精品解析：湖南省长沙市一中广雅中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

长沙市一中广雅中学高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在上单调递减，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 6. 样本点数据，且大致呈线性分布，其经验回归方程为，若，数据的80%分位数为7，则当时，随机误差的残差为：（ ）． A. -0.5 B. 0.5 C. -1.5 D. 1.5 7. 如图，已知长方体中，，，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转．若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知正四面体的棱长为4，四面体内部一点（包含边界）到三个侧面，，的距离之比为，则下列说法正确的是（ ） A. 正四面体内切球的半径为 B. 点可以为的重心 C. D. 面积的最小值为 10. 已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（ ） A. 关于轴对称 B. 到点的距离不小于到直线的距离 C. 存在，使得 D. 当取得最小值时，直线的斜率为 11. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴；一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的反射集中于它的焦点．已知抛物线为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上的另一点反射后沿直线射出，则（ ） A. B. 是一个钝角三角形 C. 若延长交直线于点，则点在直线上 D. 抛物线在点处的切线分别与直线、所成的角相等 三、填空题 12. 复数满足，则的最大值为________． 13. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，，PA=4.若三棱锥P-ABC的外接球的半径为，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为____________ . 14. 过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则__________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 16. 已知函数． （1）若函数的最小正周期为，求的值； （2）若函数在上单调，且其图象在上存在对称轴，求实数的取值范围． 17. 设的内角的对边分别为，已知. （1）若. （i）求； （ii）求； （2）求的最大值. 18. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分分）整理后绘制成的频率分布直方图． （1）估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线； （2）从参加预赛的名学生中随机抽取人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为，求； （3）为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的名学生中推荐名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为．在入围复赛的名学生中随机抽取名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率． 19. 已知多面体的底面是正方形，底面，，. （1）证明：平面平面； （2）设. （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）若二面角的大小为，求的值. （2025黑龙江大庆市实验中学·临考冲刺） 20. 双曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线．定点为双曲线焦点，定直线为双曲线准线，比值为双曲线离心率．已知动点满足到定点的距离与到定直线的距离的比是2，点坐标为． （1）求点的轨迹方程及的最小值； （2）直线与轨迹的右支交于两点，． （i）若直线过点且与两渐近线分别交于点，，求的取值范围； （ii）若，两点关于直线对称，并且过点．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市一中广雅中学高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】由可得，解得，即， 因，故. 故选：D． 2. 已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用单调性定义确定函数单调性，再利用单调性、偶函数性质比较大小. 【详解】由对任意的，都有不等式，得函数在上单调递增， 由是R上的偶函数，得在上单调递减，而， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 3. 已知函数在上单调递减，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性列式求解. 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数上在上单调递增，且当时，， 因此，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 4. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过角的拆分和三角恒等变换即可推导得到结果． 【详解】由，，将其代入， 得， 展开得， 整理得，又，，， 所以，两边除以 ， 得，解得． 故选：D． 5. 已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据，把问题转化为求的最小值，进一步转化为求的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可. 【详解】由题意：，. 因为. 又， 当时取“”. 又，所以. 所以. 故选：C 6. 样本点数据，且大致呈线性分布，其经验回归方程为，若，数据的80%分位数为7，则当时，随机误差的残差为：（ ）． A. -0.5 B. 0.5 C. -1.5 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算出观测值与预估值，再计算残差即可. 【详解】将从小到大排列，，所以，预测值为， 所以残差为观测值-预测值=6-5.5=0.5 故选：B． 7. 如图，已知长方体中，，，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转．若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与的夹角，可得绕直线旋转的轨迹为圆锥，求直线与的夹角，结合图形可知，当与直线平行时，与的夹角最小，利用三角函数知识求解即可. 【详解】在长方体中，，则直线与的夹角等于直线与的夹角． 长方体中，，，为正方形的中心点， 则，又， 所以是等边三角形，故直线与的夹角为． 则绕直线旋转的轨迹为圆锥，如图所示，． 因为直线与所成的角为，，所以直线与的夹角为． 在平面中，作，，使得． 结合图形可知，当与直线平行时，与的夹角最小，为， 易知． 设直线与的夹角为，则，故当时最小， 而 ， 故直线与的夹角的正弦值的最小值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解题中在平面中，作，，使得，结合图形可知，当与直线平行时，与的夹角最小，为是关键. 8. 已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于的不等式即可求解. 【详解】将直线变形为， 则可知直线恒过定点，且， 若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径， 根据圆的性质，当时，弦最短，最小，此时弦长， 在中，当时，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足， 即，解得， 综上，的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 9. 已知正四面体的棱长为4，四面体内部一点（包含边界）到三个侧面，，的距离之比为，则下列说法正确的是（ ） A. 正四面体内切球的半径为 B. 点可以为的重心 C. D. 面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正四面体的性质推导出A选项；用已知条件并结合线面垂直判定和性质判断B、C两项；D选项运用建系建立方程即可得证. 【详解】设为中点，为的中心，则面, 点到侧面，的距离之比为，在面内， 又正四面体的棱长为4，. 对于选项A，设内切圆的半径为，， 正确. 对于选项B，若点可以为的重心，则重合，则点到三个侧面的距离之比为，错误. 对于选项C，为正四面体，为中点，, 为的中心,面,面， 又面且， 面，面，正确. 对于选项D，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图， 设， 则， 设面的法向量为，则， 令，则 设面的法向量为，则， 令,则， 到面的距离； 到面的距离,，，，， 当时，，, 正确. 故选：ACD. 10. 已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（ ） A. 关于轴对称 B. 到点的距离不小于到直线的距离 C. 存在，使得 D. 当取得最小值时，直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用点在曲线上得出，点也在曲线上即可判断；B设，利用距离公式求出距离，再作差即可比较大小；C设，利用导函数求出切线斜率，进而求出直线，，再利用距离公式求出即可求得；D利用基本不等式求最值，得出取最值时即可求斜率. 【详解】A，若点满足方程，则点也满足方程， 则关于轴对称，故A正确； B，设，则， 则到点的距离，到直线的距离， 则， 当时，，即，所以B错误； C，设，则， 因，则， 则曲线在点处切线斜率为， 所以直线为，直线为， 所以，， 可得， ， 则 因，故存在，使得时，故C正确； D，由C选项可知，， 等号成立时，，即， 此时的斜率为，故D正确. 故选：ACD 11. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴；一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的反射集中于它的焦点．已知抛物线为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上的另一点反射后沿直线射出，则（ ） A. B. 是一个钝角三角形 C. 若延长交直线于点，则点在直线上 D. 抛物线在点处的切线分别与直线、所成的角相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题目条件，依次求得，，的坐标，进而求出，，，可判断选项A和B；求出直线方程进而求出的坐标，可判断选项C；通过导数求出切线方程，并根据平面几何知识，三角形的等边对等角及平行线同位角内错角相等，可判断选项D. 【详解】 由抛物线的方程可知，其焦点的坐标为.由题目可知，轴，，故点的纵坐标为. 设点坐标，又因为点在抛物线上，故，解得，故.由题意可知，平行于轴的光线经抛物线反射后会集中于焦点，因此直线经过点. 直线斜率为，因此直线的方程为. 直线与抛物线交于，两点，联立方程，解得， 因此，故A选项错误. 因为，. 所以，所以. 因此是钝角三角形.故选项B正确. 由两点坐标可知，直线的方程为. 设直线与直线相交于， 联立，解得. 又因为光线经抛物线的焦点，故经过点反射后，直线平行于轴. 因此.故点在直线上.故选项C正确. 当时，抛物线的方程可表示为. 求导得，故过作抛物线的切线斜率为.故该切线方程为. 设该切线在点上方有一点，且与轴相交于.易知. 故，，因此，所以， 又因为轴，所以，，故， 即点处的切线分别与直线、所成的角相等.故选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 复数满足，则的最大值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由复数的模的几何意义确定复数对应点的轨迹，问题转化为圆上一点到点的距离最大值，即可得结果. 【详解】设复数. 由复数的模的几何意义可知， 表示复数对应的点到点的距离. 因为，所以，即， 这表示点在以原点为圆心，半径的圆上. 因为，所以由圆的性质可知， 点到点的距离的最大值为， 即的最大值为6. 故答案为：6 13. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，，PA=4.若三棱锥P-ABC的外接球的半径为，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为____________ . 【答案】 【解析】 【详解】如图，设O1为△ABC的外P心，O为三棱锥P-ABC的外接球的球心. 由PA⊥平面ABC，OO1⊥平面ABC，知PA∥OO1. 取PA的中点D，由，知D为PA的中点，且四边形DAO1O为矩形. 又PA=4，所以O1O=AD=2，△ABC的外接圆的半径r=O1A=2. 在△ABC中，由，得. 所以. 因此PC与平面ABC所成角的正切值为. 故答案为：． 14. 过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设为上的任意一点，将点绕原点逆时针旋转到，根据旋转关系，可得点的轨迹为等轴双曲线，从而得到曲线也是等轴双曲线，由双曲线的性质结合几何关系即可求解. 【详解】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到， 则，由于，则， 化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且； 所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示. 因为点分别是和的中点，故， 而，由于， 所以. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案； （2）利用二次函数的单调性可得答案； （3）根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单调性可得答案. 【小问1详解】 由条件，在上恒成立， 当，不符合； 当时，显然也不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 由条件，在上单调递减， 当，符合； 当时，显然不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是 【小问3详解】 由，即. 由条件在上的最大值为6， 当，即时，， 即，解得，符合； 当，即时，， 即，解得，符合. 所以符合条件的的取值为或. 16. 已知函数． （1）若函数的最小正周期为，求的值； （2）若函数在上单调，且其图象在上存在对称轴，求实数的取值范围． 【答案】（1）8； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦型函数的周期公式求解. （2）利用正弦函数的对称性及单调性质列式求出范围. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，得，所以. 【小问2详解】 当时，， 由函数的图象在上存在对称轴，得，解得， 当时，， 由函数在上单调，得， ，整理得， 由，解得，则， 当时，；当时，；当时，， 又，所以实数的取值范围是. 17. 设的内角的对边分别为，已知. （1）若. （i）求； （ii）求； （2）求的最大值. 【答案】（1）（i）3；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由和差角公式化简等式，代入即可求得； （ii）由同角三角函数的关系求得，由和差角公式求得，然后由正弦定理求得边； （2）由正切的和差角公式和（i）中的关系化简，然后由基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 （i），展开化简得： 所以； （ii）由，而为三角形内角，故， 所以， 由正弦定理，得. 【小问2详解】 由（1）可得，故均为锐角， 所以， 当且仅当时，取到最大值. 18. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分分）整理后绘制成的频率分布直方图． （1）估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线； （2）从参加预赛的名学生中随机抽取人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为，求； （3）为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的名学生中推荐名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为．在入围复赛的名学生中随机抽取名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率． 【答案】（1）平均分为，入围分数线估计为分 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形面积，将所得结果全部相加，可得出平均分，计算出第百分位数，可得出入围分数线； （2）由题意可知，利用二项分布期望公式可求得的值； （3）设“在复赛中获奖”，“由推荐入围复赛的学生”，“由预赛入围复赛的学生”，利用全概率公式可求得的值. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知平均分为：， 因为，前三个矩形面积之和为， 故第百分位数为，即入围分数线估计为分． 【小问2详解】 由题意知，所以. 【小问3详解】 设“在复赛中获奖”，“由推荐入围复赛的学生”，“由预赛入围复赛的学生”， 则，，，， 所以， 因此抽取的学生在复赛中获奖的概率为． 19. 已知多面体的底面是正方形，底面，，. （1）证明：平面平面； （2）设. （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）若二面角的大小为，求的值. 【答案】（1） 底面为正方形，得. 因为底面，面，得. 又，平面，平面，得平面， 由平面，所以平面平面； （2）（i）；（ii）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意证明平面即可求解； （2）（i）以为坐标原点建立空间直角坐标系，再由线面夹角的向量求解方式求解即可； （ii）由二面角的向量求法，求得，再由二面角为代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由得，，，，， （i）当时，，，，， 设平面的法向量为， 由得 不妨取，则，从而平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. （ii）由，得，， 由（1）知，. 设平面的法向量为， 由得，不妨取， 则，， 所以平面的一个法向量为. 则， 又因为二面角的大小为135°，所以， 化简得， 得或. （2025黑龙江大庆市实验中学·临考冲刺） 20. 双曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线．定点为双曲线焦点，定直线为双曲线准线，比值为双曲线离心率．已知动点满足到定点的距离与到定直线的距离的比是2，点坐标为． （1）求点的轨迹方程及的最小值； （2）直线与轨迹的右支交于两点，． （i）若直线过点且与两渐近线分别交于点，，求的取值范围； （ii）若，两点关于直线对称，并且过点．求的取值范围． 【答案】（1），5 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列方程化简即可求解点的轨迹方程，根据双曲线的第二定得，然后利用三点共线求得最小距离； （2）（i）设直线方程，与双曲线方程联立韦达定理，利用弦长公式求出，分别求出点，的坐标，进而求出的表达式，然后利用二次函数性质求解范围即可； （ii）设直线方程，与双曲线方程联立韦达定理，利用弦长公式求出，分别求出点，的坐标，进而求出，，从而，根据正切函数单调性得，再由求解范围即可. 【小问1详解】 设，由题意，所以， 平方化简得，即点的轨迹方程为． 由双曲线的第二定义可知， 又的最小值为到准线的水平距离， 所以的最小值为． 【小问2详解】 （i）如图： 双曲线的渐近线为，显然直线过焦点的直线斜率不为0， 故可设其方程为：． 由， 整理得：． 设，则， 所以． 于是． 又由，即； 同理：， 所以． 所以， 因为直线与轨迹的右支交于两点，，所以， 所以，所以． （ii）设，， 联立，则， 所以，即， 且，， 则， 则的中点为，即， 因为线段的中垂线过点， 则，整理得． 则，，， 由，，则，， 则，解得， 又 ， 则， 又，则，即， 又，则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $