第十五章轴对称训练2025—2026学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 训练 一、单选题 1．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史．下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知下列尺规作图：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线：作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A．5 B．6 C．8 D．9 4．在平面直角坐标系中，点A的横坐标不变，纵坐标乘，得到点，则点A与点的关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 5．如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 6．如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A的坐标为，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．如图，将长方形沿翻折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知中为钝角，以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于G，交于H，连接．有如下结论：①若，则；②若，则；③平分；④．其中错误的结论是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 11．已知点，关于轴对称的点的坐标为 ． 12．如图，线段的垂直平分线，相交于点O，若，则 ． 13．已知在中，，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧的交点所在直线与边交于点D，连接，则的大小为 ． 14．如图，已知，点D，E分别在的垂直平分线上，且D，A，E三点共线，若四边形的周长为20，，则的长为 ． 15．如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点，交于点F，M是上一点，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 三、解答题 16．如图，在中，于点，于点，相交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数． 17．如图，已知的顶点都在图中方格的格点上． (1)画出关于轴对称的，并直接写出、、三点的坐标． (2)在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）． 18．如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 19．如图，在中，点D，E分别在，边上，连接，交于点F，且垂直平分，连接． (1)若的周长为22，的周长为8，求的长． (2)若，，求∠CDE的度数． 20．如图，在中，，D，E分别是边上的点，连接． (1)若，则的度数为______； (2)若是的中点，，求证：； (3)若分别是的中线和角平分线，，求的度数； (4)连接，若， ①当是边上的高，且时，则的度数为______； ②当不是边上的高时，请判断与之间的数量关系，并加以证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十五章 轴对称 训练2025—2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A B B B C D D 1．A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项B、C、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，不符合题意； 选项A，不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】本题考查作图，解题的关键是熟练掌握基本作图原理． 根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可． 【详解】解：由作图可知，作图正确的有， 故选：． 3．B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图：作于交于，连接，根据等边三角形的判定与性质可得，点C关于的对称点为点B，从而得出当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为即可解答． 【详解】解：如图：作于交于，连接， ∵在中，，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴点C关于的对称点为点B， ， ， ∴当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为， ∴的最小值是6． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查轴对称与坐标变化，掌握轴对称与坐标变化的关系是解题的关键． 关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此判定． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A的横坐标不变，纵坐标乘，得到点， ∴点的坐标为， ∴点A与点关于x轴对称， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据作图可知垂直平分线段，进而得到，，推出，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，， ， 的周长， ， 的周长 故选：B 6．B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点，关于y轴对称的点的坐标， 先根据平移求出点A的坐标，再根据对称可得答案. 【详解】解：点向右平移4个单位长度的坐标为， ∴点，即. ∵点A与点B关于y轴对称， ∴点. 故选：B. 7．B 【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到的度数和，从而可以得到的度数． 【详解】解：如图所示， 由折叠可得，， ∵，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，根据角平分线的性质，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴，故A正确； ∵， ∴，故B正确； ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴，故D正确； 由题意无法证明，故C不一定正确． 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】解：由题意可得：， 所以； 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， ①若，则， ∴， ∴，故①正确； ②若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；，故③正确； 在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故④错误； 故选：D． 11． 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角，三角形的外角，连接并延长，根据中垂线的性质，结合等边对等角，得到，根据三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得出结果． 【详解】解：连接并延长，如图， ∵线段的垂直平分线，相交于点O， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：由作图知，的垂直平分线交于， ， ， ， 故答案为：． 14．4 【分析】此题考查了垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，得到，再根据四边形的周长为20即可求出的长． 【详解】解：∵点D，E分别在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴ ∵四边形的周长为20， ∴， 即， 解得， 故答案为： 15．9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，根据等腰三角形的三线合一得到，，求出的面积，再根据垂直平分线的性质得到，求出的周长，得到当，，三点共线时，的值最小，进而求出结果即可 【详解】解：如图，连接，． 在中，，是边的中点， ， ， 解得． 垂直平分， 的周长为． 当，，三点共线时，的值最小， 即当最小值为的长时，的周长最小，为， 故答案为：9 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的证明，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键． （1）根据直接证明； （2）先求得，根据等边对等角可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．(1)图见解析， (2)图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、两点之间线段最短、轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的画法和轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点、、，再顺次连接即可得，然后据此写出、、三点的坐标即可得； （2）先作点关于轴的对称点，再连接，交轴于点，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 则． （2）解：如图，点即为所求． ． 18．(1)25；110 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． （1）由平角的定义求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出即可； （2）当时，由“”可证； （3）根据题意，分当时；当时；当时．进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：25，110； （2）解：当时，，理由如下： ，，， ， ， ∴当时， ， ； （3）解：， ， 当是等腰三角形时，分情况讨论： 当时，有， ， 点E和点C重合，不符合题意，舍去； 当时， ， ， ， ∴； 当时，有， ， , 综上所述：的度数为或． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，求出，再根据三角形内角和定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴点A与点E关于对称， ∴， ∵的周长为22，的周长为8， ∴， ∴， ∴． （2）解：在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 20．(1) (2)见解析 (3) (4)①；②，证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其外角性质、角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得，再根据三角形的高的定义及内角和定理求得，进而可求解； （2）根据等腰三角形的三线合一性质得到，根据等量代换求得，进而利用三角形的内角和定理求解即可； （3）先根据等腰三角形的性质得到，，进而求得，利用角平分线的定义可得答案； （4）①根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理分别求得，，，进而可求解； ②先根据等腰三角形的性质得到，，再利用三角形的外角性质可得结论． 【详解】（1）解：， ． ， ， ，， 故答案为：； （2）证明：，D是的中点， ． ， ， ， ∴， ； （3）解：，是的中线， ，， ． ∵是的角平分线， ． （4）①∵是边上的高，， ，是的平分线， ． ， ． ， ， ， 故答案为：； ②．证明如下： ，， ，， ，， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$