4 2.2 2.2.3　两条直线的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

2.2.3　两条直线的位置关系 　 第二章　2.2　直线及其方程 知识层面 1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．　 2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．　 3.灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系. 素养层面 通过学习两直线位置关系的方法，培养逻辑推理的核心素养；借助两直线位置关系的应用，培养数学运算的核心素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 问题1．(1)在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ (2)平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 问题导思 提示：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 提示：两直线平行，倾斜角相等． 问题2．(1)在平面中，若两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则它们垂直的充要条件是什么？ (2)平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么 结论？ 提示：(1)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 提示：k1·k2＝－1. 知识点一　两条直线的相交、平行与重合 1．几何方法判断 若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则： (1)l1与l2相交⇔________； (2)l1∥l2⇔________________； (3)l1与l2重合⇔________________． 新知构建 k1≠k2 k1＝k2且b1≠b2 k1＝k2且b1＝b2 2．向量方法判断 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量． (1)l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即_________． (2)l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即________________； A1B2≠A2B1 A1B2＝A2B1 微思考 直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是什么？重合呢？ 提示：平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件为C1＝C2. 知识点二　两条直线的垂直 1．一般地，若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. 则l1⊥l2⇔___________． 2．设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 则l1⊥l2⇔___________________． 微思考“两条直线的斜率之积为－1”是“两条直线垂直”的充要条 件吗？ 提示：不是．当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.故“两条直线的斜率之积为－1”是“两条直线垂直”的充分不必要条件．即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在． k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 1．若两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于 A．2 B．1 C．0 D．－1 因为两条直线平行，则a＝2－a，得a＝1. √ 自主检测 2．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的 值是 A．－3 B．2 C．－3或2 D．3或－2 解得a＝－3. √ √ 4．以A(1，3)，B(－5，2)为端点的线段的垂直平分线的方程是__________ _______． 12x＋2y＋ 19＝0 合作探究 返回 题型一　两条直线位置关系的判断 　 (链教材P93例1)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； 所以l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． 例1 (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； ①×2－②得1＝0，矛盾． 这个方程组无解， 所以直线l1与l2无公共点，l1∥l2. (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. ①×2得2x－2y＋2＝0. ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． 题型二　由直线的平行或垂直求直线的方程 　　(链教材P96例4)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是 A．x＋y－2＝0　　　　　　　 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 √ 思路点拨　可以先求出所求直线的斜率，再由点斜式写出所求直线的方程；也可以设出与直线x＋y＋1＝0垂直的直线系方程求解． 例2 方法一：依题意得直线l的斜率为1，又直线l过点(0，3)，所以直线l的方程为y－3＝1×(x－0)，即x－y＋3＝0. 方法二：因为直线l垂直于直线x＋y＋1＝0，所以可设直线l的方程为x－y＋c＝0，又直线l过点(0，3)，则c＝3.故直线l的方程是x－y＋3＝0. 一般地，利用平行直线系或垂直直线系直接设出直线方程，用待定系数法即可求解． 方法技巧 1．与直线y＝kx＋b平行的直线方程可设为y＝kx＋m(m≠b)；与直线y＝kx＋b垂直的直线方程可设为y＝－ x＋m. 2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.　　 对点练1．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的方程，使l′满足： (1)过点(－1，3)，且与l平行； 解：方法一：l的方程可化为y＝－ x＋3， 所以l的斜率为－ . 因为l′与l平行，所以l′的斜率为－ . 又l′过点(－1，3)，所以由点斜式得直线l′的方程为y－3＝－ (x＋1)，即3x＋4y－9＝0. 方法二：由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)， 将(－1，3)代入得m＝－9. 所以所求直线方程为3x＋4y－9＝0. (2)过点(－1，3)，且与l垂直； 解：方法一：l的方程可化为y＝－ x＋3， 所以l的斜率为－ ，由l′与l垂直，得l′的斜率为 . 又l′过点(－1，3)，所以由点斜式得直线l′的方程为y－3＝ (x＋1)，即4x－3y＋13＝0. 方法二：由l′与l垂直， 可设l′的方程为4x－3y＋n＝0， 将(－1，3)代入得n＝13. 所以所求直线方程为4x－3y＋13＝0. (3)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4. 题型三　由直线的位置关系求参数的值 　　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2 平行？ 思路点拨　利用直线平行(或垂直)的条件列方程组，进而求参数． 解：由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2， 因为l1∥l2， 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． 例3 (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 解：由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4， 因为l1⊥l2，所以4(2a－1)＝－1，解得a＝ . 故当a＝ 时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 方法技巧 对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论： 1．斜截式 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2. 则l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2．一般式 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.　　 对点练2．已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交； 解：因为直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 所以A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. (1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0， 即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，即m≠3，且m≠－1. 故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交． (2)平行； 解：因为直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 所以A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. 所以m＝－1. 故当m＝－1时，直线l1与l2平行． (3)重合； 解：因为直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 所以A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. 若l1与l2重合， 故当m＝3时，直线l1与l2重合． (4)垂直． 解：因为直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 所以A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. 若l1⊥l2，则有A1A2＋B1B2＝0， 即(m－2)＋3m＝0，所以m＝ ， 故当m＝ 时，直线l1与l2垂直． 易错点1　忽略直线斜率不存在的情况致错 　　 已知直线l1：(2－a)x＋ay－3＝0，l2：(2a＋3)x－(a－2)y＋2＝0互相垂直，则实数a的值为________． 正解一　因为l1⊥l2，则必有(2－a)(2a＋3)－a(a－2)＝0，即a2－a－2＝0，所以a＝2或a＝－1.将a＝2或a＝－1代入方程，均满足题意． 正解二　①若a＝0，直线l1：2x－3＝0与直线l2：3x＋2y＋2＝0不垂直． ②若2－a＝0，即a＝2，直线l1：2y－3＝0与直线l2：7x＋2＝0显然垂直． 2或－1 易错精析 例1 综上可知，当a＝2或a＝－1时，直线l1⊥l2. 易错探因　在利用斜率判断直线位置关系时，一定要先保证直线斜率 存在． 易错点2　忽略两直线重合的情形致错 　　 已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为____． 3 正解二　令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3. 当a＝－1时，两条直线的方程都为x－3y－1＝0，即两条直线重合，故 舍去； 当a＝3时，两条直线的方程分别为3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，两条直线平行． 所以a的值为3. 例2 返回 误区警示　当两直线的斜率存在时，两直线平行的等价条件是斜率相等且在y轴上的截距不相等，解题时容易忽略在y轴上的截距不相等这一限制条件，导致产生增解． 课时测评 返回 1．已知直线l1：y＝2x＋1，l2：y＝－ x－2，则两条直线的位置关系为 A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是 A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 √ 方法二：与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为x－2y＋c＝0(c≠－2)，由直线x－2y＋c＝0过点(1，0)，得c＝－1，故所求直线的方程是x－2y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(2024·山东淄博高二质量检测)过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为 A．3x＋2y＋7＝0 B．3x＋2y－1＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 方法二：与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程可设为3x＋2y＋m＝0 ，又所求直线过点(－1，2)，则3×(－1)＋2×2＋m＝0，即m＝－1，所以所求直线方程为 3x＋2y－1＝0.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)下列命题正确的是 A．当B≠0时，直线一般式方程可化为斜截式方程 B．当C≠0时，直线的一般式方程可化为截距式方程 D．直线ax＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直的条件是a＝1或a＝－3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．与直线3x＋4y＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为 的直线的方程为______________． 3x＋4y－4＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．使直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直的实数a的值为________． 由(2a＋1)a－3a＝0，解得a＝0或1. 0或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知两平行直线的斜率是方程2x2－4x＋m－1＝0的两实根，则m的值是________． 由题意知方程2x2－4x＋m－1＝0的两实根相等，所以Δ＝(－4)2－4×2×(m－1)＝0，解得m＝3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)当l1∥l2时，求实数a的值； 解：方法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1： 解得a＝－1，综上可知，当l1∥l2时，a＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故当l1∥l2时，a＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当l1⊥l2时，求实数a的值． 解：方法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立； 当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为________________． x＋4y－14＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使： (1)l1与l2相交于点P(m，－1)； 所以m＝1，n＝7. (2)l1∥l2； 解：由m×m－8×2＝0，得m＝±4. 即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1. 解：且仅当m×2＋8×m＝0， 即m＝0时，l1⊥l2. 所以n＝8， 即m＝0，n＝8时， l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1或λ＝3，其中λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立．故“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件．故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知直线l1：(a－2)x＋(a－2)y＋1＝0，直线l2：5ax－(a＋4)y＋20＝0. (1)若l1∥l2，求实数a的值； 解：若l1∥l2，则(a－3)×5a＋(a－2)(a＋4)＝0， 整理得6a2－13a－8＝(2a＋1)(3a－8)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)判断l1与l2是否可能垂直，若可能垂直，求实数a的值；若不可能垂直，请说明理由． 返回 解：若l1⊥l2，则5a(a－2)－(a－3) (a＋4)＝0， 整理得4a2－11a＋12＝0，因为Δ＝(－11)2－4×4×12<0， 所以方程4a2－11a＋12＝0无解，故l1与l2不可能垂直． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 设l′在y轴上的截距为b，则直线l′的方程为y＝x＋b，令y＝0，可得l′在x轴上的截距为－b. 方法二：由l′与l垂直，可设直线l′的方程为4x－3y＋p＝0，则l′在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为， 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔或 ③若a≠0，且a≠2，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝，k2＝，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1， 误区警示　l1⊥l2并不等价于k1·k2＝－1.一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．l1∥l2⇔或l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.利用上述判定方法可避开斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性． 易错探因　用正解一解题时易忽略两条直线重合的情况，由＝，直接解得a＝－1或a＝3，从而产生增解． 2．(2024·安徽芜湖高二质量监控)已知直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(2a－1)x－ay－1＝0互相平行，则实数a为 A． B． C．0或 D．0或 方法一：直线2x－3y＋4＝0的斜率为，所以与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线斜率为－，故由点斜式可得y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.故选B. C．两直线mx＋y－n＝0与x＋my＋1＝0互相平行的条件是 或 y＝－ x－3， 过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)．因为四边形ACGH为正方形，所以Rt△AMH≌Rt△COA，可得AM＝OC，MH＝OA，因为A(0，2)，C(1，0)，所以MH＝OA＝2，AM＝OC＝1，所以OM＝OA＋AM＝3，所以点H的坐标为(2，3)，同理得到F(－2，4)，所以直线FH的方程为＝，化为一般式方程为x＋4y－14＝0. 当a＝时，l1：x－y＋1＝0，l2：x－y＋20＝0，l1，l2重合，舍去． 故a＝－. $