四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期数学综合练习 1（统计与概率）

**基本信息** 聚焦统计与概率核心模块，以题载法构建“概念-推导-应用”逻辑链，强化数据分析与数学建模素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计基础|第1/5/7/11/14/17题|百分位数计算、方差变换、分层抽样推导|从数据特征（平均数/方差）到数据收集（抽样）再到数据呈现（频率分布直方图），形成完整统计认知链| |概率应用|第2/4/8/10/12/13题|古典概型列举、独立事件乘法公式、全概率公式|从基本事件（互斥/独立）到复杂情境（比赛/游戏），体现概率模型的迁移应用| |综合实践|第15/16题|事件分解法、分层数据合并|融合统计与概率，通过实际问题（竞赛/调查）培养数据解释与决策能力|

树德中学高2024级高二上期综合练习1（统计与概率） 一、单选题 1.已知一组数据：2，5，7，x，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（     ） A.7 B.6.5 C.6 D.5.5 2.甲、乙两人每人可以用手出0，5，10三种数字，同时可以喊0，5，10，15，20五种数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时为胜，若甲喊10，乙喊15，则（     ） A.甲胜的概率大 B.乙胜的概率大 C.甲、乙胜的概率一样大 D.不能确定 3.总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（     ） 7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 A.08 B.15 C.16 D.19 4.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态。若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则p的最大值为（     ） A. B. C. D. 5.已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，则（     ） A.， B.， C.， D.， 6.现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第k(，，)个盒子中有k张龙形图案的卡片，6−k张兔形图案的卡片.现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（     ） A.2 B.3 C.4 D.5 二、多选题 7.某高中为了解该校学生的体质情况，对全校同学进行了身体素质测试，现随机抽取所有测试同学中的100名，经统计这一部分同学的体测分数均介于40至100之间；为进一步分析该校学生体质情况，现将数据整理得到如下所 示频率分布直方图，则下列结论正确的是（     ） A. B. 样本中得分不低于80分的同学有15名 C. 估计样本的40%分位数为66分 D. 该组数据的平均数大于众数 8. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3.从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（     ） A. 事件发生的概率为 B. 事件发生的概率为 C. 事件，是互斥事件 D. 事件，相互独立 9. 下列说法正确的是（     ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为16 10. 甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则以下说法正确的是（     ） A. 每轮活动中，甲获胜的概率为 B. 每轮活动中，平局的概率为 C. 甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 D. 甲至少获胜两轮的概率为 三、填空题 11. 若一组数据，，，，的方差为4，则，，，，的标准差为____. 12. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为____. 四、解答题 13. 在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了 “强国有我，挑战答题” 的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分. 假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响. （1） 分别求甲队总得分为1分和2分的概率； （2） 求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率. 14. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，30)，第2组，40)，第3组，50)，第4组，60)，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示： (1) 求样本中数据落在，60)的频率； （2） 求样本数据的第50百分位数； (3) 若将频率视为概率，现在要从，30)和，两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在，30)这一组的概率. 15. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1） 求甲连胜四场的概率； （2） 求需要进行第五场比赛的概率； （3） 求丙最终获胜的概率. 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城 市的主要创造者.长春市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机 抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均不低于40分)分成六段：，50)，，60)，……，，， 得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计样本成绩的平均数和上四分位数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差。 17. 已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，， .记总的样本平均数为，样本方差为。 （1）证明：； （2）证明：； （3）现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数66，方差为180，女生600人，体重平均数 为52，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差。 答案和解析 1.B 2.A 3.D 4.A 5.C 6.A 【解答】解：设选出的是第个盒子，连续取出两张卡片的方法数为， 第二次取出的卡片为兔形图案的取法有如下四种情形： 龙兔，取法数为：，兔兔，取法数为：， 所以第二次取出的是兔形图案的总情形数为：， 则在第个盒子中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为：， 解得。故选：A。 7.ABC 8.ABC 9.ACD 10. 【答案】ABD 【解析】解：对于A，若甲获胜，则意味着每轮活动中甲答对，乙答错，由对立事件的概率公式得乙答错的概率为， 而甲答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，由独立事件概率公式得甲获胜的概率为， 故A正确，对于B，若两人平局，则意味着每轮活动中甲乙都答对或甲乙都答错，由对立事件的概率公式得甲答错的 概率为，由独立事件概率公式得甲乙都答对的概率为，甲乙都答错的概率为，而甲乙都 答对和甲乙都答错两个事件互斥，由互斥事件概率公式得平局的概率为，故B正确， 对于C，若甲胜一轮且乙胜两轮，则三轮之中有一轮甲胜，共有种选法，而乙胜一轮的概率为乙答对且甲答错， 概率为，由题意得各轮活动互不影响，即每轮甲乙的胜负情况相互独立，则由独立事件概率公式得甲胜一 轮且乙胜两轮的概率为，故C错误，对于D，若甲至少获胜两轮，则甲胜三轮或甲胜两轮， 若从三轮里选两轮甲胜，共有种选法，则甲胜两轮的概率为，甲胜三轮的概率为， 而甲胜两轮与甲胜三轮互斥，可得甲至少获胜两轮的概率为，故D正确。故选：ABD 11. 【答案】6 12. 【答案】 解：不妨设甲的顺序是1，3，5，7，考虑甲得分为0，1的情况 （1）0分情况：只有1种， （2）1分情况： ①甲出3的时候得分，此时只有1种 ②甲出5的时候得分， 此时乙对应有两种情况：乙出4的时候有1种情况，乙出2的时候有2种情况，所以共3种； ③甲出7的时候得分， 此时乙对应有3种情况：乙出6的时候有1种情况，乙出4的时候有2种情况，乙出2的时候有4种情况.从而共7 种情况. 总得分小于2的概率为，则甲的总得分不小于2的概率为. 13.【答案】解： （1）设甲队总得分为1分为事件，甲队总得分为2分为事件， 则. . 所以甲队总得分为1分的概率为，2分的概率为. （2）依题意甲队总得分为0分，即3道题全部错误的概率为 . 得1分的概率为，得2分的概率为，得3分的概率为； 乙队总得分为0分的概率为，得1分的概率为， 得2分的概率为，得3分的概率为. 则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率 . 14.【答案】解： （1）由频率分布直方图可知， 样本中数据落在的频率为； （2）设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有： 解得： . （3）与两组的频率之比为1：2， 现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则组抽取2人，记为，，组抽取4人，记为1，2，3，4， 所有可能的情况为，，，， ，，，，，， ，，，，，共15种， 其中至少有1人的年龄在的情况有，，， ，，，，，，共9种， 故所求概率。 15.【答案】解：（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，则。 （2）设甲输掉一场比赛为事件，乙输掉一场比赛为事件，丙输掉一场比赛为事件， 四场比赛能结束为事件， 则 ， 所以需要进行第五场比赛的概率为， （3） 丙获胜的概率为： 。 16.【答案】解：（1）由所有小矩形面积之和为1得， ， 解得； （2）平均数为 ， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为，由， 得，故上四分位数为； （3）由题意得，成绩在有人， 成绩在有人， 则这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： 17.【答案】（1）证明：由题意得，分层随机抽样中，第一层抽取了个样本，其数据记为，，，， 则第一层样本数据总和为； 第二层抽取了个样本，其数据记为，，，，则第二层样本数据总和为. 总的样本数据总和为，总的样本量为。 根据样本平均数的定义，总的样本平均数。 故成立。 （2）证明：由题意得，样本方差。 对于第一层数据，展开平方项：， 由于， 因此上式化简为：， 同理，第二层数据满足：， 将两层结果代入总方差公式：。 故的表达式成立。 （3）解：已知男生人数，平均数，方差； 女生人数，平均数，方差，总人数。 平均数计算：； 方差计算：首先计算，。 代入方差公式：。 学科网（北京）股份有限公司 $