14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形 课件- 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”判定定理，通过工人师傅制作三角形零件的实际问题导入，衔接全等三角形定义与性质，引导学生探究给定元素能否确定三角形，搭建从实际到理论的学习支架。 其特色是采用“猜想—操作—验证—推理”探究过程，结合几何直观和推理意识，如作图操作让学生感知元素对三角形确定的影响，规范证明步骤强化数学语言表达。实例丰富，能发展学生逻辑推理能力，教师可借结构化流程提升教学效率。

【2025新教材】沪科版数学 八年级上册 第14章 全等三角形 14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形 已知△ABC≌△DEF，请你写出对应相等的边和角. A B C F D E AB=DE， BC=EF， AC=DF. ∠A=∠D， ∠B=∠E， ∠C=∠F. 对应相等的边： 对应相等的角： 思考1：满足这六个条件可以保证△ABC≌△DEF吗？ 14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形 教学课件 一、教学基本信息 授课对象：七年级学生（已掌握全等三角形的定义、性质及对应元素识别方法，具备基本几何操作与推理能力） 核心目标：1. 理解“两边及其夹角分别相等”的含义，掌握全等三角形的“SAS”判定定理；2. 能运用“SAS”定理证明两个三角形全等，并规范书写证明过程；3. 经历“猜想—操作—验证—推理”的探究过程，培养几何直观与逻辑推理能力。 教学重难点：重点为“SAS”判定定理的推导与应用；难点为“夹角”与“对角”的区分及证明过程中对应关系的梳理。 教学准备：PPT课件、硬纸板、直尺、圆规、量角器、剪刀、探究任务单（含作图步骤）。 二、教学过程设计（45分钟） 环节一：情境导入，引发思考（5分钟） 1. 实际问题设问：PPT展示情境——工人师傅要制作一个三角形零件，已知零件的一个角为60°，这个角的两条邻边分别为4cm和6cm，如何确保制作的零件与样板全等？提问：“只确定三角形的部分元素，能否保证两个三角形全等？需要确定哪些元素才行？” 2. 旧知衔接：回顾全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”，若用定义判定需逐一验证所有元素，操作繁琐。引出问题：“有没有更简便的判定方法？今天我们就探究其中一种——通过边和角的关系判定全等。” 3. 引出课题：明确本节课主题——两边及其夹角分别相等的两个三角形，探究这一条件能否判定三角形全等。 设计意图：从实际生产问题出发，凸显判定定理的实用价值，同时以“简化判定方法”为切入点，激发学生的探究欲望，衔接全等三角形的核心概念。 环节二：探究新知——SAS判定定理的推导（18分钟） 本环节通过“动手作图—叠合验证—逻辑推理”，层层递进推导“SAS”定理，突破“夹角”这一关键概念。 1. 明确探究对象：“两边及其夹角”的含义 教师在黑板上画△ABC，标注∠A=60°，AB=4cm，AC=6cm，解释：“这里的‘两边’是指∠A的两条邻边AB和AC，‘夹角’是指这两条边所夹的角∠A，而非其中一条边的对角。” 即时辨析：展示△DEF，标注∠D=60°，DE=4cm，EF=6cm，提问：“DE和EF是∠D的两边吗？∠D是DE和EF的夹角吗？”（明确：不是，∠D的两边是DE和DF，EF是∠D的对边，避免混淆“夹角”与“对角”）。 2. 动手操作：构造两边及其夹角相等的三角形 活动1——“全等三角形构造”实验，学生分组按以下步骤作图，教师巡回指导： 1. 作一个角∠MAN，使∠MAN=60°（用量角器画角，标注度数）； 2. 在射线AM上截取AB=4cm（用直尺量取，标注端点A、B）； 3. 在射线AN上截取AC=6cm（同样标注端点A、C）； 4. 连接BC，得到△ABC； 5. 另取一张硬纸板，重复上述步骤，作△DEF，使∠D=60°，DE=4cm，DF=6cm。 3. 验证猜想：叠合对比与测量验证 活动2——学生完成以下验证操作并记录结果： - 叠合验证：将制作的△ABC与△DEF沿对应边叠放，观察是否完全重合； - 测量验证：用直尺测量BC与EF的长度，用量角器测量∠B与∠E、∠C与∠F的度数，记录数据并对比。 学生发现：△ABC与△DEF能完全重合，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F，猜想“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”。 4. 定理总结：SAS判定定理的规范表述 教师结合学生探究结果，给出定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简称为“边角边”或“SAS”）。 符号语言规范：如图，在△ABC和△DEF中，若AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，则△ABC≌△DEF（SAS）。 强调要点：① 必须是“两边及其夹角”，缺一不可；② 夹角是两边的公共角，位置关键；③ 书写时需将“夹角相等”的条件写在两边相等之间，对应关系清晰。 设计意图：通过“作图—验证—总结”的流程，让学生从直观操作到理性认知，自主推导定理，同时明确“夹角”的核心地位，突破易混淆点。 环节三：范例解析——SAS定理的应用（12分钟） 通过典型例题，示范“SAS”定理的应用及证明过程的规范书写，强化“找对应元素—列条件—写证明”的逻辑。 1. 基础范例：直接应用SAS证明全等 例题1：如图，已知AB=AD，∠BAC=∠DAC，求证：△ABC≌△ADC。 教师示范解题步骤： 1. 审题与找对应元素：已知AB=AD（一组边相等），∠BAC=∠DAC（夹角相等），公共边AC=AC（另一组边相等），符合SAS条件。 2. 规范书写证明过程： 证明：在△ABC和△ADC中，$\left\{ \begin{array}{l} AB=AD\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{（已知）} \\ ∠BAC=∠DAC\ \ \text{（已知）} \\ AC=AC\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{（公共边）} \end{array} \right.$∴ △ABC≌△ADC（SAS）。 3. 易错提醒：公共边是隐含条件，需主动挖掘；书写时条件顺序与SAS定理对应，保持逻辑连贯。 2. 进阶范例：结合全等性质解决计算问题 例题2：如图，已知AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD，若∠B=30°，求∠E的度数。 学生分组讨论解题思路，教师引导： 1. 推导夹角相等：∵ ∠BAE=∠CAD（已知），∴ ∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC（等式性质），即∠BAC=∠EAD。 2. 证明三角形全等：在△ABC和△AED中，AB=AE，∠BAC=∠EAD，AC=AD，∴ △ABC≌△AED（SAS）。 3. 利用性质求角度：∵ △ABC≌△AED（已证），∴ ∠E=∠B=30°（全等三角形对应角相等）。 设计意图：基础范例强化证明规范，进阶范例体现“判定—性质”的综合应用，培养学生挖掘隐含条件、转化角度的能力。 环节四：巩固练习，强化能力（7分钟） 分层设计练习，覆盖“基础应用—易错辨析—综合提升”，针对性强化SAS定理的理解与应用。 1. 基础题：补充条件证明全等 如图，已知AC=BC，要使△ACD≌△BCD，还需添加一个条件______（写出一个即可），并证明。 答案提示：∠ACD=∠BCD（夹角相等），证明略（利用AC=BC，∠ACD=∠BCD，CD=CD，用SAS判定）。 2. 辨析题：判断“边边角”能否判定全等 展示△ABC与△DEF，其中AB=DE，AC=DF，∠B=∠E（∠B是AC的对角，∠E是DF的对角），提问：“这两个三角形全等吗？”学生动手作图发现：满足“边边角”的两个三角形不一定全等，明确“SAS”中“夹角”的不可替代性。 3. 综合题：全等判定与性质融合 如图，已知AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求证：BF=DE。 提示：先证△ABF≌△CDE（或△ABE≌△CDF），再利用全等三角形对应边相等推导BF=DE，证明过程略。 设计意图：通过辨析题突破“边边角”的误区，综合题强化知识融合，提升学生的逻辑推理与解题能力。 环节五：总结升华，拓展延伸（3分钟） 1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结核心内容： SAS定理：两边及其夹角分别相等→两个三角形全等； 2. 关键要点：夹角是两边公共角，区别于“边边角”； 3. 解题流程：找对应边/角→挖隐含条件→证全等→用性质。 4. 思想提炼：强调“转化思想”（将未知问题转化为全等问题）、“严谨思想”（证明需每步有依据，条件缺一不可）。 5. 课后任务： 必做：教材对应习题，完成2道证明题，规范书写步骤； 6. 选做：设计一个利用“SAS”定理测量池塘两端距离的方案，画出示意图并说明原理。 三、板书设计 14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形 一、探究问题：什么条件下两三角形全等？ 聚焦：两边及其夹角分别相等 二、SAS判定定理 1. 内容：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 简称：边角边（SAS） 2. 符号语言： 在△ABC和△DEF中 $\left\{ \begin{array}{l} AB=DE（已知） \\ ∠A=∠D（已知） \\ AC=DF（已知） \end{array} \right.$ ∴ △ABC≌△DEF（SAS） 3. 关键：夹角（两边公共角）≠ 对角 误区：“边边角”不能判定全等 三、应用步骤 1. 找：对应边、对应角（含隐含条件） 2. 列：满足SAS的三个条件 3. 证：写出全等结论 4. 用：利用全等性质求边/角 四、思想方法：转化思想、严谨思想 四、教学反思（课后填写） 1. 学生对“夹角”的理解是否准确？在复杂图形中能否快速识别两边及其夹角？ 2. 证明过程中，学生是否能主动挖掘公共边、公共角等隐含条件？书写格式是否规范？ 3. 对“边边角”与“SAS”的区别，学生是否清晰？还需通过哪些练习强化辨析？ 情景导入 思考2：三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三角形吗？ A B C 探究新知 1.只给定一个元素： 4cm 4cm 45° 45° 不能确定 （1）一条边长为4cm； （2）一个角为45°. 探究新知 4cm 4cm 5cm 2.只给定两个元素： 45° 4cm 45° 4cm 45° 60° 45° 60° （1）两条边长分别为4cm，5cm； （2）一条边长为4cm，一个角为45°； （3）两个角分别为45°，60°. 不能确定 还需增加什么条件才行呢？ 探究新知 1.如图，把圆规平放在桌面上，在圆规的两脚上各取一点A，C，自由转动其一个脚，△ABC的形状、大小随之改变. 这说明了什么？那么还需增加什么条件才可以确定△ABC呢？ A C B α 探究新知 2.如图，把两块三角板的一条直角边放在同一条直线l上，其中∠B，∠C已知，并记两块三角板斜边的交点为A. 其中一个三角板不动，另一个三角板沿着直线l分别向左、向右移动，△ABC的大小随之改变，这又说明了什么？那么还需增加什么条件才可以确定△ABC呢？ l A B C 探究新知 确定一个三角形的大小和形状，至少需要知道3个元素. ① 三边　 ② 三角　 ③ 两边一角　 ④ 两角一边　 3个元素 确定三角形的形状、大小的条件能否作为判定三角形全等的条件呢？ 探究新知 已知：如图，△ABC. 求作：△A'B'C'，使A'B'=AB，∠B'=∠B，B'C'=BC. A B C (2)在B′M上截取B′A′=BA，在B′N上截取B′C′=BC； 作法： (3)连接A′C′． (1)如图，作∠MB′N=∠B； B′ M N A′ C′ 则△A'B'C' 就是所求作的三角形． 探究新知 思考：将所作的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC 上，看看它们能否完全重合.由此你能得到什么结论？ 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或“SAS”. 由上可得如下的基本事实： A B C B′ M N A′ C′ 探究新知 B′ A′ C′ B A C 几何语言: 如图，在△ABC与△A'B'C'中： ∴△ABC≌△A′B′C′ . (SAS) AB=A'B'， ∠A=∠A'， AC=A'C'， 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或“SAS”. 探究新知 例1 已知：如图，AD∥CB，AD=CB. 求证：△ADC≌△CBA. A B C D 证明：∵AD∥CB，(已知) 在△ADC 和△CBA 中， AD = CB， (已知) ∠DAC =∠BCA，(已证) ∴ △ADC≌△CBA . (SAS) AC = CA，(公共边) ∴∠DAC =∠BCA (两直线平行，内错角相等). 探究新知 归纳：证明三角形全等的步骤： ①“找”：从已知条件出发，找齐三角形全等的三个条件； ②“列”：列出要证明的是哪两个三角形； ③“排”：把三角形全等的条件排列好，并用大括号括起来； ④“得”：得出全等结论，并标明所用判定方法. 探究新知 例2 如图，在池塘的岸边有 A，B 两点，难以直接量出 A，B 两点间的距离. 你能设计一种量出 A，B 两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由. 分析：要计算的是A，B两点之间的距离，目前无法直接测量，需要把A，B两点之间的距离进行转换，间接进行求解. 如果能够证明△ABC≌△A'B'C'，就可以得出A'B'=AB. 探究新知 解 方案：在岸上取可以直接到达点 A，B 的一点 C，连接 AC 并延长到点 A′，使A′C = AC；连接 BC 并延长到点 B′，使 B′C = BC. 连接A′B′，量出 A′B′ 的长，就得到 A，B 两点之间的距离. 理由： ∴△ABC≌△A′B′C′ .(SAS) ∴ AB = A′B′ . (全等三角形的对应边相等) AC = A′C′ ， (已知) ∠ACB =∠A′CB′， (对顶角相等) BC = B′C ， (已知) 在△ABC 和△A′B′C 中， ∵ 探究新知 练一练 F A B D C E 如图，点 E、F 在 AC 上，AD∥BC，AD = CB，AE = CF. 求证：△AFD≌△CEB. ∴ AE + EF = CF + EF，即 AF = CE. 证明： ∵ AD∥BC， ∴ ∠A =∠C. ∵ AE = CF， 在△AFD 和△CEB 中， AD = CB ，(已知) ∠A = ∠C，(已证) AF = CE ， (已证) ∴△AFD≌△CEB . (SAS) 探究新知 随堂演练 【教材P97 练习 T1】 1.已知：如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，AD=AE. 求证：△ABE≌△ACD. 证明： 在△ABE 和△ACD 中， AB = AC ，(已知) ∠A = ∠A，(公共角) AE = AD ， (已知) ∴△ABE≌△ACD . (SAS) 课堂练习 2.已知：如图，AC和BD交于点O，OA=OC，OB=OD. 求证: DC//AB. 【教材P97 练习 T2】 证明： 在△ABO 和△CDO 中， OA = OC ，(已知) ∠AOB = ∠COD，(对顶角相等) OB = OD ， (已知) ∴△ABO≌△CDO . (SAS) ∴∠A=∠C. (全等三角形的对应角相等) ∴DC//AB. (内错角相等，两直线平行) 课堂练习 3.已知：如图，AB=DB，CB=EB，∠1=∠2. 求证：∠A=∠D. 【教材P92 练习 T3】 证明： ∵∠1=∠2，(已知) ∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC，(等式的性质) 即∠ABC=∠DBE. 在△ABC 和△DBE 中， AB = DB ，(已知) ∠ABC = ∠DBE，(已证) CB = EB ， (已知) ∴△ABC≌△DBE . (SAS) ∴∠A=∠D. (全等三角形的对应角相等) 课堂练习 知识点1 判定三角形全等的条件：边角边 1.由图中所给定的条件，全等的三角形是______.（填序号） ①③ 返回 考试考法 20 （第2题） 2. ［2025黄山校级期末］如图， , .若要用“”证明 , 则还需要的条件是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 21 （第3题） 3. ［2025阜阳校级月考］如图，在 和中，点，，， 在同 一直线上，， ，只添加 一个条件，能判定 的是 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 22 知识点2 “边角边”判定三角形全等的应用 （第4题） 4. 如图， ， ，，则, 两点间的距 离是( ) C A. B. C. D. 考试考法 23 （第4题） 【点拨】, , ,即 .在 和中， , . 故选C. 返回 考试考法 24 5.如图，在和中，， ， . 求证： . 考试考法 25 【证明】 ， ， 即 . 在和中， ， . 返回 考试考法 26 三角形全等的判定方法“边角边” 1.内容 2.注意 （1）已知两边，找“夹角”； （2）已知一角和这角的一夹边，找这角的另一夹边. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或“SAS”. 课堂小结 谢谢观看！ $