2 2.2 2.2.1　直线的倾斜角与斜率-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，通过“两点确定直线”“坡度类比”等问题思考导入，衔接平面直角坐标系知识，以微思考辨析（如“所有直线都有斜率吗”）搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动概念形成，结合合作探究中的倾斜角旋转分类讨论、方向向量共线计算等实例，渗透数学抽象与运算素养。易错点剖析（如斜率不存在情况）和分层测评设计，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学素材。

2.2.1　直线的倾斜角与斜率 　 第二章　2.2　直线及其方程 知识层面 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角与斜率的对应关系．　 2.理解直线斜率的几何意义，掌握过两点的直线的斜率公式．　 3.掌握直线的倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用． 4.掌握直线的方向向量和法向量. 素养层面 通过直线的倾斜角与斜率的概念的学习，培养数学抽象的核心素养；借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 问题1．在平面中，怎样才能确定一条直线？ 问题导思 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 问题2．在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． 提示：可以利用倾斜角的正切值来定义直线的倾斜程度． 前提条件 直线l与x轴______ 定义 以_____作为基准，x轴______与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 特殊情况 当直线l与x轴______或______时，规定它的倾斜角为_____ 取值范围 ________________ 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 新知构建 x轴 正向 向上 相交 平行 重合 0° 0°≤α<180° 2．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率． 斜率常用小写字母k表示，即k＝___________． 3．斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________． 正切值 tan α 微思考　(1)所有的直线都有倾斜角与斜率，对吗？ 提示：不对．所有的直线都有倾斜角，但当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°，直线斜率不存在． (2)计算直线的斜率k时与从该直线上所选取的两点P1，P2的位置有关吗？ 提示：无关． 知识点二　直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. 知识点三　直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l______，则称向量v为直线l的一个法向量，记作______． 垂直 v⊥l 1．给出下列结论： ①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)； ⑤若α是直线l的倾斜角，且sin α＝ ，则α＝45°. 其中正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 自主检测 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，②③错误；④中当α＝0°时，sin α＝0，故④错误；⑤中α有可能为135°，故⑤错误． √ √ 4．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，则x2＝______，y1＝______． 因为α＝45°， 所以直线l的斜率k＝tan 45°＝1， 因为P1，P2，P3都在直线l上， 所以kP1P2＝kP2P3＝k. 解之得x2＝7，y1＝0. 返回 7 0 合作探究 返回 题型一　求直线的倾斜角 　 (多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为 A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 根据题意，画出图形，如图所示： 通过图象可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. √ √ 思路点拨　求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解答此题的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角． 例1 方法技巧 求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：0°≤α<180°.　　 对点练1．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________． 如图，设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°. 135° 题型二　直线的斜率 　 (1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于 A．1 B．5 C．－1 D．－5 √ 例2 (2)经过A(0，y)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，2)，则y＝________． 思路点拨　利用方向向量的共线求解； 2 (3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率． 思路点拨　利用公式k＝tan α(α≠90°)． 方法技巧 解决斜率问题的方法 1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． 2．由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k＝ (x1≠x2)求解． 3．涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．　　 对点练2．直线经过点P(3，2)，Q(－3，3)，则k＝________．直线PQ的倾斜角为________角(填“钝”或“锐”)． 钝 对点练3．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 4 题型三　倾斜角与斜率的综合问题 　 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； 思路点拨　结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA. 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. 例3 (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 方法技巧 1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为： 第一步：连接PA，PB； 第二步：由k＝ ，求出kPA，kPB； 第三步：结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围． 2．直线的倾斜角和斜率的关系 直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜角越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜角也越大． 对点练4．已知点A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．当点D线段BC(包括端 点)上移动时，直线AD的斜率的变化范围为________． 易错点1　忽略直线斜率不存在的情况致错 　　求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 易错精析 例1 易错探因　利用斜率公式求直线的斜率的条件是“x1≠x2”．解本题时易忽略m＝1，即斜率不存在的情况． 误区警示　求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解． √ 例2 正解　如图，当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率为正值并逐渐变大直至l垂直于x轴，当直线l垂直于x轴时，l无斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直到PB的位置，易求得直线PA的斜率kPA＝ ， 误区警示　用α表示直线的倾斜角，则当0°≤α<90°时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当90°<α<180°时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大． 返回 课时测评 返回 1．(多选)下列叙述正确的是 A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180° C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tan α D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° 根据斜率的定义，知当直线与x轴垂直时，斜率不存在，故A错误．易知其他选项正确．故选BCD. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若直线AB的斜率kAB＝4，则点B的坐标为 A．(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8) C．(2，0) D．(0，－8) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．如果直线l过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是 A．[0，1] B．[0，2] C． D．(0，3] 如图，经过点(1，2)和圆点(0，0)的斜率k＝2，若l不通过第四象限，则0≤k≤2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中错误的是 A．若α1<α2，则两直线的斜率：k1<k2 B．若α1＝α2，则两直线的斜率：k1＝k2 C．若两直线的斜率：k1<k2，则α1<α2 D．若两直线的斜率：k1＝k2，则α1＝α2 √ 当α1＝30°，α2＝120°，满足α1<α2，但是两直线的斜率k1>k2，选项A说法错误；当α1＝α2＝90°时，直线的斜率不存在，无法满足k1＝k2，选项B说法错误；若直线的斜率k1＝－1，k2＝1，满足k1<k2，但是α1＝135°，α2＝45°，不满足α1<α2，选项C说法错误；若k1＝k2说明斜率一定存在，则必有α1＝α2，选项D正确． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．若直线l的一个法向量为n＝(2，1)，则直线l的斜率k＝________． －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知过点A(3，1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为_______． 当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(一题两空)直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜 率为________． 如图所示．因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°，斜率k＝ tan α＝tan 30°＝ . 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时， (1)直线l与x轴平行？ 解：若直线l与x轴平行， 则直线l的斜率k＝0，所以m＝1. (2)直线l与y轴平行？ 解：若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在，所以m＝－1. (3)直线l的斜率为 ？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (4)直线的倾斜角为45°？ 解得m＝0. (5)直线的倾斜角为钝角？ 解得m>1或m<－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，求对角线AC与BD所在直线的斜率． 解：在菱形ABCD中，因为∠ADC＝120°，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝120°. 所以∠BAC＝30°，∠DBA＝60°，∠DBx＝120°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)已知直线l经过A(2，1)，B (m>0)两点，则直线l的倾 斜角的取值范围是___________________________． 易知直线l的斜率存在．设直线l的倾斜角为θ， 又0°≤θ<180°，所以0°≤θ≤45°或90°<θ<180°. 0°≤θ≤45°或90°<θ<180° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2， ＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； 倾斜角的取值在区间[0°，180°)范围内， 因为tan 0°＝0，所以直线AB的倾斜角为0°. 因为tan 60°＝ ，所以直线BC的倾斜角为60°. 因为tan 30°＝ ，所以直线AC的倾斜角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围． 解：如图，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值 范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)点M(x，y)在函数y＝2x＋8的图象上，当x∈[－3，5]时，求： 解：因为点M在函数y＝2x＋8的图象上，且x∈[－3，5]，则点A(－3，2)，B(5，18)为函数图象的两个端点． 由题意可知点M(x，y)在线段AB上移动． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 解：因为点M在函数y＝2x＋8的图象上，且x∈[－3，5]，则点A(－3，2)，B(5，18)为函数图象的两个端点． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 问题3．日常生活中，常用坡度表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度>.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ － 解：如图所示，由题意可知kPA＝＝－1， 正解　当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k＝＝， 易错点2　忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系致错 　　 已知点A(2，1)，B(－2，2)，若直线l过点P，且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 A． B．∪ C．∪[1，＋∞) D．∪ 直线PB的斜率kPB＝－，则直线l的斜率k的取值范围是∪. 易错探因　解本题时易由直线PA的斜率kPA＝，直线PB的斜率kPB＝－，得直线l的斜率k的取值范围是.事实上，在直线l的允许活动范围内，l的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不一定连续，当直线l垂直于x轴(直线l的倾斜角为90°)时，直线l的斜率不存在．出错的原因是忽略了直线斜率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为90°时直线无斜率． 2．若点A(－1，－2)，B(4，8)，已知AB的方向向量为(1，k)，则实数k的值为 A． B．－ C．2 D．－2 所以直线AC的斜率kAC＝tan 30°＝，直线BD的斜率kBD＝tan 120°＝－. 11．(5分)已知直线PQ的斜率为－，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是 A．0 B． C． D．－ 14．(5分)(新情境)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得 ＝ ＝…＝ ，则n的取值集合为 记点N(－1，－1)，所以可看作过点M(x，y)与点N(－1，－1)的直线的斜率． ＝2·，记点P，则可看作过点M(x，y)与点P的直线的斜率．又kPA＝－，kPB＝－，所以的取值范围为. $