1 1.1 1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量概念及线性运算，通过国庆游客从平面到空间的位移情境导入，结合“平面向量线性运算能否推广到空间”等问题链，搭建从平面向量到空间向量的迁移支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于以情境化问题驱动数学眼光观察现实，通过正方体、正四棱锥等实例引导数学思维推理，分层练习强化数学运算素养。教师可借助合作探究题型设计互动，学生通过实例抽象概念，提升直观想象与逻辑推理能力，高效达成教学目标。

1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 　 第一章 1.1　空间向量及其运算 知识层面 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．　 2.经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握空间 向量的线性运算及其运算律. 素养层面 通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养；借助向量的线性运算的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 问题1.国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图①所示， (1)游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 问题导思 提示：如题图①，游客的实际位移是 ，可以用平面向量的加法来表示这个过程． (2)如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图②，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 提示：如题图②，他实际发生的位移是 ，可以用空间向量来表示这个 位移． 问题2. (1)平面向量的线性运算是指哪些运算？空间中的向量能用平面向量的线性运算法则进行运算吗？ 提示：平面向量的线性运算是指平面向量的加减法及数乘运算．能.因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，又因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后是到同一个平面内的，成为同一平面内的两个向量，接着就可以利用平面向量的线性运算法则进行运算． (2)空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 提示：共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中的任意两个向量共面． 知识点一　空间向量的概念 1．空间向量：空间中既有_______又有______的量称为空间向量(简称为向量)． 2．单位向量：______的向量称为单位向量． 3．零向量：规定_________(即始点和终点相同)的向量叫做零向量，记为___． 4．相等向量：大小_____、方向_____的向量称为相等向量． 5．平行向量：方向______或______的两个非零向量叫做平行向量(即两个向量共线)． 6．向量共面：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一个平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面． 新知构建 大小 方向 模为1 长度为0 0 相等 相同 相同 相反 空间向量 的运算 加法 ＝____________＝a＋b 减法 ＝____________＝a－b 加法 运算律 (1)交换律：a＋b＝______ (2)结合律：(a＋b)＋c＝___________ 知识点二　空间向量的加减法运算 三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的__________所表示的向量． 体对角线 b＋a a＋(b＋c) 知识点三　空间向量的线性运算 1．定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个______，称为向量的数乘运算． 2．向量a与λa的关系 λ的范围 方向关系 模的关系 λ>0 方向______ λa的模是a的模的________倍 λ＝0 λa＝0其方向是任意的 λ<0 方向______ 3．空间向量的数乘运算律 (1)分配律：λa＋μa＝(λ＋μ)a，λ(a＋b)＝__________． (2)结合律：λ(μa)＝_________． 相同 向量 相反 |λ| λa＋λb (λμ)a 1．实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无意义． 2．任何实数与向量的积仍是一个向量．空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大(当|λ|>1时，)也可以缩小(当|λ|<1时)；可以不改变向量的方向(当λ>0时)，也可以改变向量的方向(当λ<0时)． 3．注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0. 4．(1)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然成立． (2)由于向量a，b可平移到同一个平面内，故a＋b，λa，λb，λ(a＋b)也都在这个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律．　　 微提醒 1．(多选)下列命题中为真命题的是 A．向量 与 的长度相等 B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 对于选项B，其终点构成一个球面，所以B为假命题；对于选项C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C为假命题；易知A，D为真命题．故选AD． √ √ 自主检测 2．如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 共四条：AB，A1B1，CD，C1D1. √ 0 平行 返回 合作探究 返回 题型一　空间向量的有关概念 　　 判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段． 例1 思路点拨 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他有关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以扩展为空间向量的相应概念． 解：假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来． (2)不相等的两个空间向量的模必不相等． 解：假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可． (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． 解：假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点． 方法技巧 1．熟练掌握好空间向量的概念，零向量，单位向量，相等向量，相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；只要两个向量的方向相同、模相等，这两个向量就相等，起点和终点未必对应相同，即起点和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要条件． 2．判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约．　　 对点练1．(1)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p. 其中正确命题的序号是________． ②③④ 对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错； 对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确． (2)如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中． 例2 √ 如图， 思路点拨　根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解． 思路点拨　根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解． 因为O为AC的中点，Q为CD的中点， 所以x＝2，y＝－2. 方法技巧 1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． √ 易错点　错把向量比直线 　　 (多选)下列命题是真命题的是 典例 √ √ 易错精析 易错探因　本题易混淆向量与直线这两个概念，从而认为B，C也是真 命题． 返回 误区警示　注意辨析平行直线与平行向量：平行向量所在的直线既可以平行也可以重合；平行直线一定不重合．因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行 直线． 课时测评 返回 √ 1．下列说法中正确的是 A．空间中共线的向量必在同一条直线上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 －a＋b－c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．给出下列命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若a＝－b，则|a|＝|b|； ③|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件； ④ 的充要条件是A与E重合，B与F重合． 其中正确命题的序号为________． 模相等，方向相反的两个向量是相反向量，故①不正确，②③正确；模相等，方向相同的两个向量是相等向量，故④不正确． ②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：因为M是BB1的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)证明：A，E，C1，F四点共面； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一 个圆； ②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b； ③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同．③真命题．向量的相等满足递推规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错误．⑤假命题．零向量的方向是任意的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，连接BG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：连接AM， 由线段中点的向量表示知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由相反向量的概念知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：在△ADG中，注意到三角形重心的性质， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，N是AD1的中点，AM＝2MB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 ＋ － 3．在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为_____． 如右图，延长DE交边BC于点F，则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0. 4．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是________．(填“平行”、“相等”或“相反”) 解：真命题，与仅是方向相反，它们的长度是相等的． 与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个． 题型二　空间向量的线性运算 　　 (链教材P8例3)(1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有 ①(＋)＋； ②(＋)＋； ③(＋)＋； ④(＋)＋. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 思路点拨　合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线的向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如＝＋＋. (2)已知正四棱锥P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值． ①＝＋y＋z； 因为＝－＝－(＋)＝－－， 对点练2．三棱锥O-ABC中，点D在棱BC上，且BD＝2DC，则＝ A．＋－ B．－＋＋ C．－－ D．－＋＋ 正解　A为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量；B为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则，的方向不确定，不能判断与是否为共线向量；C为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；D为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以三点共线． 4．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是 ①(－)－；②(＋)－；③(－)－；④(－)＋. 5．(多选)有下列命题，其中真命题的有 A．若∥，则A，B，C，D四点共线 B．若∥，则A，B，C三点共线 C．若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b D．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0 6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简－＋－的结果是________． 2 7．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝_____________．(用a，b，c表示) ＝ 10．(10分)如图所示，平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. 证明：因为＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝＋，所以A，E，C1，F四点共面． 12．(5分)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的 点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，则m＝____ 13．(10分)如图，已知空间四边形ABCD中，向量＝a，＝b，＝c，若M为BC中点，G为△BCD的重心，试用a，b，c表示下列向量： 14．(5分)(新情境)光岳楼，亦称余木楼、鼓楼、东昌楼，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上边边长与底边边长之比约为，则＋＋＝________． 解：因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，N是AD1的中点，所以－－＝－＝－＝. $