专题08 整式乘法与因式分解 （期末真题汇编，福建专用）八年级数学上学期

专题08 整式乘法与因式分解 7大高频考点概览 考点01 平方差公式及其应用 考点02 完全平方公式及其应用 考点03 含有乘法公式的混合运算 考点04 利用提公因式进行因式分解 考点05 利用乘法公式进行因式分解 考点06 十字相乘法 考点07 因式分解的应用 地 城 考点01 平方差公式及其应用 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建其中·期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．易求出图（1）阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分进行拼接后，长为，宽为，面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为； 图（2）中阴影部分为矩形，其长为，宽为，则其面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）若，则k的值为（    ） A．109 B．110 C．111 D．112 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式得到即可求解，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）若，则的值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算，将代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）下列各式中不能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式，，公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 根据平方差公式的运算法则对各个选项进行计算判断即可． 【详解】A．，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B．，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C．，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； D．，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意． 故选C． 2、 填空题 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式．先变形为，再用平方差公式计算，最后计算减法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，熟记公式的形式是解题关键． 【详解】解：原式， 故答案为： 7．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：7． 三、解答题 8．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们已经学习了平方差公式，下面我们来推导一个更一般的公式——等幂差公式，并应用等幂差公式解决问题． 等幂差公式的推导： 我们从简单的情况开始思考，对于，可以这样构造： 先让加上，，式子的值不变，即， 然后进行分组可得：， 进一步提取公因式：， 最后得到：． 按照这样的思路，对于（且n为正整数），可以类似的构造： 令， 分组可得：， 提取公因式：， 所以，这就是等幂差公式． 解决问题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值； (3)将一个小球从10米高的地方用力扔下，小球每次落地后会反弹起来，而且每次反弹的高度是前一次下落高度的．现在请你计算，从开始下落到第10次小球着地，这个小球总共经过的路程是多少米？（结果精确到个位，已知，，，） 【答案】(1) (2)144 (3)49米 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、近似数和有效数字及多项式乘多项式，熟知多项式乘多项式法则及正确表示出小球经过的总路程是解题的关键． （1）根据题中所给方法进行因式分解即可； （2）根据题意可得出，再用替换y得出，再结合整体思想即可； （3）根据题意，表示出小球经过的总路程，再对其进行计算即可． 【详解】（1）解：因为， 则令得， ； （2）解：因为， 则用替换y得，， 因为，， 所以； （3）解：从开始下落到第10次小球着地， 小球总共经过的路程是： ， 令， 则， 两式相减得，， , 又因为，， 所以， 所以小球总共经过的路程是：（米）． 地 城 考点02 完全平方公式及其应用 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算法则，涉及同底数幂的乘除法、积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握这些运算法则是解决问题的关键． 根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对C进行判断；根据同底数幂的乘法法则对D进行判断． 【详解】解：A．，原计算错误． B．，原计算错误． C． ，原计算错误． D．，原计算正确． 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知，则的值是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将原式变形为，然后利用完全平方公式展开，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）已知，则（   ） A．4 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用；根据已知条件，利用平方差公式求出的值，再由完全平方公式即可求得结果． 【详解】解：， ， 即， ∵， ， ． 故选：B． 4．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成1个大正方形图案，该大正方形图案的面积为64，小正方形的面积为4，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式及图形的特点找到长度与面积的关系即可依次判断，利用数形结合分析问题是解题的关键． 【详解】、由图可知大正方形图案的面积为，边长为， ∴，故A正确，不符合题意； 、由图可知中间小正方形的边长为，面积为4，则，即 ，故B正确，不符合题意； 、∵，，、b为正数且， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； 、由和，可得： ，故D错误，符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）若对于两个多项式的乘积：，能用完全平方公式进行简捷运算，则满足的条件可以是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键． 【详解】解：根据完全平方公式的特点可得： ， ∴，， 故选C 6．（24-25八年级上·福建南平·期末）若，则的值是（    ） A．100 B．198 C．200 D．205 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及平方差公式，熟记相关公式是解答本题的关键．根据完全平方公式以及平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 2、 填空题 7．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如果是完全平方式，则k的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．完全平方公式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，根据完全平方公式的特点进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 8．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）若能分解成一个含x的一次多项式的平方，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式，中间项为两平方项乘积的2倍，由此可得出k的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·福建三明·期末）边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知a＋b＝10，ab＝24．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】14 【分析】用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入计算即可． 【详解】解：由可得， =a2+b2-a2-b（a+b） =a2+b2-ab =（a2+b2-ab） = [（a+b）2-3ab] =×（100-72） =14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键． 三、解答题 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）观察下列算式，完成问题： 算式①：        算式②： 算式③：        算式④： …… (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立； (3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解； (3)不成立，理由见详解； 【分析】本题考查了因式分解——平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．（1）根据规律写出算式⑤即可得到答案； （2）利用平方差公式进行因式分解证明即可得到答案； （3）设两个连续奇数分别为和（为整数），利用平方差公式进行因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意规律可得， ， 故答案为：； （2）证明：设两个连续偶数为和， ∵ ， ∴； （3）解：不成立，理由如下， 证明：设两个连续奇数分别为和（为整数）， ∵ ， ∴； 11．（24-25八年级上·福建厦门·期末）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如，求代数式的最大值： ． 可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求围成的生物园的最大面积．    【答案】（1）9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为；（3）． 【分析】本题主要考查配方法的实际应用能力，根据题意列出关系式是基础，配方是关键． （1）依据题意，由配方法的意义得，是完全平方式，进而判断可以得解； （2）依据题意，由，再由平方数是非负数进而可以判断得解； （3）依据题意，设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，然后再表示出四边形的面积，结合x的取值范围进而可得围成的植 物园的最大面积． 【详解】解：（1）由题意得，是完全平方式． 故答案为：9； （2） 当时，代数式有最小值，最小值为． （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得： 当时，有最大值，最大值是50． 围成的植物园的最大面积是． 12．（24-25八年级上·福建宁德·期末）庆祝元旦期间，张老师出了一道“年份题”：计算的算术平方根． 张老师提示可将上述问题一般化为：计算的算术平方根（为正整数），然后对进行特殊化： 当时，， 当时，， 当时，， …… (1)根据以上规律，请直接写出的算术平方根；（按规律写出结果即可，不必计算） (2)根据以上等式规律，请写出第个等式，并验证其正确性； (3)某同学将上述问题更一般化为：计算的算术平方根，并猜想，其中，为正整数．你认为这个猜想成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请说明以上猜想成立时，，应满足什么关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)不成立；成立时的条件 【分析】本题考查了等式的探究规律，整式运算； （1）观察等式得，即可求解； （2）可得猜想：，分别对左边、右边进行运算，即可求解； （3）由，可判断是否成立， 若成立，可得，即可求解； 找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解： 的算术平方根为 ； （2）解：由题意得 ， 左边 ， 右边 ， 左边右边， 故原式成立； （3）解：不成立； ， 不成立， 若成立，则有 ， ， ， ，为正整数， ， ， ． 地 城 考点03 含有乘法公式的混合运算 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的运算法则和乘法公式对整式进行化简，再把，代入到化简后的式子计算即可求解，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】解：原式， ， 把，代入得， 原式， ， ， ． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，，求及的值． 【答案】， 【分析】将两边平方，利用完全平方公式化简，将的值代入即可求出的值，再利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值． 此题考查了运用完全平方公式计算，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴； ． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 本题考查的是整式的化简求值，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 4．（24-25八年级上·福建南平·期末）化简： 【答案】 【分析】此题考查完全平方公式，根据完全平方公式展开计算即可． 【详解】解：原式 5．（24-25八年级上·福建莆田·期末）求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先用平方差公式展开，计算单项式乘以多项式，再合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．先根据多项式乘以多项式的运算法则，以及完全平方公式，将括号展开，再合并同类项，最后将x和y的值代入进行计算即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 7．（24-25八年级上·福建南平·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；6 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据整式的四则运算，完全平方公式和平方差公式进行化简，然后代数求解即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，涉及了整式的四则运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确进行计算． 9．（24-25八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，且已知：x，y值满足． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值．先算利用平方差公式和单项式乘多项式化简，再合并同类项，最后整体代入求出即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 10．（24-25八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，完全平方公式，多项式除以单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据完全平方公式，多项式除以单项式进行展开，再去括号，合并同类项，得，把，代入计算，即可作答． 【详解】解： ， 把，代入， 得：． 地 城 考点04 利用提公因式进行因式分解 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，根据公因式的确定方法解答即可，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是， 故选：． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：和的公因式的是， 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式．确定公因式的系数，取各项系数的最大公因数；确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其指数最低的，由此确定公因式即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：D． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，直接提公因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·福建南平·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．提公因式即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为： 3、 解答题 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法与公式法． 提公因式即可． 【详解】解：． 7．（24-25八年级上·福建三明·期末）因式分解：， 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，用提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 8．（24-25八年级上·福建宁德·期末）用提公因式法分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，正确地找出多项式各项的公因式是解题的关键． 根据提公因式法分解因式即可求解． 【详解】解： ． 地 城 考点05 利用乘法公式进行因式分解 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知a，b，c为三角形的三边长，则的值（    ） A．可能是0 B．一定是负数 C．一定是正数 D．可能是正数，也可能是负数 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系及因式分解，熟练掌握三角形三边关系及因式分解是解题的关键；由三角形三边关系可知，由可进行判断式子的正负性，进而问题可求解． 【详解】解：由三角形三边关系可知， ∴， ∴， ∴的值一定是负数； 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）登登是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．美丽 B．美丽泉州 C．我爱泉州 D．泉州美 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息． 【详解】解：∵ ， 又∵分别对应下列四个字：我，爱，泉，州， ∴结果呈现的密码信息是：我爱泉州． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为，中间位置上的数记为．下列所给的数据中，不可能是（    ） A．161 B．298 C．420 D．465 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据平方数的特点来进行解答．用含有的式子表示出最大和最小的两个数，再将相乘等于，最后将换成四个选项的数，根据平方数的特点进行讨论即可． 【详解】解：最大和最小的两个数是和， ， 即， A选项中，当时，，则，，，所以可能是161，故A不符合题意； B选项中，当时，，则没有正整数的平方等于，不符合日历，所以不可能是298，故B符合题意； C选项中，当时，，则，，，所以可能是420，故C不符合题意； D选项中，当时，，则，，，所以可能是465，故D不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级上·福建莆田·期末）当n为自然数时，一定能（   ） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 【答案】D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解题的关键．先把分解因式可得结果为：，从而可得答案． 【详解】解： 为自然数 所以一定能被8整除， 故选D 2、 填空题 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．该多项式为完全平方式，可直接应用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·福建宁德·期末）式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为： 7．（24-25八年级上·福建福州·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式与平方差公式，熟练掌握公式并正确提取公因式是解决本题的关键． 先提取公因式m，再使用平方差公式求解即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 9．（24-25八年级上·福建厦门·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 直接根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3、 解答题 10．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握公式法的运用． 连续两次利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 11．（24-25八年级上·福建莆田·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的基本步骤是解题关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（24-25九年级上·福建福州·期末）实数，满足，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)144 【分析】本题考查了完全平方公式和因式分解的应用，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值即可． （2）将原式变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴． （2）解：原式 ． 13．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，等式的性质，熟练掌握完全平方公式因式分解是解题的关键．先利用完全平方公式变形为，再利用得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 地 城 考点06 十字相乘法 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列算式计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末））下列多项式中是多项式的因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键． 【详解】解：； ∴是多项式的因式； 故选A 2、 填空题 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据题意运用“十字交叉法”进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 3、 解答题 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】该题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解题意． （1）根据题干方法解答即可； （2）根据题干方法解答即可； （3）根据题干方法解答即可； （4）根据题干方法解答即可； 【详解】（1）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （2）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （3）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （4）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 5．（24-25八年级上·福建三明·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）阅读下面的材料． 材料一：当时，，或． 材料二：把等式的左右两边交换位置后，得到，也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如． 所以在解方程时，可以把方程变形为，所以，或，所以，． 根据以上材料回答下列问题： (1)因式分解：________； (2)解方程：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)的值为或 【分析】本题考查了十字相乘法的应用； （1）根据十字相乘法可进行因式分解； （2）先根据十字相乘法对等号左边的式子进行因式分解，再利用材料二中的方法得到方程的解； （3）先根据十字相乘法对等号左边的式子进行因式分解，再利用材料二中的方法得到关于x、y的二元一次方程，然后分别求出的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴或， 当时，可得， ∴； 当时，可得， ∴， 综上，的值为或． 地 城 考点07 因式分解的应用 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，画出图形，根据图形因式分解即可，利用等积法进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：如图： ∴， 故选：C． 二、解答题 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现式子可以因式分解为______． (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的几何意义以及完全平方公式的应用，解决本题的关键是观察图形，找到a与b与面积的关系． （1）通过长方形的面积表示，将长方形拆解为2块大正方形，2块小正方形，5块小长方形的面积和，由此可因式分解； （2）根据完全平方公式结合长方形的周长，面积公式求解即可． 【详解】（1）解：观察图形可知，表示的是长方形的总面积， ∴， 故答案为：； （2）解：∵阴影部分的面积为，大长方形的周长为， ∴，， 化简可得，， ∵， ∴， ∴空白部分的面积为． 答：图中空白部分的面积为． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：） (1)观察图形： ①可以发现代数式可以因式分解为_______； ②若长方形纸板面积为，每块小长方形的面积为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (2)若再给两块边长都为的小正方形，和一块长为，宽为的小长方形，请用给出的所有图形拼凑出一个长方形，并画出这个长方形，再对代数式进行因式分解． 【答案】(1)①，②42cm (2)画图见解析， 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）①根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解；②根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解； （2）根据添加两块边长都为的小正方形，和一块长为，宽为的小长方形，先画图，再利用图形面积分解因式即可． 【详解】（1）解：①由题知即为大矩形面积， 由图知还可用表示面积， ∴． ②由题知，，，即， ， ∴， ∵， ∴， ∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为： ； （2）解：如图， ∴． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如:当时，即或-1时，的值均为6；当时，即或-2时，的值均为11．于是小明给出一个定义:对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶． 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于__________对偶； (2)当或时，关于x的多项的值相等，求b的值； (3)若整式)关于对偶，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把配方后即可得到答案； （2）把配方后，根据新定义得到，即可得到答案； （3）把原式变形后，根据新定义即可得到n的值． 【详解】（1）解：∵， ∴根据题意，多项式关于对偶； 故答案为： （2）解：． 依题意，得与互为相反数，即 ∴； （3） ∵该整式关于对偶． ∴ 【点睛】此题是新定义题，主要考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 整式乘法与因式分解 7大高频考点概览 考点01 平方差公式及其应用 考点02 完全平方公式及其应用 考点03 含有乘法公式的混合运算 考点04 利用提公因式进行因式分解 考点05 利用乘法公式进行因式分解 考点06 十字相乘法 考点07 因式分解的应用 地 城 考点01 平方差公式及其应用 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建其中·期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）若，则k的值为（    ） A．109 B．110 C．111 D．112 3．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）若，则的值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）下列各式中不能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）计算： ． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）计算： ． 7．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知，，则 ． 三、解答题 8．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们已经学习了平方差公式，下面我们来推导一个更一般的公式——等幂差公式，并应用等幂差公式解决问题． 等幂差公式的推导： 我们从简单的情况开始思考，对于，可以这样构造： 先让加上，，式子的值不变，即， 然后进行分组可得：， 进一步提取公因式：， 最后得到：． 按照这样的思路，对于（且n为正整数），可以类似的构造： 令， 分组可得：， 提取公因式：， 所以，这就是等幂差公式． 解决问题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值； (3)将一个小球从10米高的地方用力扔下，小球每次落地后会反弹起来，而且每次反弹的高度是前一次下落高度的．现在请你计算，从开始下落到第10次小球着地，这个小球总共经过的路程是多少米？（结果精确到个位，已知，，，） 地 城 考点02 完全平方公式及其应用 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知，则的值是( ) A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）已知，则（   ） A．4 B．10 C．16 D．20 4．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成1个大正方形图案，该大正方形图案的面积为64，小正方形的面积为4，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）若对于两个多项式的乘积：，能用完全平方公式进行简捷运算，则满足的条件可以是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25八年级上·福建南平·期末）若，则的值是（    ） A．100 B．198 C．200 D．205 2、 填空题 7．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如果是完全平方式，则k的值是 ． 8．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）若能分解成一个含x的一次多项式的平方，则k的值是 ． 9．（24-25八年级上·福建三明·期末）边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知a＋b＝10，ab＝24．则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）观察下列算式，完成问题： 算式①：        算式②： 算式③：        算式④： …… (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立； (3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 11．（24-25八年级上·福建厦门·期末）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如，求代数式的最大值： ． 可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求围成的生物园的最大面积．    12．（24-25八年级上·福建宁德·期末）庆祝元旦期间，张老师出了一道“年份题”：计算的算术平方根． 张老师提示可将上述问题一般化为：计算的算术平方根（为正整数），然后对进行特殊化： 当时，， 当时，， 当时，， …… (1)根据以上规律，请直接写出的算术平方根；（按规律写出结果即可，不必计算） (2)根据以上等式规律，请写出第个等式，并验证其正确性； (3)某同学将上述问题更一般化为：计算的算术平方根，并猜想，其中，为正整数．你认为这个猜想成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请说明以上猜想成立时，，应满足什么关系并证明． 地 城 考点03 含有乘法公式的混合运算 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）化简，再求值：，其中，． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，，求及的值． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中 4．（24-25八年级上·福建南平·期末）化简： 5．（24-25八年级上·福建莆田·期末）求值：，其中． 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中，． 7．（24-25八年级上·福建南平·期末）先化简，再求值：，其中． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 9．（24-25八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，且已知：x，y值满足． 10．（24-25八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中，． 地 城 考点04 利用提公因式进行因式分解 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）因式分解： ． 5．（24-25八年级上·福建南平·期末）分解因式： ． 3、 解答题 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）分解因式：． 7．（24-25八年级上·福建三明·期末）因式分解：， 8．（24-25八年级上·福建宁德·期末）用提公因式法分解因式：． 地 城 考点05 利用乘法公式进行因式分解 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知a，b，c为三角形的三边长，则的值（    ） A．可能是0 B．一定是负数 C．一定是正数 D．可能是正数，也可能是负数 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）登登是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．美丽 B．美丽泉州 C．我爱泉州 D．泉州美 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为，中间位置上的数记为．下列所给的数据中，不可能是（    ） A．161 B．298 C．420 D．465 4．（24-25八年级上·福建莆田·期末）当n为自然数时，一定能（   ） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 2、 填空题 5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）因式分解： ． 6．（24-25八年级上·福建宁德·期末）式分解： ． 7．（24-25八年级上·福建福州·期末）分解因式： ． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）分解因式： ． 9．（24-25八年级上·福建厦门·期末）因式分解： ． 3、 解答题 10．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）因式分解： 11．（24-25八年级上·福建莆田·期末）因式分解： (1)； (2)． 12．（24-25九年级上·福建福州·期末）实数，满足，． (1)求的值． (2)求的值． 13．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知，求的值． 地 城 考点06 十字相乘法 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列算式计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末））下列多项式中是多项式的因式的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）因式分解： ． 3、 解答题 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25八年级上·福建三明·期末）因式分解： 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）阅读下面的材料． 材料一：当时，，或． 材料二：把等式的左右两边交换位置后，得到，也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如． 所以在解方程时，可以把方程变形为，所以，或，所以，． 根据以上材料回答下列问题： (1)因式分解：________； (2)解方程：； (3)若，求的值． 地 城 考点07 因式分解的应用 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现式子可以因式分解为______． (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求图中空白部分的面积． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：） (1)观察图形： ①可以发现代数式可以因式分解为_______； ②若长方形纸板面积为，每块小长方形的面积为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (2)若再给两块边长都为的小正方形，和一块长为，宽为的小长方形，请用给出的所有图形拼凑出一个长方形，并画出这个长方形，再对代数式进行因式分解． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如:当时，即或-1时，的值均为6；当时，即或-2时，的值均为11．于是小明给出一个定义:对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶． 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于__________对偶； (2)当或时，关于x的多项的值相等，求b的值； (3)若整式)关于对偶，求n的值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $