上海市复旦大学附属中学徐汇分校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

复旦大学附属中学2025学年第一学期 高一年级数学期中考试试卷 2025.11.13 考生注意： 1.本试卷共4页，21道题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分； 3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位． 一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，．若，则______． 2. 不等式的解集是______． 3. 函数的定义域为______． 4. 设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 5. 不等式的解集为________ 6. 函数的值域是________________． 7. 用二分法研究函数f（x）在区间（0，1）内的零点时，计算得f（0）<0，f（0.5）<0，f（1）>0，那么下一次应计算x＝_________时的函数值． 8. 已知关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为______． 9. 设是定义在R上的偶函数，且当时，．若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是______． 10. 已知正数满足，则的最小值为________. 11. 设定义在R上的函数满足，且当时．若对任意，不等式恒成立，则实数λ的最大值是______． 12. 不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出与的图像，然后求解，请类比求解以下问题：设a，，若对任意的都有，则的最大值是______． 二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑． 13. 下列不等式中，解集为R的是（ ） A. B. C. D. 14. 若a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分但非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 15. 若存在，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 设函数的定义域为D，若存在正实数，使得对于任意，都有，则称为“类严格增函数”．对于“类严格增函数”，有如下两个命题： ①若是类严格增函数，则一定在D上严格增； ②函数是“类严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数）． 则下列选项正确的是（ ） A. ①是假命题；②是真命题 B. ①是真命题；②是假命题 C. ①是真命题；②是真命题 D. ①是假命题；②是假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知集合． （1）求的值； （2）若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 18. 设，k为常数． （1）判断的奇偶性并证明； （2）若，证明在上是严格减函数． 19. “”科技公司新研发了一款取名“灵犀”的智能笔，每生产x千支“灵犀”笔的总成本为千元，用AI软件对市场的相关数据进行分析得知，“灵犀”笔投放市场后可以全部销售完，其销售额为（单位：千元）． （1）求“”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润y（千元）关于产量x（千支）的函数关系式； （2）当产量为多少千支时，“”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大？ 20. 已知一元二次方程（a，b，，）的两个实根为，． （1）若，，，求的值； （2）若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； （3）若，，求y的取值范围． 21. 已知函数在区间D上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数T，存在，使得，且，则称函数在区间D上具有性质． （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求正整数m的最小值； （3）若函数在区间上具有性质，求T的最大值． 复旦大学附属中学2025学年第一学期 高一年级数学期中考试试卷 2025.11.13 考生注意： 1.本试卷共4页，21道题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分； 3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位． 一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 【1题答案】 【答案】5 【2题答案】 【答案】. 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】. 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】． 【7题答案】 【答案】0.75 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】2 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑． 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1）; （2）. 【18题答案】 【答案】（1） 已知函数定义域为， 当时，由，所以函数是偶函数， 当时，由， ，所以函数是非奇非偶函数； （2） 证明：当时，， 任取，不妨设， 则， 因为，所以，，即， 又因为，所以，则，即 所以函数在上是严格减函数. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）. 【20题答案】 【答案】（1）2 （2）证明：假设，都小于2， 因为，， ，且与异号， 的两个实根，， 由韦达定理可得：， 则与同正，且此时， 则， 因为，都小于2， ，这与矛盾， 故假设不成立， 所以，中至少有一个大于等于2. （3） 【21题答案】 【答案】（1）具有，理由如下： 假设函数在区间上是具有性质， 则存在，使得，且， 解得：，满足，使得， 故函数在区间上是具有性质； （2）； （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $