 所以D2＋E2－4F＝64＋36－4×25＝0， 故x2＋y2－8x－6y＋25＝0表示一个点(4，3)，不能表示圆． (4)x2＋y2－2ax－4by＋3b2－1＝0. 解：由x2＋y2－2ax－4by＋3b2－1＝0可得D＝－2a，E＝－4b，F＝3b2 －1， 所以D2＋E2－4F＝4a2＋16b2－4×(3b2－1)＝4a2＋4b2＋4>0， 方法技巧 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法 1．配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为标准方程后，观察是否表示圆． 2．运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆． 注意：在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数均为1. 对点练1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； 解：方法一(根据D2＋E2－4F>0求解)： 由方程表示圆的条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 方法二(化为圆的标准方程求解)： 方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为 (x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m. (2)写出圆心坐标和半径． 解：方法一(根据D2＋E2－4F>0求解)： 方法二(化为圆的标准方程求解)： 将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝ . 题型二　求圆的一般方程 　　已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆P的方程． 思路点拨　设出外接圆的一般方程，分别把A，B，C三点的坐标代入，解出D，E，F即可得所求方程；或根据几何性质求出圆心坐标和半径，即可得圆的方程． 解：方法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 故所求外接圆P的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. 例2 方法二：由题意可得弦AC的中垂线方程为x＝2， BC的中垂线方程为x＋y－3＝0. 所以圆心P的坐标为(2，1)． 故所求外接圆P的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25. 方法技巧 1．用待定系数法求解圆的方程，选用标准方程还是一般方程的原则是：如果已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设圆的标准方程；否则可设圆的一般方程． 2．待定系数法求圆的一般方程的步骤 对点练2．求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 所以所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0， 易错点　忽略题中的隐含条件致错 　　 已知点A(1，2)在圆C：x2＋y2＋2ax－2ay＝0的外部，则实数a的取 值范围为__________________． 正解　因为点A(1，2)在圆的外部， 所以12＋22＋2a－2a×2>0， 即5－2a>0，所以a< . 又2a2>0，所以a≠0. 故实数a的取值范围是(－∞，0)∪ . 典例 易错精析 易错探因　易忽略隐含条件2a2>0. 误区警示　对于圆的标准方程，应保证等号右端大于0；对于圆的一般方程应保证D2＋E2－4F>0，求解时应注意这些隐含条件． 返回 课时测评 返回 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为 A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16 方法二：将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2，3)，半径为4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．(2024·浙江金华高二联考)下列方程表示圆的是 A．x2＋y2＋xy－1＝0 B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0 C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0 D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 圆的方程x2＋y2＋2mx＋9＝0，即(x＋m) 2＋y2＝－9＋m2，因为半径为4，所以－9＋m2＝42，解得m＝±5.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(2024·辽宁沈阳高二期末)已知点(1，2)在圆C：x2＋y2－ax－2y＋ a＝0外，则实数a的取值范围为 A．{a|a>4} B．{a|a>－4} C．{a|－4<a<1或a>4} D．{a|－4<a<－1或a>4} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为 ，则下列结论正确的是 A．D＝2 B．D＝－2 C．E＝－4 D．E＝4 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为______________． x2＋(y＋1)2＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，D(2，a)四点共圆，则a＝________． 设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是____________________． x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1，1)，B(3，－1)的圆的一般方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)已知方程x2＋y2＋2mx＋4y＋2m2－3m＝0表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； 解：原方程可化为(x＋m)2＋(y＋2)2＝－m2＋3m＋4， 若方程表示一个圆，则－m2＋3m＋4>0，解得－1<m<4， 即实数m的取值范围是(－1，4). (2)求圆的周长取最大时圆的标准方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(多选)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确 的是 A．圆心在直线y＝－x上 B．圆心在直线y＝x上 C．圆过原点 D．圆的半径为 |a| √ √ √ 圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2，圆心坐标为(－a，a)，适合方程y＝－x，不适合y＝x，故A正确，B错误；把(0，0)代入，适合圆的方程C正确；又r2＝2a2，r＝ |a|，故D正确．故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)(一题两空)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________． (－2，－4) 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B(－1，0)，C(1，0)，且|AB|＝ |AC|. (1)求顶点A的轨迹方程； 解：设A(x，y)，又B(－1，0)，C(1，0)，且|AB|＝ |AC|， 所以(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，整理得x2＋y2－6x＋1＝0， 由于三点要构成三角形，轨迹方程需去掉与x轴的交点， 所以顶点A的轨迹方程为x2＋y2－6x＋1＝0(x≠3±2 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求△ABC的面积的最大值． 解：x2＋y2－6x＋1＝0可化为(x－3)2＋y2＝8，即圆的半径为2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(新情境)数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：x2＋y2＝2|x|＋2|y|就是一条形状优美的曲线，求此曲线围成的图形的面积为 A．8＋8π B．8＋4π C．16＋8π D．8＋16π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； 解：令x＝0得抛物线与y轴交点是(0，b)； 令f(x)＝x2＋2x＋b＝0， 由题意b≠0，且Δ＝4－4b>0，解得b<1，且b≠0. 即实数b的取值范围为{b|b<1，且b≠0}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)请问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论． 返回 解：圆C过定点．证明：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得函数f(x)＝x2＋2x＋的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和坐标轴的交点， 令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，由题意可得，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b. 令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出E＝－b－1， 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0(b<1，且b≠0)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 对于A，因为D＝2，E＝0，F＝－m，由方程表示圆的条件得D2＋E2－4F>0，即22＋02－4(－m)>0，解得m>－1，所以只有当m>－1时才表示圆，故A错误；对于B，C，因为－＝－1，－＝0，若方程表示圆，圆心坐标为(－1，0)，圆心在x轴上，故B正确，C错误；对于D，当m＝0时，半径r＝＝＝1，故D正确．故选BD. 故x2＋y2－4x－6y＝0表示圆，且圆心为(2，3)，半径r＝＝. 故x2＋y2－2ax－4by＋3b2－1＝0表示圆，且圆心为(a，2b)，半径r＝＝. 解得m<，即实数m的取值范围为. (－∞，0)∪ 对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆；对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，因为22＋22－4×2＝0，所以该方程不表示圆；对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0，因为(－3)2＋12－4×4<0，所以该方程不表示圆；对于D选项，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0，因为22＋－4×>0，所以该方程表示圆．故选D. 将圆的方程配方，得＋(y＋1)2＝－k2＋1.因为r2＝1－k2≤1，所以rmax＝1，此时k＝0，圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1. 解：圆的半径r＝＝≤，当且仅当m＝时，半径r取得最大值， 所以圆的周长的最大值为5π，此时圆的标准方程是2＋(y＋2)2＝. 由题意知a2＝a＋2，则a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，即＋(y＋1)2＝－，不能表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5. 所以A到x轴的最大距离为2，故△ABC的面积的最大值为×2×2＝2. 把圆C的方程改写为x2＋y2＋2x－y－b(y－1)＝0，令 解得或故圆C过定点(0，1)和(－2，1)． $