2 1.1 1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

1.1.1　空间向量及其运算 第2课时　空间向量的数量积 　 第一章 1.1　空间向量及其运算 知识层面 1.了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性质、 运算律及计算方法．　 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．　 3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数 量积求空间两点间的距离. 素养层面 借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养；借助利用空间向量的数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 问题1.类比两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，他们的夹角又该如何定义呢？ 问题导思 问题2.类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 提示：能给出空间两向量数量积的定义，即已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 空间向量的数量积运算满足：(1)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 新知构建 〈a，b〉 2．夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝____时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝ 时，两向量______，记作______． π 垂直 a⊥b 知识点二　空间向量的数量积 1．定义：已知两个非零向量a，b，则_______________________叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝_______________________． 2．数量积的运算律 数乘向量与 数量积的结合律 (λa)·b＝λ________＝a·_______ 交换律 a·b＝______ 分配律 a·(b＋c)＝____________ |a||b|cos〈a，b〉 |a||b|cos〈a，b〉 (a·b) (λb) b·a a·b＋a·c 3．空间两向量的数量积的性质 向量 数量 积的 性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：则a·b＝|a|·|b| 反向：则a·b＝－|a|·|b| 模 a·a＝_______________________＝|a|2＝a2|a|＝ |a·b|≤|a|·|b| 夹角 θ为a，b(a，b是非零向量)的夹角，则cos θ＝_________ |a||a|cos〈a，a〉 对空间向量的数量积的理解 1．数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零； 2．a·b＝0⇔a⊥b(a、b为非零向量)； 3．向量a，b的夹角〈a，b〉与点的坐标(a，b)不同； 4．a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的数量|b|cos θ的乘积． 5．规定零向量与任意向量的数量积为0.　　 微提醒 微思考　对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？ 提示：不成立．例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不相等． 1．(多选)下列各命题中，一定是正确命题的有 A． ＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 因为a·a＝|a|2，所以 ＝|a|，故A正确；m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故B正确；a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故C正确；a2b＝|a|2b，b2a＝|b|2a，故D不一定正确．故选ABC． √ √ √ 自主检测 √ √ 返回 合作探究 返回 题型一　空间向量数量积的运算 　　 (链教材P11例5)已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示，求： 例1 ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1 ＝1. 方法技巧 1．空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．　　 例2 题型二　用数量积解决夹角问题 　　 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，若正方体的棱长为1. 方法技巧 对点练2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝ ，BC＝2AE＝2，求异面直线AE与A1C所成的角． 解：因为A1A⊥平面ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC. 因为AC＝AB＝ ，BC＝2，所以AB⊥AC. 又BC＝2AE＝2， 即异面直线AE，A1C所成的角是60°. 题型三　利用数量积证明空间垂直关系 　　 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC. 例3 证明：连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 则|a|＝|b|＝|c|. 方法技巧 用向量法证明垂直关系的步骤 1．把几何问题转化为向量问题． 2．用已知向量表示所证向量． 3．结合数量积公式和运算律证明数量积为0.　　 对点练3．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：CA1⊥B1D1. 又因为四边形ABCD为菱形，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD， 题型四　用数量积求两点间距离 　　 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离． 例4 思路点拨　 → → 得B，D间的距离 因为AB与CD成60°角， 方法技巧 1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算． 2．用数量积求两点间距离的步骤： (1)用向量表示此距离； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a·a＝|a|2，求|a|； (4)|a|即为所求距离．　　 对点练4．如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，求PC的长． 易错点　向量夹角的范围 　　 “a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的______________条件． 典例 必要不充分 正解　当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件． 错解　a·b<0⇔cos〈a，b〉＝ <0⇔〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是 “〈a，b〉为钝角”的充要条件． 错因　两个向量的夹角为钝角会误以为只要满足数量积小于零即可，而忽略当两个向量共线且反向时数量积也小于零．同理由向量的数量积大于零而判断夹角为锐角时，是忽略了向量共线且同向的情形． 返回 易错精析 课时测评 返回 1．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则 A．m∥n B．m⊥n C．m不平行于n，m也不垂直于n D．以上三种情况都有可能 由题意知，m·a＝0，m·b＝0，则m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.因此m⊥n. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为120°的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝ A．1 B．2 C．3 D．4 a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋3p·q－2p·q－2q2＝3×12＋1×1×cos 90°－2×12＝1，故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝ ，则cos〈a， b〉＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求BM的长． 解：由于AB＝AD＝1，PA＝2， 所以|a|＝|b|＝1，|c|＝2， 由于AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°， 所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2·1·cos 60°＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．8 B．4 C．2 D．1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)如图，正四面体V-ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. (1)求证：AO，BO，CO两两垂直； 所以AO，BO，CO两两垂直． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD. (1)求证：CC1⊥BD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 同理可证，当|a|＝|b|时，A1C⊥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 提示：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 知识点一　空间向量的夹角 1．夹角的定义 空间中，给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作__________． 2．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于 A．30° B．60° C．90° D．120° 4．设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的模是___________． 思路点拨　求向量的数量积，关键是把所求向量用已知长度和夹角的向量线性表示，然后根据定义进行计算，特别注意a与b的夹角是其方向的夹角．如〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°，易错认为〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝120°. 对点练1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝________． a2 (2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________． 1．由公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可得cos〈a，b〉＝.所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模，再代入公式求解． 2．利用夹角公式求两条异面直线的夹角θ时，要注意cos θ＝|cos〈a，b〉|＝，这是因为异面直线的夹角为不大于90°的角．　　 ＝2＝×()2＝1， 所以cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°， 所以E为BC的中点，所以＝(＋)． 因为AC＝AA1＝，所以A1C＝2. 因为·＝(＋)·(－) 思路点拨　首先把向量和均用、、表示出来，通过证明·＝0来证明OG⊥BC. ＝＋ ＋ 得到||2的值，注意 对〈，〉的讨论 所以||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝62＋42＋32＋2×4×3cos 120°＝49， 8．(一题两空)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则·＝________，与所成角的大小为________． 10．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设＝a，＝b，＝c. ||2＝(－a＋b＋c)2＝[a2＋b2＋c2＋2(－a·b－a·c＋b·c)]＝[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝. 11．(5分)如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为 ·＝·(＋)＝2＋·，因为AB⊥平面BP2P8P6，所以⊥，所以·＝0，所以·＝||2＝1，则·(i＝1，2，…8)的不同值的个数为1. 12．(5分)已知点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内部的一动点，且||＝2，则·的值取最小时，与的夹角的大小为________． 所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝(18×1×1×cos 60°－9)＝0， 则＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)， ＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)， 14．(5分)(多选)(2024·河北张家口高二期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法中正确的是 A．＝a＋b＋c B．＝ C．直线AB1和直线BC1相互垂直 D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为 解：证明：设＝a，＝b，＝c.依题意有|a|＝|b|，＝－＝a－b.设，，的两两夹角均为θ，于是·＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，所以CC1⊥BD. (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明． 解：若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥BD，A1C⊥DC1.由·＝(＋)·(－)＝(a＋b＋c)·(a－c)＝|a|2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－|c|2＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0，得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1. $