第6讲探索直线平行的条件-2025-2026学年北师大版数学七年级下册寒假预习

第6讲 探索直线平行的条件 一、核心知识点 （一）“三线八角”——同位角、内错角、同旁内角的识别 1. 基本前提 两条直线（被截线，记为、）被第三条直线（截线，记为）所截，形成8个角，称为“三线八角”。 识别关键：先明确“被截线”（需要判断是否平行的两条直线）和“截线”（贯穿两条被截线的直线），再根据角的位置关系分类。 2. 三种角的定义与特征（核心：位置关系而非大小） 角的类型 定义 位置特征（速记） 同位角 两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，且在被截线的同一方向的两个角 同旁、同向（“F”型结构） 内错角 两条直线被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截线的之间的两个角 异侧、之间（“Z”型结构） 同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，且在被截线的之间的两个角 同旁、之间（“U”型结构） 注意：三种角的命名仅描述位置关系，与角的大小无关；判断时需先画“截线”和“被截线”的标记，再对照“F/Z/U”型结构快速识别。 （二）直线平行的判定定理（核心：角度关系→平行关系） 1. 同位角相等，两直线平行（基本事实，无需证明） 文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 2. 内错角相等，两直线平行（推论，可由同位角定理推导） 文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 3. 同旁内角互补，两直线平行（推论，可由同位角定理推导） 文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补（和为），那么这两条直线平行。 （三）平行公理的推论（平行的传递性） 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示：若，，则。 应用场景：无需通过角的关系，直接由两条直线与第三条直线的平行关系，判定这两条直线平行（避免复杂的角度计算）。 （四）平行线判定的常见拓展场景 1. 垂直于同一条直线的两条直线平行（同一平面内）： · 若，，则（推导：垂直得，同位角相等，两直线平行）。 1. 角度计算与判定结合： · 先通过对顶角、邻补角计算出同位角、内错角或同旁内角的度数，再根据判定定理判断平行。 二、常见易错知识 1. “三线八角”识别错误（核心易错点） 错误表现： 混淆“被截线”与“截线”，导致角的类型判断错误； 只看角的大小，不看位置关系，误将相等的角当作同位角/内错角； 漏认复杂图形中的“F/Z/U”型结构（如多条直线相交时）。 正确分析： 识别步骤：① 先圈出“被截线”（需判断平行的两条直线）和“截线”（贯穿二者的直线）；② 观察角的两边：是否分别在截线的同侧/异侧，是否在被截线的之间/同一方向；③ 对照“F/Z/U”型结构验证，不依赖角的大小。 口诀：“先找三线，再定位置，结构对应，类型分明”。 2. 颠倒判定定理的因果关系（与平行线性质混淆） 错误表现： 误将“两直线平行，同位角相等”（性质）当作判定定理，说“因为，所以同位角相等”（因果颠倒，判定是“角相等→线平行”，性质是“线平行→角相等”）； 判定时表述不严谨，只说“同位角相等”，未说明“两条直线被第三条直线所截”的前提。 正确分析： 判定定理的核心逻辑是“由角的位置关系+角度关系，推导线的位置关系”，必须明确“两条直线被第三条直线所截”这一前提； 区分判定与性质的口诀：“判定是‘角定线’，性质是‘线定角’，因果相反，不可混淆”。 3. 同旁内角判定条件理解错误 错误表现： 误将“同旁内角相等”当作两直线平行的条件（正确条件是“同旁内角互补”）； 计算同旁内角和时出错，如将误算为，进而错误判定平行。 正确分析： 牢记三种角的判定条件：同位角/内错角是“相等”，同旁内角是“互补”（和为），可结合推导过程记忆（同旁内角互补→转化为同位角相等→判定平行）； 计算角度和时，可通过“已知角”验证补角关系，避免计算错误。 4. 忽略“同一平面内”的前提条件 错误表现： 认为“垂直于同一条直线的两条直线一定平行”，忽略“同一平面内”的限制（空间中垂直于同一直线的两条直线可能相交或异面）； 平行公理的推论在空间中仍成立，但初中阶段讨论的平行均默认“同一平面内”，表述时需严谨。 示例：错说“任意两条垂直于直线的直线都平行”（错误，需补充“同一平面内”）。 正确分析： 初中几何中，除平行公理的推论外，“垂直于同一直线的两条直线平行” “两条直线要么平行要么相交”等结论，均需限定“同一平面内”； 解题时若未明确说明“空间中”，默认在同一平面内，但定义和定理表述需完整。 5. 复杂图形中漏算或错算角度 错误表现： 未利用对顶角、邻补角转化角度，导致无法找到判定所需的角； 多条直线相交时，混淆角的对应关系，计算错误。 正确分析： 复杂图形中，先标记已知角的对顶角、邻补角（利用“对顶角相等” “邻补角互补”转化角度），再寻找与判定相关的角； 可通过“标注角度→转化角度→验证判定条件”的步骤，避免漏算或错算。 6. 平行公理推论应用错误 错误表现： 误将“平行于同一条直线的两条直线平行”逆用，说“如果两条直线平行，那么它们平行于同一条直线”（逆命题不成立，两条平行线可平行于无数条直线）； 忽略“同一条直线”的条件，说“平行于不同直线的两条直线平行”（错误，如，，若与相交，则与可能相交）。 正确分析： 平行公理推论是“单向传递”，仅能由“两条直线都平行于第三条直线”推出“这两条直线平行”，不可逆用； 应用时需明确“第三条直线”是同一个对象，否则结论不成立。 7. 作图时未遵循判定定理（实操易错） 错误表现： 用直尺和三角板画平行线时，未让三角板的直角边与已知直线重合（导致同位角不相等，画出的直线不平行）； 画多条平行线时，未利用平行公理的推论，而是重复测量角度，效率低且易出错。 正确分析： 作图依据：“同位角相等，两直线平行”，步骤需严格遵循“三角板直角边与已知直线重合→平移三角板→沿另一直角边画线”； 画多条平行线时，可利用“平行于同一直线的两条直线平行”，直接平移三角板，无需重复测量。 三、核心判定逻辑与速记口诀 1. 核心逻辑链 已知条件→计算/转化角度→找到同位角/内错角相等（或同旁内角互补）→判定两直线平行 （或：已知两条直线与第三条直线平行→利用平行公理推论→判定两直线平行） 2. 速记口诀 角的识别：“截线同侧找同位，截线两侧找内错，截线同侧且之间，同旁内角记心间”； 判定定理：“同位相等，内错相等，同旁互补，两线平行”； 拓展应用：“同垂必平行，同平行必平行”（同一平面内）。 一、单选题 1．下列图形中，和是内错角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内错角的定义：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，即可得出答案． 【详解】 解：上列四幅图中，和是内错角的是． 故选：C． 2．如图，已知直线，被直线所截，则的同位角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的判断， 根据同位角的定义逐个判断即可得出答案． 【详解】解：因为和是邻补角， 所以A不符合题意； 因为和是同位角， 所以B符合题意； 因为和不是同位角， 所以C不符合题意； 因为和不是同位角， 所以D不符合题意． 故选：B． 3．下列英文字母中，也存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），其中含同旁内角最多的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】此题考查了同旁内角，根据同旁内角的定义进行判断．在截线的同旁，又都在被截两直线之间的角． 【详解】 ∵  有4个同旁内角，  有2个同旁内角，  有0个同旁内角，  有0个同旁内角， ∴其中含同旁内角最多的是  ． 故选：A． 4．如图所示，，，当（   ）时，． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，角的和差计算，掌握平行线的几种判定方法是解题的关键． 先根据垂直的定义得到，则当时，，得到，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 即， 解得：， 故选：B． 5．下列各图均是由含角或含角的直角三角板组合而成，其中可以利用“内错角相等，两直线平行”得出的有（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定条件：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是解题关键．结合三角板的特点，根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：图①，根据同位角相等，两直线平行得出，不符合题意； 图②，，，符合题意； 图③，，根据同旁内角互补两直线平行得到，不符合题意； 图④，，，符合题意； 即能得出的是②④， 故选：B． 6．下列命题中正确的有（　　） ①相等的角是对顶角； ②在同一平面内，若，，则；③同旁内角互补； ④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据对顶角、平行公理推论、同旁内角、邻补角和角平分线的定义逐个判断即可得． 【详解】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，则原命题错误； ②在同一平面内，若，，则，则原命题正确； ③同旁内角不一定互补，则原命题错误； ④因为互为邻补角的两角的度数之和为，所以它们的角平分线互相垂直，则原命题正确； 综上，命题正确的有2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角、平行公理推论、同旁内角、邻补角和角平分线，熟练掌握各知识点是解题关键． 7．如图，下列条件中，能判断直线的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论． 【详解】解：①由，内错角相等，可得，符合题意； ②由，不能得到，不符合题意； ③由，同位角相等，可得，符合题意； ④由，不能得到，不符合题意； ⑤由，得，内错角相等，即可得到，符合题意； ⑥由，同旁内角互补，即可得到，符合题意； 综上，能判断直线的有4个． 故选：C． 8．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A. ， ， 故本选项能判断；     B. ， ， 故本选项不能判断；     C. ， ， 故本选项不能判断；     D. ， ， 故本选项不能判断； 故选：A． 二、填空题 9．如图：如果，可以推出 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：，． 10．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可解答． 【详解】解：过直线外一点，画已知直线的平行线的方法：一“落”：把三角尺的一边落在已知直线上．二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边．三“推”：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点．四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线． ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 11．如图，若将木条绕点旋转后使其与木条平行，则旋转的最小角度为 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．根据同位角相等两直线平行可得当时，，进而算出答案． 【详解】解：∵当时， ∴旋转的最小角度为， 故答案为：． 12．如图，与的位置关系是 ．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 【答案】内错角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角和同旁内角的特征，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与的位置关系是内错角； 故答案为：内错角． 13．如图，在下列结论中：；；；．其中能判定的有 ．（请填写序号） 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解答本题的关键． 根据平行线的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：， ，故符合题意； ， ，故不符合题意； ，即， ，故符合题意； ，即， ，故符合题意； 故答案为：． 14．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 15．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据三角板各角角度、三角形内角和定理求出角的度数，再根据角之间的关系逐一判断即可． 【详解】解：， ， ， 故正确； ，， ， 又， ， ， 故正确； 如下图所示， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 与不平行， 故不成立； 如下图所示，， ， 又， ， ， 故正确； 故答案为： ． 16．如图，， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，过点作， 由平行线的性质可知，，由，和等量代换可得到和的数量关系，继而即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴  ， 即． 故答案为：． 三、解答题 17．如图， (1)过点P作的垂线，垂足为点Q， (2)过点P作的平行线，交于点R． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画平行线和画垂线，熟知平行线和垂线的画法是解题的关键． （1）根据垂线的画法画图即可； （2）根据平行线的画法画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 18．如图，将一张长方形的硬纸片对折，是折痕，把面平摊在桌面上，另一个面不论怎样改变位置，总有与平行，请你说出其中的道理．    【答案】见解析 【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行求解即可． 【详解】解：∵长方形的硬纸片对折，是折痕， ∴，， ∴， ∴另一个面不论怎样改变位置，总有与平行． 【点睛】本题主要考查了平行公理，熟知平行公理是解题的关键． 19．已知：如图，，相交于点O，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据对对顶角相等可得出，结合已知条件等量代换可得出，进而可得出． 【详解】证明（对顶角相等），（已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行） 20．如图，点P为内一点： (1)过点P画直线； (2)过点P画直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画平行线，利用同位角相等，两直线平行是解答的关键． （1）借助三角板和直尺画平行线即可； （2）借助三角板和直尺画平行线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 21．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：根据斜边大于直角边，得． 22．请把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 如图点A，B，C在同一条直线上，已知平分，，，求证． 证明：∵， ∴____________（______） 平分， ∴（______） ∵， ∴______（______）， ∴（______） 【答案】见解析 【分析】本题考查垂线的定义，角平分线的定义，平行线的判定，根据垂线的定义及角平分线的定义结合已知得到，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴（垂线的定义） ∵平分， ∴（角平分线的定义） ∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 23．将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平角的定义得到，则，根据内错角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】解：． 理由：∵点在上， ． ∵， ， ∴（内错角相等，两直线平行）． 24．如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第4页，共19页 试卷第5页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 探索直线平行的条件 一、核心知识点 （一）“三线八角”——同位角、内错角、同旁内角的识别 1. 基本前提 两条直线（被截线，记为、）被第三条直线（截线，记为）所截，形成8个角，称为“三线八角”。 识别关键：先明确“被截线”（需要判断是否平行的两条直线）和“截线”（贯穿两条被截线的直线），再根据角的位置关系分类。 2. 三种角的定义与特征（核心：位置关系而非大小） 角的类型 定义 位置特征（速记） 同位角 两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，且在被截线的同一方向的两个角 同旁、同向（“F”型结构） 内错角 两条直线被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截线的之间的两个角 异侧、之间（“Z”型结构） 同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，且在被截线的之间的两个角 同旁、之间（“U”型结构） 注意：三种角的命名仅描述位置关系，与角的大小无关；判断时需先画“截线”和“被截线”的标记，再对照“F/Z/U”型结构快速识别。 （二）直线平行的判定定理（核心：角度关系→平行关系） 1. 同位角相等，两直线平行（基本事实，无需证明） 文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 2. 内错角相等，两直线平行（推论，可由同位角定理推导） 文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 3. 同旁内角互补，两直线平行（推论，可由同位角定理推导） 文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补（和为），那么这两条直线平行。 （三）平行公理的推论（平行的传递性） 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示：若，，则。 应用场景：无需通过角的关系，直接由两条直线与第三条直线的平行关系，判定这两条直线平行（避免复杂的角度计算）。 （四）平行线判定的常见拓展场景 1. 垂直于同一条直线的两条直线平行（同一平面内）： · 若，，则（推导：垂直得，同位角相等，两直线平行）。 1. 角度计算与判定结合： · 先通过对顶角、邻补角计算出同位角、内错角或同旁内角的度数，再根据判定定理判断平行。 二、常见易错知识 1. “三线八角”识别错误（核心易错点） 错误表现： 混淆“被截线”与“截线”，导致角的类型判断错误； 只看角的大小，不看位置关系，误将相等的角当作同位角/内错角； 漏认复杂图形中的“F/Z/U”型结构（如多条直线相交时）。 正确分析： 识别步骤：① 先圈出“被截线”（需判断平行的两条直线）和“截线”（贯穿二者的直线）；② 观察角的两边：是否分别在截线的同侧/异侧，是否在被截线的之间/同一方向；③ 对照“F/Z/U”型结构验证，不依赖角的大小。 口诀：“先找三线，再定位置，结构对应，类型分明”。 2. 颠倒判定定理的因果关系（与平行线性质混淆） 错误表现： 误将“两直线平行，同位角相等”（性质）当作判定定理，说“因为，所以同位角相等”（因果颠倒，判定是“角相等→线平行”，性质是“线平行→角相等”）； 判定时表述不严谨，只说“同位角相等”，未说明“两条直线被第三条直线所截”的前提。 正确分析： 判定定理的核心逻辑是“由角的位置关系+角度关系，推导线的位置关系”，必须明确“两条直线被第三条直线所截”这一前提； 区分判定与性质的口诀：“判定是‘角定线’，性质是‘线定角’，因果相反，不可混淆”。 3. 同旁内角判定条件理解错误 错误表现： 误将“同旁内角相等”当作两直线平行的条件（正确条件是“同旁内角互补”）； 计算同旁内角和时出错，如将误算为，进而错误判定平行。 正确分析： 牢记三种角的判定条件：同位角/内错角是“相等”，同旁内角是“互补”（和为），可结合推导过程记忆（同旁内角互补→转化为同位角相等→判定平行）； 计算角度和时，可通过“已知角”验证补角关系，避免计算错误。 4. 忽略“同一平面内”的前提条件 错误表现： 认为“垂直于同一条直线的两条直线一定平行”，忽略“同一平面内”的限制（空间中垂直于同一直线的两条直线可能相交或异面）； 平行公理的推论在空间中仍成立，但初中阶段讨论的平行均默认“同一平面内”，表述时需严谨。 示例：错说“任意两条垂直于直线的直线都平行”（错误，需补充“同一平面内”）。 正确分析： 初中几何中，除平行公理的推论外，“垂直于同一直线的两条直线平行” “两条直线要么平行要么相交”等结论，均需限定“同一平面内”； 解题时若未明确说明“空间中”，默认在同一平面内，但定义和定理表述需完整。 5. 复杂图形中漏算或错算角度 错误表现： 未利用对顶角、邻补角转化角度，导致无法找到判定所需的角； 多条直线相交时，混淆角的对应关系，计算错误。 正确分析： 复杂图形中，先标记已知角的对顶角、邻补角（利用“对顶角相等” “邻补角互补”转化角度），再寻找与判定相关的角； 可通过“标注角度→转化角度→验证判定条件”的步骤，避免漏算或错算。 6. 平行公理推论应用错误 错误表现： 误将“平行于同一条直线的两条直线平行”逆用，说“如果两条直线平行，那么它们平行于同一条直线”（逆命题不成立，两条平行线可平行于无数条直线）； 忽略“同一条直线”的条件，说“平行于不同直线的两条直线平行”（错误，如，，若与相交，则与可能相交）。 正确分析： 平行公理推论是“单向传递”，仅能由“两条直线都平行于第三条直线”推出“这两条直线平行”，不可逆用； 应用时需明确“第三条直线”是同一个对象，否则结论不成立。 7. 作图时未遵循判定定理（实操易错） 错误表现： 用直尺和三角板画平行线时，未让三角板的直角边与已知直线重合（导致同位角不相等，画出的直线不平行）； 画多条平行线时，未利用平行公理的推论，而是重复测量角度，效率低且易出错。 正确分析： 作图依据：“同位角相等，两直线平行”，步骤需严格遵循“三角板直角边与已知直线重合→平移三角板→沿另一直角边画线”； 画多条平行线时，可利用“平行于同一直线的两条直线平行”，直接平移三角板，无需重复测量。 三、核心判定逻辑与速记口诀 1. 核心逻辑链 已知条件→计算/转化角度→找到同位角/内错角相等（或同旁内角互补）→判定两直线平行 （或：已知两条直线与第三条直线平行→利用平行公理推论→判定两直线平行） 2. 速记口诀 角的识别：“截线同侧找同位，截线两侧找内错，截线同侧且之间，同旁内角记心间”； 判定定理：“同位相等，内错相等，同旁互补，两线平行”； 拓展应用：“同垂必平行，同平行必平行”（同一平面内）。 一、单选题 1．下列图形中，和是内错角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，被直线所截，则的同位角是（   ） A． B． C． D． 3．下列英文字母中，也存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），其中含同旁内角最多的是（　　） A．   B．   C．   D．   4．如图所示，，，当（   ）时，． A． B． C． D． 5．下列各图均是由含角或含角的直角三角板组合而成，其中可以利用“内错角相等，两直线平行”得出的有（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．②③④ 6．下列命题中正确的有（　　） ①相等的角是对顶角； ②在同一平面内，若，，则；③同旁内角互补； ④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如图，下列条件中，能判断直线的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图：如果，可以推出 ． 10．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是 ． 11．如图，若将木条绕点旋转后使其与木条平行，则旋转的最小角度为 ． 12．如图，与的位置关系是 ．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 13．如图，在下列结论中：；；；．其中能判定的有 ．（请填写序号） 14．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 15．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有 ． 16．如图，， ，，则 ． 三、解答题 17．如图， (1)过点P作的垂线，垂足为点Q， (2)过点P作的平行线，交于点R． 18．如图，将一张长方形的硬纸片对折，是折痕，把面平摊在桌面上，另一个面不论怎样改变位置，总有与平行，请你说出其中的道理．    19．已知：如图，，相交于点O，．求证：． 20．如图，点P为内一点： (1)过点P画直线； (2)过点P画直线． 21．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 22．请把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 如图点A，B，C在同一条直线上，已知平分，，，求证． 证明：∵， ∴____________（______） 平分， ∴（______） ∵， ∴______（______）， ∴（______） 23．将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 24．如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $