5.5三元一次方程组单元测试2025-2026学年北师大版数学八年级上册

5.5三元一次方程组 考点1: 三元一次方程(组)的相关概念 1. 三元一次方程：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1. [例如：x＋2y＋z＝15，5a＋2b－3c＝6都是三元一次方程.] · ①三元一次方程中等号的左边和右边都是整式. [例如：方程＋＋＝2不是三元一次方程，因为它的左边不是整式] ②含有未知数的项的次数都是1，例如：方程3xy＋z＝5中含有三个未知数，且三个未知数的次数都是1，但含有未知数的项“3xy”的次数是2，所以不是三元一次方程. ③在方程中“元”是指未知数，“三元”就是指方程中有且只有三个未知数. 2. 三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程. [例如：方程组，是三元一次方程组→“含有三个未知数”指的是方程组中一共含有三个未知数，而不一定是每个方程中都含有三个未知数.] · 三元一次方程组三个必备的条件： ①方程组中一共含有三个未知数；②含未知数的项的次数都是1；③每一个方程都是整式方程 3. 三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解. 三元一次方程组的解满足三元一次方程组中的每一个方程，只有各个方程的公共解才是三元一次方程组的解. 练习1. 1. 下列方程中,三元一次方程的个数为( B ). ①z＋3y＋2x＝0；②3a＋b＝4c；③－3y＋2z＝3m(m为常数)；④xyz－y＋3z＝5. A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　 　D.4 2. 下列方程组中，不是三元一次方程组的是( D ). A. B. C. D. 3. 方程x＋2y－3z＝0的解有； ；…… 4. 请写出三元一次方程x＋y－z＝5的一组： (答案不唯一) 考点2: 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思路：通过“代人”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”再化为“一元”.也就是把解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一次方程. · 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消去哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元，进而求出结果. 练习2. 1. 解三元一次方程组要使解法较为简便，消元的方式应选取( B ). A. 先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 无法确定 2. 解三元一次方程组时，首先消去z，得二元一次方程组为__________，再消去未知数x，得一元一次方程为____2y＝6____.解得y＝___3___；将y代入变形得到的二元一次方程组中，求得x＝____2____，最后将x和y值同时代入②；得z＝____1____. 3. 方程组中，未知数___y___的系数成倍数关系，解此方程组首先考虑消去未知数__ y__较简单，得到关于____x、z____的二元一次方程组为 . 4. 解方程组： (1)　 (2) 答案：(1)；(2) 5. 在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝5时， y＝60；当x＝0时，y＝－5.求a2＋2ab＋c2的值 解：依题意得，整理得①＋②得6a＝18，解得a＝3， 把a＝3代入①得b＝－2， ∴a2＋2ab＋c2＝22. 巩固练习： 1. 三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是( A ). A. B. C. D. 2. 三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是( A ). A. B. C. D. 3. 解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x，y的方程组，则应对方程组进行的变形是( C ). A.①－②，②＋③ B.①×2＋③，②×2＋③ C.①＋②，②×2＋③ D.①＋③，②＋③ 4. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方.图(2)是一个未完成的幻方，则x与y的和是( D ). A.9 B.10 C.11 D.12 5. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种图书每本30元，B种图书每本25元，C种图书每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本(三种图书都要买)，此次采购的方案有( B ). A.5种　　 B.6种 C.7种　 　D.8种 6. 已知方程组，则x＋y＋z＝　8　.  7. 《九章算术》的“方程”章有一题：今有上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共是34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共是26斗.则上等谷每束是 9.25 斗. 8. 解下列三元一次方程组. (1) (2) 答案：(1)；(2) 9. 若|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，试求x，y，z的值． 答案：x＝1，y＝2，z＝3． 10. 已知y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝11. (1)求a，b，c的值； (2)当x＝－时，求y的值. 答案：(1)a的值为1，b的值为2，c的值为3；(2)y＝2 11. 已知a，b，c是一个三角形的三边. (1)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|b＋c－a|； (2)若(2a－b－4)2＋|a－2b＋7|＋(c－7)2＝0，求这个三角形的周长. 答案：(1) 化简得：－a＋b＋3c； (2)依题意，得,解得, 所以这个三角形的周长为a＋b＋c＝18 12. 现有A、B、C三种型号的产品出售，若售A产品3件，B产品2件，C产品1件，共得315元；若售A产品1件，B产品2件，C产品3件，共得285元．问售出A、B、C产品各一件共得多少元？ 解：设A一件x元，B一件y元，C一件z元， 依题意，得，两式相加，得4x＋4y＋4z＝600， 即：x＋y＋z＝150， 答：售出A、B、C产品各一件共得150元． 13. 某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表： 农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金 水稻 4人 1万元 棉花 8人 1万元 蔬菜 5人 2万元 已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？ 解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，由题意得： 解得：， 答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5三元一次方程组 考点1: 三元一次方程(组)的相关概念 1. 三元一次方程：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1. [例如：x＋2y＋z＝15，5a＋2b－3c＝6都是三元一次方程.] · ①三元一次方程中等号的左边和右边都是整式. [例如：方程＋＋＝2不是三元一次方程，因为它的左边不是整式] ②含有未知数的项的次数都是1，例如：方程3xy＋z＝5中含有三个未知数，且三个未知数的次数都是1，但含有未知数的项“3xy”的次数是2，所以不是三元一次方程. ③在方程中“元”是指未知数，“三元”就是指方程中有且只有三个未知数. 2. 三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程. [例如：方程组，是三元一次方程组→“含有三个未知数”指的是方程组中一共含有三个未知数，而不一定是每个方程中都含有三个未知数.] · 三元一次方程组三个必备的条件： ①方程组中一共含有三个未知数；②含未知数的项的次数都是1；③每一个方程都是整式方程 3. 三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解. 三元一次方程组的解满足三元一次方程组中的每一个方程，只有各个方程的公共解才是三元一次方程组的解. 练习1. 1. 下列方程中,三元一次方程的个数为( ). ①z＋3y＋2x＝0；②3a＋b＝4c；③－3y＋2z＝3m(m为常数)；④xyz－y＋3z＝5. A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　 　D.4 2. 下列方程组中，不是三元一次方程组的是( ). A. B. C. D. 3. 方程x＋2y－3z＝0的解有； ；…… 4. 请写出三元一次方程x＋y－z＝5的一组： 考点2: 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思路：通过“代人”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”再化为“一元”.也就是把解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一次方程. · 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消去哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元，进而求出结果. 练习2. 1. 解三元一次方程组要使解法较为简便，消元的方式应选取( ). A. 先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 无法确定 2. 解三元一次方程组时，首先消去z，得二元一次方程组为_ ____，再消去未知数x，得一元一次方程为___ ___.解得y＝__ ；将y代入变形得到的二元一次方程组中，求得x＝_ _，最后将x和y值同时代入②；得z＝ _. 3. 方程组中，未知数 的系数成倍数关系，解此方程组首先考虑消去未知数 较简单，得到关于 的二元一次方程组为 . 4. 解方程组： (1)　 (2) 5. 在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝5时， y＝60；当x＝0时，y＝－5.求a2＋2ab＋c2的值 巩固练习： 1. 三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是( ). A. B. C. D. 2. 三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是( ). A. B. C. D. 3. 解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x，y的方程组，则应对方程组进行的变形是( ). A.①－②，②＋③ B.①×2＋③，②×2＋③ C.①＋②，②×2＋③ D.①＋③，②＋③ 4. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方.图(2)是一个未完成的幻方，则x与y的和是( ). A.9 B.10 C.11 D.12 5. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种图书每本30元，B种图书每本25元，C种图书每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本(三种图书都要买)，此次采购的方案有( ). A.5种　　 B.6种 C.7种　 　D.8种 6. 已知方程组，则x＋y＋z＝ .  7. 《九章算术》的“方程”章有一题：今有上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共是34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共是26斗.则上等谷每束是 斗. 8. 解下列三元一次方程组. (1) (2) 9. 若|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，试求x，y，z的值． 10. 已知y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝11. (1)求a，b，c的值； (2)当x＝－时，求y的值. 11. 已知a，b，c是一个三角形的三边. (1)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|b＋c－a|； (2)若(2a－b－4)2＋|a－2b＋7|＋(c－7)2＝0，求这个三角形的周长. 12. 现有A、B、C三种型号的产品出售，若售A产品3件，B产品2件，C产品1件，共得315元；若售A产品1件，B产品2件，C产品3件，共得285元．问售出A、B、C产品各一件共得多少元？ 13. 某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表： 农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金 水稻 4人 1万元 棉花 8人 1万元 蔬菜 5人 2万元 已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？ 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $