专题06 等腰三角形（期末真题汇编，福建专用）八年级数学上学期

专题06 等腰三角形 7大高频考点概览 考点01 等腰三角形的性质与判定 考点02 三线合一 考点03 构造等腰三角形（分类讨论） 考点04 大（小）边对大（小）角定理 考点05 等边三角形性质与判定 考点06 含30度角的直角三角形 考点07 与等腰三角形有关的尺规作图 地 城 考点01 等腰三角形的性质与判定 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则等于（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，点E是的中点，交边于点D，连接，则 ． 5．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，平分，，，，则 ． 三、解答题 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，点，在边上，．求证：． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在△和△中，，平分，交于点，，． (1)求的长； (2)求△的面积． 地 城 考点02 三线合一 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，是中线，点E和点F分别为边，的中点，若，则（    ） A．10 B．6 C．5 D．4 2．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在等腰中，，于点，于点，若，则点到边的距离是 ． 4．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，AD是的角平分线，则 ． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知．判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在、上分别取点，，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点．若，则．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据： ． 三、解答题 6．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 地 城 考点03 构造等腰三角形（分类讨论） 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标不可能是（　　） A．（2，0） B．（，0） C．（-，0） D．（1，0） 2、 填空题 3．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 三、解答题 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，求的度数． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接． (1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，并写出的坐标： _______，_______； (2)如果点在轴上，且是等腰三角形，试着写出一个满足条件的点的坐标：_______．这样符合条件的点共有_______个． 地 城 考点04 大（小）边对大（小）角 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 2．（24-25八年级上·福建三明·期中））在，已知，，那么 ．(填“”“”或“”) 3、 解答题 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）课本再现： (1)由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图1，是的外角，则_____，所以_____．（填“”、“”或“”） (2)实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，反过来，等角所对的边也相等． 那么不相邻的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在中，，求证：”．并作出了辅助线：作的平分线．在上截取．连接．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． (3)从上面的过程可以看出，利用轴对称的特点，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．这是几何中研究不等问题时常用的方法，类似的，应用这种方法，我们可以说明“在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大．”请你根据上述的结论判断下列说法中正确为_________ ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，，那么 ④在中，如果，那么 地 城 考点05 等边三角形的性质与判定 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）直线，将等边如图放置，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且．则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图所示，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．6 D．8 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）在中，，，以为一边，作等边，则的度数为 ． 5．（24-25八年级上·福建南平·期末）如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，则这个三角形是 ． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，等边中，是边上的中线，，则 度． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，是等边的边上的中线，是边上的动点，是边上动点，当取得最小值时，则的度数为 ． 8．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，为等腰三角形，，过点在上方作垂直于，且，连接，此时，若四边形的面积为15，则 ． 3、 解答题 10．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 12．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在锐角三角形中，，它的两条高，相交于点O，且．求证：是等边三角形． 13．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，点是线段上一点，，，． (1)求证：． (2)若，判断的形状并说明理由． 14．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 15．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形．    地 城 考点06 含30度角的直角三角形 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，，平分，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 2．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中分别表示一楼，二楼地面的水平线，的长是．则乘电梯从点到点上升的高度是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 3．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，在Rt中，，，，，平分交于点，为边上一点，则线段长度的最小值为（  ） A．1 B． C． D．2 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为 ． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，点A在第一象限，，点为x轴正半轴上一动点，，若为钝角三角形，则b的取值范围为 ． 3、 解答题 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过作于． (1)求证：； (2)请猜想与间的数量关系，并证明． 7．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，，求的长． 地 城 考点07 与等腰三角形有关的尺规作图 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（    ）    A． 甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 B． C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 二、解答题 2．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得： (2)连接，若是等腰三角形，求的度数． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在上求作一点P，使得； （要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：是等腰三角形． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，． (1)利用尺规作等腰，使点D，A在直线的同侧，且，．（保留作图痕迹，不写画法） (2)设（1）中所作的的边交于E点，求证：． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 等腰三角形 7大高频考点概览 考点01 等腰三角形的性质与判定 考点02 三线合一 考点03 构造等腰三角形（分类讨论） 考点04 大（小）边对大（小）角定理 考点05 等边三角形性质与判定 考点06 含30度角的直角三角形 考点07 与等腰三角形有关的尺规作图 地 城 考点01 等腰三角形的性质与判定 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则等于（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ∴， ∴， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】是的中线，，， ， 是的角平分线， ， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质的运用，掌握等腰三角形的判定及性质，是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，，由是中线可得，，，则是的垂直平分线，由此可得，，由，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴，， ∵是上的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，点E是的中点，交边于点D，连接，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质．根据等腰三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点E是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，平分，，，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识，构造三角形全等是解题的关键； 在上取点E，使，连接，则由角平分线的性质可证明，从而有，则可得，有，再由即可求解． 【详解】解：如图，在上取点E，使，连接， ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 三、解答题 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，点，在边上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在△和△中，，平分，交于点，，． (1)求的长； (2)求△的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练运用相关知识点是解题的关键． （1）由等腰三角形的“三线合一”即可得出答案； （2）作出底边上的高，由条件可得出三角形全等，进而可求出高，由三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，平分 ∴ （2）过点作，交的延长线于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 地 城 考点02 三线合一 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，是中线，点E和点F分别为边，的中点，若，则（    ） A．10 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一可得，再证明即可得出结论． 【详解】解：，是中线， ． 又点和点分别为边，的中点， ∴， 又∵， ∴ ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，掌握这些性质是解题的关键；根据等腰三角形的性质去判断即可． 【详解】解：在中，，D是中点， 则，，平分，， 而不一定成立， 即选项A、B、C都正确，不符合题意，选项D不正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在等腰中，，于点，于点，若，则点到边的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查三线合一，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为的角平分线， 又∵，， ∴点到边的距离等于点到边的距离，即为5． 故答案为：5． 4．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，AD是的角平分线，则 ． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形“三线合一”的性质得到，以及等腰三角形两个底角相等得到，再根据直角三角形两个锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵中，，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形“三线合一”的性质． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知．判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在、上分别取点，，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点．若，则．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据： ． 【答案】等腰三角形的三线合一 【分析】根据等腰三角形的三线合一即可得． 【详解】由作图可知， 是等腰三角形 是等腰斜边上的中线 （等腰三角形的三线合一） ，即 故答案为：等腰三角形的三线合一． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，熟记等腰三角形的三线合一是解题关键． 三、解答题 6．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点03 构造等腰三角形（分类讨论） 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的性质，垂直平分线，根据以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，进行分类讨论，借助尺规作图进行快速得出满足条件的点P的个数，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，如图所示： 此时满足条件的点P有一个； 当时，如图所示： 此时满足条件的点P有两个； 当时，如图所示： 此时满足条件的点P有一个； 综上满足在坐标轴上的点一共有个， 故选：C 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标不可能是（　　） A．（2，0） B．（，0） C．（-，0） D．（1，0） 【答案】B 【分析】本题应该分几种情况讨论，已知边AB可能是底边，也可能是腰，当AB是底边时，就有两个满足条件的三角形．当AB是腰时再分点A是顶角顶点或点B是顶角顶点两种情况讨论． 【详解】解：由题意得OA＝， 当AB为底边时，B点为（1，﹣1），B点不在x轴上，故不存在； 当AB为腰时，有三种情况，当B点为（-，0），（1，0），（2，0）． 故选B． 【点睛】对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 2、 填空题 3．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 【答案】6或18 【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足 因此有18−2t=t 解得t=6(s) （2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形， ∵ ∴ΔPOQ也是等边三角形 因此有2t−18=t 解得t=18(s) 综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形 故答案为：6或18． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 三、解答题 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，求的度数． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，先画出图形，分三种情形分别求解即可． 【详解】解：， ， 点D在射线上，分以下三种情况讨论：如图， ①当时，则， ； ②当时，则； ③当时，则， ， ． 综上所述，的度数为或或． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接． (1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，并写出的坐标： _______，_______； (2)如果点在轴上，且是等腰三角形，试着写出一个满足条件的点的坐标：_______．这样符合条件的点共有_______个． 【答案】(1)图见解析，，； (2)，． 【分析】根据轴对称的性质画出图形并写出对称点的坐标即可； 选取一点与线段构成等腰三角形分三种情况：以点为等腰三角形的顶点为腰；以点为等腰三角形的顶点为腰；以为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段的垂直平分线上． 【详解】（1）解：如下图所示， 分别作点、关于轴的对称点、， 连接，线段与线段关于轴对称； 已知点、的坐标分别是、， 的坐标是，的坐标是； （2）解：当以点为等腰三角形的顶点为腰时， 在轴上有个点可以与线段组成等腰三角形， 如下图所示， 当以点为等腰三角形的顶点为腰时， 在轴上有两个点使、， 可以看出点、、在同一条直线上，不能构成三角形， 在轴上有个点可以与线段组成等腰三角形， 如下图所示， 当以为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段的垂直平分线上， 如下图所示，可以发现这个点恰好是原点． 综上所述，在轴上有个点可以与线段构成等腰三角形，其中一个满足条件的点是． 【点睛】本题考查了轴对称变换和等腰三角形的性质．关于轴对称的两个点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；有两条边相等的三角形是等腰三角形． 地 城 考点04 大（小）边对大（小）角 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 2、 填空题 2．（24-25八年级上·福建三明·期中））在，已知，，那么 ．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据三角形中大边对大角即可得到结果． 【详解】解：在中，对的是，对的是， ，， ， ． 故答案为： ． 3、 解答题 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）课本再现： (1)由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图1，是的外角，则_____，所以_____．（填“”、“”或“”） (2)实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，反过来，等角所对的边也相等． 那么不相邻的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在中，，求证：”．并作出了辅助线：作的平分线．在上截取．连接．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． (3)从上面的过程可以看出，利用轴对称的特点，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．这是几何中研究不等问题时常用的方法，类似的，应用这种方法，我们可以说明“在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大．”请你根据上述的结论判断下列说法中正确为_________ ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，，那么 ④在中，如果，那么 【答案】(1)； (2)见详解 (3)②③④ 【分析】（1）根据三角形外角的定义即可判断； （2）先证明，再由外角定义即可证得； （3）根据题干可判断①②，根据三角形内角和定理可求的度数，再根据等角对等边即可判断③，若时，作，根据三角形三边关系可证． 【详解】（1）解：由三角形外角的定义可知， ， 故答案为：； （2）证明：∵是的平分线 ∴ ∵， 在和中 ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大， ∴如果，则，故①错误． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是锐角三角形，故②正确． ∵，， ∴ ∴，故③正确． 如下图： 若时，作 ∴， ∵， ∴，即， 同理可得， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角的性质，三角形三边关系的应用以及等角对等边，全等三角形的判定和性质等知识．掌握三角形相关知识是解题的关键． 地 城 考点05 等边三角形的性质与判定 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）直线，将等边如图放置，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，以及平行线的性质，解题的关键是正确作出平行线结合等边三角形的性质求解． 过点作，则，那么，，再由等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且．则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质及三角形的外角，熟练掌握等边三角形的三线合一是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，运用三角形的外角性质得，再由等角对等边，解答即可． 【详解】解：∵等边的边长，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图所示，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点关于的对称点，连接，如图所示，由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为，由等边三角形的判定与性质求出边长即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵为中点，， ∴，则， 作点关于的对称点，连接，如图所示： 由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为， ∴，则， ∴， ∵， ，即， 在等边中，，，则为等边三角形， ， 故选：D． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）在中，，，以为一边，作等边，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质求出底角；分两种情况讨论： 当与在的同侧时，当与在的异侧时，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； ∵是等边三角形， ∴； 当与在的同侧时，； 当与在的异侧时，； 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·福建南平·期末）如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，则这个三角形是 ． 【答案】等边三角形 【分析】由偶次方的非负性质和绝对值的非负性质得出a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0，得出a=b=c，即可得出结论． 【详解】解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0， ∴a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0， ∴a=b，a=c，b=c， ∴a=b=c， ∴这个三角形是等边三角形； 故答案为:等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定；非负数的性质：绝对值与偶次方．利用非负数的性质得到a、b、c的相等关系是关键． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，等边中，是边上的中线，，则 度． 【答案】15 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理．利用等边三角形的性质求得，，利用等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】解：∵等边，是边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，是等边的边上的中线，是边上的动点，是边上动点，当取得最小值时，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查最短路径问题——垂线段最短，等边三角形的性质，根据垂线段最短找到点E、F是解题的关键．过点B作于点E，交于点F，连接，根据垂线段最短可知此时取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， 过点B作于点E，交于点F，连接， 根据垂线段最短可知此时取得最小值， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边的边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是正确的应用等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到三个内角是，再根据角度的计算用表示出相关的角，得到，进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，在 上截取，连接． 设，则， ∵是等边三角形， ∴,， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 9．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，为等腰三角形，，过点在上方作垂直于，且，连接，此时，若四边形的面积为15，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算，如图，过作于，证明，结合等腰三角形的性质证明，再利用面积公式建立方程即可求解． 【详解】解：如图，过作于， ，， ， ， ，， ， ，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为15， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． 3、 解答题 10．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，证明三角形全等是解题关键．由等边三角形的性质得出，再证明得出，根据三角形的内角和定理可得，等量代换即可求出． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 12．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在锐角三角形中，，它的两条高，相交于点O，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定、三角形全等的判定和性质，等边对等角，熟知这些知识是解题的关键．先根据条件用判定证明，再推理得到，再根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证得结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 又， 是等边三角形． 13．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，点是线段上一点，，，． (1)求证：． (2)若，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定， （1）证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，然后利用三角形外角的性质得，据此可判定三角形的形状， 掌握全等三角形的判定和等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：为等边三角形． 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 14．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． ， ． ． ． （2）证明：， ， ， ． 是等边三角形． 15．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形外角的性质等等．先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，，再由垂线的定义和三角形内角和定理推出，由此即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 地 城 考点06 含30度角的直角三角形 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，，平分，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解本题的关键． 作于，根据直角三角形的性质，，根据角平分线的性质，可得，再根据可求得答案． 【详解】解：如图，作于，则，    ∵， ∴， ，平分， ， ， ， 即点到的距离是． 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中分别表示一楼，二楼地面的水平线，的长是．则乘电梯从点到点上升的高度是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形性质，熟练掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键，先求出，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出即可解决． 【详解】解：作，交延长线于点E， ， ， 的长是， ， 则乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：B． 3．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，在Rt中，，，，，平分交于点，为边上一点，则线段长度的最小值为（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，三角形内角和定理，过点D作于H，先由角平分线的定义和三角形内角和定理求出，则可证明，据此求出的长，进而由角平分线的性质得到的长，再根据垂线段最短即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由垂线段最短可知，当时，线段长度最小，即点E与点H重合时线段长度最小，最小值为2， 故选：D． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为 ． 【答案】62 【分析】本题考查了含30度角的直角直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ，， ，， 两机箱之间的最大宽度为． 故答案为：62． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，点A在第一象限，，点为x轴正半轴上一动点，，若为钝角三角形，则b的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，直角三角形的性质．过点A分别作x轴及的垂线，据此进行计算即可． 【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为M，作的垂线，交x轴于点N， 在中，，，则， ∴， 在中，， ∴， ∵为钝角三角形，且点在x轴的正半轴上， ∴或． 故答案为：或． 3、 解答题 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过作于． (1)求证：； (2)请猜想与间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)；见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，外角的性质，所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过等边三角形的性质先推出，然后通过等腰三角形“等边对等角”的性质和外角的性质推出，最后再由等腰三角形的判定方法即可证明； （2）通过，得到，再由，，得到，从而找到和的关系，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）； 证明：，， ， ，， ， ， ． 7．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证； （2）连接，证明，则，而，即可得解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ∴在中，， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： 连接，如图所示： 是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 地 城 考点07 与等腰三角形有关的尺规作图 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（    ）    A． 甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 B． C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 【答案】A 【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可． 【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 乙图：作的垂直平分线，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 丙图：∵所作的， ∴， ∴是等腰三角形， ∴甲、乙、丙都正确， 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键． 二、解答题 2．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得： (2)连接，若是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】本题考查了作图—作垂线、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）作的垂直平分线交于，点即为所求； （2）由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，从而得出，推出，再分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，此时， ∴； 当时，此时， ∴，， ∵， ∴，故不符合题意； 当时，此时， ∴； 综上所述，的度数为或． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在上求作一点P，使得； （要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的判定、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解答问题． （1）作线段的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求． （2）由题意得可得，根据三角形外角的性质可得，即，则，可得是等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点P，连接， 则， ∴， 则点P即为所求． （2）证明：设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，． (1)利用尺规作等腰，使点D，A在直线的同侧，且，．（保留作图痕迹，不写画法） (2)设（1）中所作的的边交于E点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． （1）先作，然后截取； （2）作交于F，根据平行线的性质得到，利用等腰三角形的性质计算出，，则，从而得到，然后证明，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，点D为所作； （2）证明：作交于F，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $