专题05 轴对称图形（期末真题汇编，福建专用）八年级数学上学期

专题05 轴对称图形 6大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 与轴对称有关的作图 考点03 折叠问题 考点04 垂直平分线性质及判定 考点05 作垂直平分线 考点06 最短路径问题 地 城 考点01 轴对称及其性质 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建漳州·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列图形中是轴对称图形的有（　　） ①角；②线段；③等边三角形；④三角形． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）下列新能源环保图标中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．  B．   C．   D．   4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，若与关于直线对称，交于点O．则下列说法中不一定正确的是 （   ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形 轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列图形中：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形，不一定是轴对称图形的是 （填写序号）； 7．（24-25八年级上·福建厦门·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 8．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，与关于所在的直线对称，，则的度数为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 地 城 考点02 与轴对称有关的作图 1．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得到点，，，在平面直角坐标系中顺次连接这些点，画出得到的图形，这个图形与有什么位置关系？ 2．（24-25八年级上·福建宁德·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出关于x轴对称的图形； (2)请在图中画出关于直线对称的图形； (3)写出点和的坐标． 4．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的，并写出点、、的坐标（直接写答案）：（   ，   ）；（   ，   ）；（   ，   ）； (2)求的面积； (3)若点是内部一点，则点对称前对应点的坐标为（   ）． 地 城 考点03 折叠问题 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图是的折纸示意图，则折痕是的（    ） A．中垂线 B．中线 C．角平分线 D．高线 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点在上，沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点D在边上，且，将沿翻折得，此时，则 度． 5．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，将三角形纸片折叠，使点A恰好落在边的中点F处，折痕为．若的面积为18，则 ． 6．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处，则、的数量关系是 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，点在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上，将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ； (2)若，求的度数． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，D，E分别是线段和线段上的点，把沿着直线折叠，若点B恰好与点A重合，求此时线段的长和的面积． 地 城 考点04 垂直平分线的性质及判定 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C．平分 D． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，下列条件不能判定直线为线段的垂直平分线的是（   ） A．且 B．且 C．且平分 D．且 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为 ． 5．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长为，则 ． 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是的中线，是边的垂直平分线，且与相交于点G，连接，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为 ．    7．（24-25八年级上·福建福州·期末）在中，是平面内一点且．若点到的距离为8，点到的距离为4，则的长为 ． 3、 解答题 8．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求∠B的度数． 9．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，D是边上一点，，于点D，交于点F．求证：垂直平分． 10．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 地 城 考点05 作垂直平分线 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，分别以A、B为圆心，为半径画弧，两弧分别交于E、F，直线交于点D，连接，则的周长等于（   ） A．7 B．8 C．9 D． 3.（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，已知，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，的周长是 ．    2、 解答题 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，， (1)如图，已知，请你用尺规作图法作出边的垂直平分线，分别交，于点，．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求的周长． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，． (1)用尺规作图作的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，求的周长． 7．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，若的周长为14，求的面积． 地 城 考点06 最短路径问题 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 5．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 三、解答题 6（24-25八年级上·福建厦门·期末）课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称图形 6大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 与轴对称有关的作图 考点03 折叠问题 考点04 垂直平分线性质及判定 考点05 作垂直平分线 考点06 最短路径问题 地 城 考点01 轴对称及其性质 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建漳州·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列图形中是轴对称图形的有（　　） ①角；②线段；③等边三角形；④三角形． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可． 【详解】解：①该图形是轴对称图形， ②该图形是轴对称图形， ③该图形是轴对称图形， ④该图形不一定是轴对称图形， ∴这些图形中是轴对称图形的有个， 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）下列新能源环保图标中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义（即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形）． 先明确轴对称图形的核心定义，再分别观察各选项新能源环保图标文字上方的图案，判断每个图案是否存在一条对称轴，使图案沿该轴折叠后两旁部分完全重合，其中只有B选项的图案满足这一条件． 【详解】解：A、该选项图标文字上方的图案沿任意直线折叠后，直线两旁的部分均不能完全重合，不是轴对称图形，此选项不符合题意； B、该选项图标文字上方的图案能沿某条直线折叠后，直线两旁的部分完全重合，是轴对称图形，此选项符合题意； C、该选项图标文字上方的图案沿任意直线折叠后，直线两旁的部分均不能完全重合，不是轴对称图形，此选项不符合题意； D、该选项图标文字上方的图案沿任意直线折叠后，直线两旁的部分均不能完全重合，不是轴对称图形，此选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，若与关于直线对称，交于点O．则下列说法中不一定正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，平行线的判定，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：与关于直线对称，交于点， ，， ， 故A，B，D正确， 故选：C． 2、 填空题 5．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形 轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 【答案】 不是 8 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义求解即可，熟练掌握轴对称图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：由轴对称图形的定义并结合图形可得该图形不是轴对称图形， 如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形，即选择的方案最多有种， 故答案为：不是，． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列图形中：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形，不一定是轴对称图形的是 （填写序号）； 【答案】④ 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 直接利用轴对称图形的概念分析得出答案． 【详解】解：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形．其中，不一定是轴对称图形的是④． 故答案为：④． 7．（24-25八年级上·福建厦门·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 8．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，与关于所在的直线对称，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质， 根据轴对称的性质可得，再根据三角形的内角和等于求出的度数，进而解答即可． 【详解】解：∵与关于所在的直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据轴对称的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：点与点关于对称， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，点与点关于对称，点与点关于对称， ，， ． 点与点关于对称，点与点关于对称， ，， 平分． 地 城 考点02 与轴对称有关的作图 1．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得到点，，，在平面直角坐标系中顺次连接这些点，画出得到的图形，这个图形与有什么位置关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析，关于轴对称 【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与轴对称变换， （1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接得出对应点位置进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，与关于轴对称 2．（24-25八年级上·福建宁德·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 【答案】(1)的坐标为，图见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）解： ； （3）解：如图，点P即为所求． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出关于x轴对称的图形； (2)请在图中画出关于直线对称的图形； (3)写出点和的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1 ）根据轴对称的性质作图即可． （2 ）根据轴对称的性质作图即可． （3 ）由图可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）由图可得，点，． 4．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的，并写出点、、的坐标（直接写答案）：（   ，   ）；（   ，   ）；（   ，   ）； (2)求的面积； (3)若点是内部一点，则点对称前对应点的坐标为（   ）． 【答案】(1)画图见解析，0，2；，4；，5； (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点、、的坐标，描出、、，再顺次连接、、即可； （2）利用割补法求解即可； （3）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵和关于轴对称，，，， ∴、、； （2）解：； （3）解：∵点是内部一点， ∴点对称前对应点的坐标为， 故答案为：． 地 城 考点03 折叠问题 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图是的折纸示意图，则折痕是的（    ） A．中垂线 B．中线 C．角平分线 D．高线 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、中垂线定义以及三角形的角平分线、中线和高线，正确掌握相关定义，即可解题． 【详解】解：根据折叠的性质得， ，，， 不是的角平分线，不是中垂线和的中线． ， ， ， 是的高线． 故答案为：D． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点在上，沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．由折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应边相等，对应角相等可知，,,,根据已知条件运用三角形内角和定理求解即可； 【详解】解：由折叠的性质可知,,， ∵，， ， ∴， 由图可知， 即． 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，由折叠可得，进而由三角形的外角性质可得，，据此即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点D在边上，且，将沿翻折得，此时，则 度． 【答案】90 【分析】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行内错角相等，翻折前后对应边相等对应角相等． 根据可得，再根据翻折的性质可得，最后根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵沿翻折得， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：90． 5．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，将三角形纸片折叠，使点A恰好落在边的中点F处，折痕为．若的面积为18，则 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，又根据三角形中线的性质得，进而可得 ，由于这两个三角形的高相同，进而可得． 本题考查了折叠的性质和三角形中线的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ∴， 又∵F点是边的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 又∵与的高相同， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处，则、的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，根据把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处，则，又结合，进行整理得，即可作答． 【详解】解：把一张长方形纸片沿折叠后点D正好落在边上点G处， ， ∵， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，点在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上，将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键． （1 ）根据折叠的性质可得，设，则可得，根据列方程，即可解答； （2 ）根据可求得，再求出和，利用折叠的性质即可得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上， ∴， 设，则可得， 根据可得， 解得， 故答案为：； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵点恰好落在边上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质，知， ∴． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，D，E分别是线段和线段上的点，把沿着直线折叠，若点B恰好与点A重合，求此时线段的长和的面积． 【答案】的长为，的面积为． 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据折叠的性质得出，，，再根据勾股定理可求出的值，设，则，利用勾股定理得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， 在中，，，， 设，则 在中，根据勾股定理得 ， 即， 在中，根据勾股定理得 （负值已舍去） ． 地 城 考点04 垂直平分线的性质及判定 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】D 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长为； 故选D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及角平分线，对选项依次判断即可． 【详解】垂直平分， ， ， ， ， 故选项A正确； ， ， 故选项D正确； ， 平分， 故选项C正确； 由题目的条件无法判断出， 故选项B不成立． 故选：B． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，下列条件不能判定直线为线段的垂直平分线的是（   ） A．且 B．且 C．且平分 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．结合全等三角形的判定与性质，根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、∵且， ∴直线是线段的垂直平分线，故A符合题意； B、∵且， ∴直线是线段的垂直平分线，故B不符合题意； C、∵且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，故C不符合题意； D、∵且， ∴直线是线段的垂直平分线，故D不符合题意； 故选：A． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得，从而可得的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∵，， ∴ ∴的周长为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长为，则 ． 【答案】9 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．解决本题的关键是注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 由垂直平分线的性质可得，然后计根据的周长得到即可求解． 【详解】∵垂直平分， ∴， 的周长为，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是的中线，是边的垂直平分线，且与相交于点G，连接，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为 ．    【答案】22 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算．根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形的面积分别为8和13， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：22． 7．（24-25八年级上·福建福州·期末）在中，是平面内一点且．若点到的距离为8，点到的距离为4，则的长为 ． 【答案】4或12 【分析】本题考查了线段垂直平分线判定，先利用，可判断点、都在的垂直平分线上，然后分类讨论：当点在的内部时，易得；当点在的外部时，易得． 【详解】解：， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 所在直线是的垂直平分线， 如图，为直线与的交点， ∵若点到的距离为8，点到的距离为4， ∴，， 当点在的内部时，； 当点在的外部时，． 综上，的长为4或12． 故答案为：4或12． 3、 解答题 8．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求∠B的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 9．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，D是边上一点，，于点D，交于点F．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，先证明，则，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 10．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 地 城 考点05 作垂直平分线 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题目中的作图方法确定是线段的垂直平分线，得到，即； 接下来根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得以及的度数；再根据三角形外角的性质以及可求得的度数，然后根据列式计算即可得到答案．本题考查线段垂直平分线的画法及应用、三角形内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等． 【详解】解：∵由作图可知，垂直平分， 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，分别以A、B为圆心，为半径画弧，两弧分别交于E、F，直线交于点D，连接，则的周长等于（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据线段垂直平分线证明，推出的周长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故选：A． 3.（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的尺规作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键．根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解． 【详解】解：根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线， ， ∴与的周长之差为4，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，已知，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，的周长是 ．    【答案】12 【分析】本题考查了作图-基本作图，垂直平分线的性质，掌握该性质是解题的关键．根据题意，得到是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，再利用线段的等量转换即可解答． 【详解】解：由题意得是的垂直平分线， ， ，， 的周长． 故答案为：12． 2、 解答题 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，， (1)如图，已知，请你用尺规作图法作出边的垂直平分线，分别交，于点，．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键， （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质得到，即可推出的周长求出答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，． (1)用尺规作图作的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质及其尺规作图方法是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 7．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，若的周长为14，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图步骤及性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）结合线段垂直平分线的性质可求出，再利用三角形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）可得，， ∵的周长为14， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为． 地 城 考点06 最短路径问题 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【答案】A 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．作点P关于直线的对称点，连接，由，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，则，    在和中， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值， ∴当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 在中，∵，，， ∴， ∴的最小值是7， 故选：A． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接，与交于点，此时最小，由等边三角形的性质有，所以的最小值为的长，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ∴， ， ， 即就是的最小值， ，点是边的中点， ∴， ∵，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 三、解答题 6（24-25八年级上·福建厦门·期末）课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【答案】（1）①证明见解析；②最小值为；（） 【分析】（1）①在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，，则，，在中，根据三角形的三边关系即可得证；②先证，，再证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得解； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小，证和都是等腰直角三角形，得，再证，得，进而求得，从而得，即可得解． 【详解】解：（1）①证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴垂直平分， 如图，在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴即是的最小值； ②解∶∵是等边三角形，点为中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小， ∴，， ∴， 由题意可得， ∵平分 ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $