江西省九江第一中学2026届高三上学期二轮复习数学综合测试(一)

2026年高三数学二轮复习综合测试卷(一) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合N，则A的子集个数为(     ) A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 2.在中，为的中点，为的中点，、交于点.若，则等于( ) A. B. C. D. 3.为贯彻党的十九大精神，全国各地加大了对农村边远山区技术扶贫力度，某山区乡镇经过一年的县干部挂点配带各类技术人员下乡镇技术扶贫，使该乡镇的经济收入增加了一倍，实现了年翻一番的经济奋斗目标.为更好地了解该乡镇的经济收入变化情况，统计了对该乡镇技术扶贫前后的经济收入构成比例，得到如下扇形图： 由技术扶贫前到技术扶贫后依次按种植收入、养殖收入、乡镇企业收入、第三产业收入的增长，则各项收入增长率正确的是( ) A.-20%，0%，5%，15% B.20%，100%，166.67%，400% C.20%，100%，50%，150% D.-20%，100%，50%，400% 4.若函数的定义域为，则函数的值域是( ) A. B. C. D. 5.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为(    ) A. B. C. D. 6.已知两实数满足,若在之间插入四个实数,使这六个数构成等差数列,则这个等差数列后三项和的最大值为( ) A. B. C. D. 7.已知AB是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则 的最小值为(    ) A. 0 B. C. D. 8.已知正四棱柱的上、下底面是边长为的正方形,其侧棱,且是上底面正方形的中心,是侧棱上一点.设异面直线与所成的角为,且,则线段的长为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.在中,角所对的边分别是.若，，则下列结论正确的是( ) A. B.的取值范围是 C.的取值范围是 D.面积的最大值为 10.在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数 的图象可以近似模拟某种信号的波形，则(    ) A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 是的一个周期 11.若存在过点的直线与曲线和都相切,则实数等于( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设复数满足,其中是虚数单位,若是的共轭复数,则的模等于__________. 13.已知，是双曲线的两个焦点，若在双曲线上存在点满足,则双曲线的离心率的取值范围是　　 ． 14.已知正方体的体积为8，且 ，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，已知四边形是边长为的菱形，；现将沿对角线折起至的位置，并使得平面平面，连结，得到一个三棱锥；若是棱的中点,是棱上一点,且.(1)求证:平面；(2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值. 16.15分某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为 ；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为 ②教师：回答n个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为 . 假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜． 若， ，记小明同学答对问题含场外求助答对题数的数量为X，求X的分布列及数学期望； 若，且小明同学获胜的概率不小于 ，求p的最小值． 17.(15分)已知双曲线：的离心率为，点，，且坐标原点到直线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)设是双曲线的右焦点，直线过点且与双曲线的右支交于不同的两点，点为线段的中点.若点在直线上的射影为，满足，求直线的方程. 18.(17分)设函数()；(1)讨论函数的单调性；(2)若,求函数在(其中为自然对数的底数)上的最值. 19.17分在不大于N，的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为 求，的值； 对于m，n，N，，是否存在m，n，p，使得？若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由； 记表示不超过x的最大整数，且 ，求…的值． 试卷(一)答案及解析 一、单选题： 1.C 由题意得，所以A的子集个数为故选 2.A 因为的重心，于是，则.故，即.故选A. 3.B 设技术扶贫前该乡镇的年总收入为万元，则其中种植收入为万元，养殖收入为万元，乡镇企业收入为万元，第三产业收入为万元.依题意技术扶贫后该乡镇的年总收入为万元，易知其中种植收入为万元，养殖收入为万元，乡镇企业收入为万元，第三产业收入为万元.因此，由技术扶贫前到技术扶贫后各项收入的增长情况为：种植收入的增长率是，养殖收入的增长率是，乡镇企业收入的增长率是，第三产业收入的增长率是.故选B. 4.依题意有，解得，即，而函数在区间内是单调递减的，则，即，故所求值域是．故选B. 5.C 令(x>0)，则，易得在上单调递减，，注意到，，，， ，故选 6.法1.设成等差数列的这六个数为,公差为,则,即.依题意 ①,由圆的参数方程知,代入①中得,(其中).因,得,故.故选A. 法2.前同法1,设直线的方程为,即.因直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离,解得,故.故选A. 7. C 设弦MN的中点为C，，，易得为MN的中点，设向量与的夹角为， ，又， 的最小值为故选 8.D 法1:如图,以分别为轴建立空间直角坐标系.依题意知,,设,则,于是,.由于,且 则,而,解得,即.故选D. 法2:在侧棱上取一点,使得,易证,则(或其补角),由,且则.设,则,易得,,,由余弦定理可得,解得,即.故选D. 二、多选题： 9.ACD 由条件得,由余弦定理得,且,得,故选项A正确；则,再由正弦定理得则因则得,故,故选项C正确，选项B错误；又因为,,故选项D正确.综上,选ACD. 10.BC  依题意，是奇函数，A错误；对于B选项,，同理,所以,则的图象关于点对称,B选项正确;对于C选项,所以，所以的图象关于直线对称，C选项正确．对D选项，，所以不是的周期，D选项错误．故选 11.BD设过点的直线与相切于点,得切线方程为即，又在切线上，解得或.当时，由与相切可得；当时，由与相切可得；综合得或.故填BD. 三、填空题： 12.注意复数的共轭复数为,且,. 法1,由于,则.故填5. 法2,由复数模性质得,即,而.故填5. 13.法1:如图,不妨设是双曲线左支上的点,并设双曲线左顶点为;由,化为(为双曲线的焦距)，即,易证,于是,即.故填. 法2:设,而,则 ,因为，并注意,则,即得.故填. 14.由题意得，，将平面展成与平面同一平面，当点A，E，C共线时，此时最小，在展开图中作，垂足为N，，解得如图，以D为原点,建立空间直角坐标系,,,连接，易得平面，且经过的中心，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，则，即，解得，所以外接球，所以三棱锥外接球的体积故填. 四、解答题： 15.解:(1)法1:因四边形是边长为的菱形，，知与均为正三角形，由平面平面，且平面平面，又是的中点，则，所以平面,且平面，可得；取的中点,连结,又,则为的中点,得是的中位线,则,得；又因与是平面内两相交直线，故得平面.(6分) 法2:由题意知与均是边长为的正三角形，又是的中点,连结，连结；由平面平面，且平面平面，则平面,则得.以分别为轴建立空间直角坐标系.易得由则 .求得,可得,,所以,,且与是平面内两相交直线，故得平面.(6分) (2)设平面和平面所成的锐二面角为.由(1)知平面的法向量为；设平面的法向量为,因则 ,由,,可令,则, ,得.于是.故平面和平面所成锐二面角的余弦值为.(13分) 16.解：小明同学答每个问题的概率， 则， 故， ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故(7分) 记事件为小明同学答对了i道题，事件为唐老师答对了j道题，，2，，1，其中小明同学答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ，， 所以小明同学获胜的概率为 ， 解得，故p的最小值为(15分) 17.解:(1)；又因直线方程为即，由条件得故双曲线的方程为：.(6分) (2)；①当与方程联解得，而，则,故此时不合题意.(7分) ②当设联立方程组，消得：，依题意有，且；又且的中点，.故综合①、②得.(15分) 18.解:(1)由题意知函数的定义域为.由,则(),其分子的判别式(2分).则①当,即时,对恒成立,则在上递增；②当,即时,(当且仅当时取等号)对恒成立,则在上递增；③当,即时,令,即,解得,则；(i)若，则,易知在和上递增,在上递减；(ii)若,则,易知在上递减,在上递增；(iii)若,则,易知在上递减,在上递增.综合得:当时,在上递增 (4分)；当时,在和上递增,在上递减 (6分)；当时，在上递减,在上递增.(9分) (2)由(1)知当时，在上递减,在上递增，且.①当且,解得时,则在上递减,在上递增；由于，，令,解得,注意 ；从而知当时,；当时,(11分).②当,解得时，则在上递减,得 .(17分) 19.解：在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以(5分) 因为在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个， 能被3整除的数有个，能被6整除的数有个， 所以 若，则，即， 因为，所以， 易知是奇数，是偶数， 故不存在m，n，p，使得(11分) 由知，当时，， 所以， 当时，， 所以当时，， 所以当时，，， 所以(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $