第四章 相似三角形单元专题：圆中相似2025-2026学年浙教版九年级数学上册

2025年浙教版九年级第一学期第四单元专题：圆中相似 1.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，AE是⊙O的直径．若AB＝6，AC＝8，AE＝11，求AD的长． 【解答】解：连接CE，则∠E＝∠B， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， 又∵AD⊥BC， ∴∠ACE＝∠ADB＝90°， ∴△ACE∽△ADB， ∴， 即， 解得AD． 2.如图1，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E， （1）求证：BD＝ED； （2）如图2，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．若AB＝DE＝5，DF＝8，求⊙O半径的长． 【解答】（1）证明：∵点D为的中点， ∴， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵， ∴∠CAD＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠BAD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠DEB＝∠BAD+∠ABE，∠DBE＝∠CBD+∠CBE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE； （2）解：，连接AO，BO，OD，设OB，AD交于点G， ∵， ∴∠ACB＝∠ADB， ∵DF∥BC， ∴∠ACB＝∠F， ∴∠F＝∠ADB， ∵点D为的中点， ∴， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴△ABD∽△ADF， ∴， ∵AB＝DE＝5，DF＝8， ∴， ∴AD＝8， ∵BD＝DE＝5， ∴AB＝BD＝5， 在△OAB和△ODB中， ， ∴△OAB≌△ODB（SSS）， ∴∠ABG＝∠DBG， ∵AB＝BD， ∴△ABD是等腰三角形， ∴BG⊥AD，， ∴∠AGB＝90° ∴， 设OB＝OA＝x，则OG＝x﹣3， 在Rt△AOG中，OA2＝AG2+OG2， ∴x2＝（x﹣3）2+42， 解得：， ∴⊙O半径的长为． 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，连接BD． （1）求证：∠CBD＝∠BDC； （2）延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE．求证：． 【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴， ∴∠CBD＝∠CDB． （2）∵， ∴DC＝BC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵点E在AB的延长线上， ∴∠EBC+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠EBC， 在△ADC和△EBC中， ， ∴△ADC≌△EBC（SAS）， ∴AD＝EB，∠DAC＝∠E， ∴AE＝AB+EB＝AB+AD， ∵∠DAC＝∠BDC， ∴∠E＝∠BDC， ∵∠EAC＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC， ∴∠EAC＝∠DBC， ∴△EAC∽△DBC， ∴， ∴， ∴． 4.如图，点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，以BD为直径的圆⊙O交边AC于E，F两点，连结DE，BE，BF，并且BE平分∠DBF． （1）求证：△BCF∽△BED； （2）若DE＝2.5，CF＝2，求BC的长； （3）若BD＝2AD，BF＝8，求CF的长． 【解答】（1）解：∵四边形BDEF内接于圆， ∴∠EDF+∠EFB＝180°， ∴∠EDB＝∠CFB， ∵BD是直径， ∴∠BED＝90°， ∵∠C＝90°， ∴△BCF∽△BED； （2）解：BE平分∠DBF， ∴∠DBE＝∠FBE， ∴EF＝DE＝2.5， ∵△BCF∽△BED， ∴， 设BC＝4x，则BE＝5x，CE＝CF+EF＝2+2.5＝4.5， 根据勾股定理BC2+CE2＝BE2，得（4x）2+4.52＝（5x）2， 解得：x＝1.5（舍负）， ∴BC＝4x＝4×1.5＝6； （3）解：如图，连结OE， ∵BE平分∠DBF，OB＝OE， ∴∠FBE＝∠OEB， ∴OE∥BF， 又∵BD＝2AD， ∴， 设DE＝EF＝x，圆O的半径为r，则AE＝2x， ∵四边形BDEF内接于圆O， ∴∠AED＝∠ABF， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△AFB， ∴， 即， 解得：， ∵△BCF∽△BED， ∴， ∴． 5.如图1，已知等腰三角形ABC的外接圆圆心为点O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD交BC于点E，AE＝3，DE＝6； （1）求AB的长； （2）连OC，求证：四边形ABOC为菱形． 【解答】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠D＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠D． ∵∠BAE＝∠DAB， ∴△ABE∽△ADB， ∴ ∵AD＝AE+DE＝9， ∴， ∴AB2＝27． ∵AB＞0， ∴； （2）证明：连接OA， 由题意可得：∠BAD＝90°， ∵， ∴∠ABE＝30°． 由题意可得：， ∴OA⊥BC， ∴∠BAO＝90°﹣∠ABE＝60°， ∵OB＝OA， ∴OB＝OA＝AB， ∵OB＝OC， ∴OB＝AB＝AC＝OC， ∴四边形ABOC为菱形； 6.如图，AB，DF为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CD交AB于点E，连接AC交DF于点G，连接CF，B为的中点． （1）求证：AB∥CF； （2）若⊙O的半径为5，BE＝1，求OG的长． 【解答】（1）证明：∵AB是直径，B是的中点， ∴AB⊥CD， ∴∠AED＝90°， ∵DF是直径， ∴∠DCF＝90°， ∴∠AED＝∠DCF， ∴AB∥CF； （2）解：∵OD＝OB＝5，BE＝1， ∴OE＝OB﹣BE＝4， ∵∠OED＝90°， ∴DE＝EC3， ∴CD＝6， ∵DF＝10，∠DCF＝90°， ∴CF8， ∵OA∥CF， ∴△AOG∽△CFG， ∴， ∴， ∴OG． 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE并延长交BA延长线于点F． （1）求证：AF＝BC； （2）若BC＝2，求EF的长． 【解答】（1）证明：由题意可得：∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴， ∴AD＝CD， ∠BDF＝90°＝∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDB， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠FAD＝180°﹣∠BAD＝∠BCD， ∴△DAF≌△DCB（ASA）， ∴AF＝BC； （2）解：连接AE，由（1）知AF＝BC＝2，∠ADF＝∠CDB， ∴， ∴∠EAF＝90°， ∴． 8.如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C作CE⊥AB交于点E，交⊙O于点F，连接BD交CF于点G． （1）连接AC，BC，求证CE2＝AE•BE； （2）若BD＝10，BE＝4，求⊙O的半径； （3）连接CD，AD，BF，若，求GD的长． 【解答】（1）证明：根据题意，AB为⊙O的直径，CE⊥AB，连接AC， ∴∠ACB＝90°，∠AEC＝∠BEC＝90°， ∴∠EAC＝90°﹣∠ACE＝∠ECB， ∴△BEC∽△CEA， ∴， ∴CE2＝AE•BE． （2）解：由题意可得：CE⊥AB， ∴， ∴， ∴， ∴BD＝CF， ∴BD＝CF＝10，， 连接OC，设OC＝OB＝x， ∴OE＝OB﹣BE＝x﹣4， ∴x2＝（x﹣4）2+25， ， 故圆的半径为． （3）由题意可得： ， ∴， ∴， ∴BD＝CF， 根据题意，， ∴∠GCB＝∠GBC， ∴GB＝GC， ∴BD﹣GB＝CF﹣GC， ∴． 9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，△ACD的外接圆O交AB于点E，，过点C作CG垂直AD于点G，延长CG交AB于点F． （1）求证：∠FAC＝∠ACG； （2）来证：． 【解答】（1）证明：连接CE，如图， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FAC＝90°﹣∠B． ∵CG⊥AD， ∴∠ACG＝90°﹣∠DAC． ∵， ∴∠EAC＝∠CEA， ∴∠EAD+∠DAC＝∠B+∠ECB． ∵∠ECB＝∠EAD， ∴∠DAC＝∠B， ∴∠FAC＝∠ACG； （2）证明：∵CG⊥AD， ∴∠AGC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠AGC＝∠ACB． ∵∠DAC＝∠B， ∴△AGC∽△BCA， ∴． 10.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，，点D在上，过点C作AD的垂线，分别交⊙O，AB，AD于点E，F，G，连接AE，CD． （1）求∠DAE的度数． （2）求证：①CD∥AE； ②． 【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠E＝45°， ∵AD⊥CE， ∴∠AGE＝90°， ∴∠DAE＝45°； （2）证明：①∵AB是⊙O的直径，， ∴∠D＝45°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠D＝∠DAE， ∵CD∥AE； ②如图，连接AC，CO， ∵AB是⊙O的直径，， ∴∠AOC＝90°，∠CAB＝45°， ∴∠CAB＝∠DAE＝45°， ∴∠CAB﹣∠DAB＝∠DAE﹣∠DAB， 即∠CAD＝∠BAE， ∵∠D＝∠E， ∴△ACD∽△AFE， ∵CO＝AO，∠AOC＝90°， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴， ∵∠DCE＝∠DAE＝45°，∠D＝∠E＝45°，∠CGD＝90°， ∴CG＝GD， ∴△CGD是等腰直角三角形， ∴CD， ∵△ACD∽△AFE， ∴， ∴， ∴． 11.如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接AD，BE相交于点F． （1）求证：△BCE∽△AFE； （2）若CE＝6，CD＝5，求BF的长． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°， ∴∠AEB＝∠BEC＝90°， ∵∠EFA＝∠BFD， ∴∠EAF＝∠EBC， ∴△BCE∽△AFE； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC， ∴， 在Rt△BEC中，CE＝6，BC＝2CD＝10， ∴， ∵∠ADB＝∠BEC＝90°，∠FBD＝∠CBE， ∴△BFD∽△BCE， ∴， ∴， ∴． 12.如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，分别与AC、BC相交于点D、E，连接AE、BD交于点F，且DE平分∠BDC． （1）求证：AE＝BE； （2）若AB＝6，BE＝8，当DE＝EF时，求的值． 【解答】（1）证明：∵∠ABE+∠ADE＝180°，∠ADE+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠ABE， ∵DE平分∠BDC， ∴∠CDE＝∠BDE， ∵∠BDE＝∠BAE， ∴∠CDE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠ABE， ∴AE＝BE； （2）解：∵BE＝8， ∴AE＝8， ∵DE＝EF， ∴∠EDF＝∠EFD， ∵∠AFB＝∠EFD，∠DEF＝∠BAF， ∴∠BAF＝∠AFB， ∵∠BAF＝∠ABE， ∴∠AFB＝∠ABE， ∵∠BAF＝∠EAB， ∴△ABF∽△AEB， ∴AF：AB＝AB：AE， 即AF：6＝6：8， 解得AF， ∴EF＝AE﹣AF＝8， ∵∠CDE＝∠CBA，∠DCE＝∠BCA， ∴△CDE∽△CBA， ∴． 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB与DC的延长线交于点E，BC与AD的延长线交于点F． （1）求证：∠ADB＝∠AEF； （2）若AC⊥BD，AB＝6，BF＝8，求AC的长． 【解答】（1）证明：如图1所示，连接BD，连接EF， 由AC为直径，可得∠ADC＝∠ABC＝90°， 从而∠FDE＝∠FBE＝90°，取EF中点M，连接MD、MB， 则由斜边中线定理可得DM＝FM＝ME＝BM， 故D、F、E、B四点共圆， 由圆内接四边形性质可得∠AEF+∠BDF＝180°， 又∵∠BDF+∠ADB＝180°， ∴∠ADB＝∠AEF； （2）∵∠ABF＝90°，AB＝6，BF＝8， ∴由勾股定理可得AF＝10， ∵AC⊥BD， 则由垂径定理可知BC＝DC，AD＝AB＝6， 设BC＝DC＝x，则FC＝8﹣x，DF＝10﹣6＝4， 在Rt△DCF中，可得勾股方程：42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， 故AC． 14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F． （1）求弦EF的长； （2）设CD交⊙O于点G，试说明G是CD的中点． 【解答】解：（1）过点O作OH⊥EF于H， 由勾股定理得，AC4， ∵DE⊥AD，∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠ADE， ∵∠C＝∠C， ∴△ACB∽△ADE， ∴，即， 解得，DE＝6， ∴AE10， ∵∠EHO＝∠EDA，∠OEH＝∠AED， ∴△EHO∽△EDA， ∴，即， 解得，EH， ∵OH⊥EF， ∴EF＝2EH； （2）连接EG， ∵AE＝10，AC＝4， ∴EC＝6， ∴EC＝ED， ∵DE是⊙O的直径， ∴EG⊥CD， ∴G是CD的中点． 15.如图，C是⊙O上一点，在直径AB上取点E，使CE＝CA，延长CE交⊙O于点D，连接AD、BD，作DN⊥AB，垂足为N． （1）求证：DC平分∠ADN； （2）若⊙O的直径是7，EC•ED＝10，求EN的长． 【解答】（1）证明：连接BC，如图， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴CAB+∠CBA＝90°， ∵DN⊥AB， ∴∠DNA＝90°， ∴∠DEN+∠EDN＝90°， ∵CA＝CE， ∴∠CAB＝∠CEA， ∵∠CDA＝∠CBA，∠CEA＝∠DEN， ∵∠CDA＝∠EDN， ∴DC平分∠ADN； （2）解：∵∠CDA＝∠EDN，∠CDA＝∠CBA， ∴∠EDN＝∠CBA， ∵∠ACB＝∠END＝90°， ∴△EDN∽△ACB， ∴， 即DE•AC＝EN•AB， ∵CE＝CA，EC•ED＝10， ∴7EN＝10， 解得EN． 16.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以边AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E为弧BD的中点，直线AE，BE分别交BC，AC于点F，G． （1）求证：△BEF∽△AEG； （2）若AD＝4，，求DG的长． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∵∠CBG+∠ABE＝∠ABC＝90°， ∴∠BAE＝∠CBG， ∵， ∴∠BAE＝∠GAE， ∴∠GAE＝∠CBG， ∵∠BEF＝∠AEG， ∴△BEF∽△AEG； （2）解：如图，连接BD，FG， 由（1）得：∠BEA＝∠AEG＝90°，∠BAE＝∠GAE， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△AGE（ASA）， ∴AB＝AG， ∵AF＝AF，∠BAE＝∠GAE， ∴△ABF≌△AGF（SAS）， ∴∠AGF＝∠ABF＝90°，BF＝FG， ∵， ∴， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠C＝∠ABD， ∴， ∵AD＝4， ∴AB＝5， ∴DG＝AG﹣AD＝1． 17.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC． （1）求证：AD2＝AG•AF； （2）已知CD＝16，BE＝4，若点G是AF的中点，求CF的长． 【解答】（1）证明：如图所示，连接AC， ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴DE＝CE，∠AED＝∠AEC＝90°，且AE＝AE， ∴△AED≌△AEC（SAS）， ∴AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∵， ∴∠ACD＝∠AGD， ∴∠ADC＝∠AGD，且∠DAG＝∠FAD， ∴△ADG∽△AFD， ∴， ∴AD2＝AG•AF； （2）解：如图所示，连接OC，设⊙O的半径为r， ∴OC＝OB＝r，则OE＝OB﹣BE＝r﹣4， ∵CD＝16，AB⊥CD， ∴，∠CEO＝90°， ∴OC2＝OE2+CE2，即r2＝（r﹣4）2+82， 解得，r＝10， ∴OA＝OB＝OC＝10，OE＝OB﹣BE＝10﹣4＝6， ∴AE＝OA+OE＝10+6＝16， 在Rt△ADE中，DE＝8，AE＝16， ∴， ∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°， ∴∠FCG＝∠FAD，且∠F＝∠F， ∴△FCG∽△FAD， ∴，且GF＝AF﹣AG，DF＝DC+CF＝16+CF， ∴， 由（1）可知，且点G是AF的中点， ∴AG＝GF，AF＝2AG， ∴2AG•AG＝320， ∴（负值舍去）， ∴，则， ∴，整理得，CF2+16CF﹣320＝0， 解得（负值舍去）， ∴CF的长为． 18.如图，弦AB，CD交于点E，且点D是的中点，连接BD． （1）求证：DB2＝DE•DC； （2）如图2，若BC是⊙O的直径，且CD＝16，BE＝15，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵点D是的中点， ∴∠C＝∠DBE， ∴△DBC∽△DEB， ∴， ∴DB2＝DE•DC； （2）解：设DE＝x， ∴DB2＝BE2﹣DE2＝DE•DC， ∴152﹣x2＝16x， 解得x＝9， ∴BD＝12， ∴BC＝20， ∴r＝10， 连接OD交AB于点H， ∴DH， ∴OH＝r﹣DH， ∴， ∴． 19.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过圆心O作OD⊥AC，交AC于点D，交⊙O于点E，射线AE交BC的延长线于点F． （1）求证：∠ACB＝2∠CAF； （2）若OA＝5，AB＝6，求EF的长； （3）若直线OD与直线BC交于点G，且BG＝CF，求∠ABC的度数． 【解答】（1）证明：∵OD⊥AC， 根据垂径定理得：，AD＝CDAC， ∴∠B＝2∠CAF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠ACB＝2∠CAF； （2）解：连接OB，设OA交BC于点H，如图1所示： ∵AB＝AC， ∴， 根据垂径定理得：OA⊥BC， ∴BH＝CH， 设OH＝a， ∵OA＝5，AB＝6， ∴AH＝OA﹣OH＝5﹣a，OB＝OA＝OE＝5，AB＝AC＝6， 在Rt△ABH和△OBH中，由勾股定理得：BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2， ∴62﹣（5﹣a）2＝52﹣a2， 解得：， ∴AH＝5﹣a， ∴BH， ∴CH＝BH， ∵∠ACB＝∠F+∠CAF，∠ACB＝2∠CAF， ∴2∠CAF＝∠F+∠CAF， ∴∠CAF＝∠F， ∴CF＝AC＝6， ∴FH＝CH+CF， 在Rt△AFH中，由勾股定理得：AF， 在Rt△OAD中，AD＝CDAC＝3，OA＝5， 由勾股定理得：OD4， ∴DE＝OE﹣OD＝5﹣4＝1， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE， ∴EF＝AF﹣AE； （3）解：依题意有以下两种情况： ①当点G在线段BC上时，连接AG，如图2所示： 设∠ABC＝α， ∴∠ACB＝∠ABC＝α， ∵OD⊥AC，AD＝CD， ∴OD是线段AB的垂直平分线， ∴AG＝CG， ∴∠GAC＝∠ACB＝α， ∴∠BGA＝∠GAC+∠ACB＝2α， 由（2）可知：CF＝AC， ∵BG＝CF，AB＝AC， ∴BG＝AB， ∴∠BAG＝∠BGA＝2α， 在△BAG中，∠BAG+∠BGA+∠ABC＝180°， ∴2α+2α+α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠ABC＝36°； ②当点G在CB的延长线上时，连接AG，如图3所示： 设∠BGA＝β， ∵BG＝AB＝AC＝CF， ∴∠BAG＝∠BGA＝β， ∴∠ABC＝∠BAG+∠BGA＝2β， ∴∠ACB＝∠ABC＝2β， ∵OD是线段AC的垂直平分线， ∴GA＝GC， ∴∠GAC＝∠ACB＝2β， 在△GAC中，∠GAC+∠ACB+∠BGA＝180°， ∴2β+2β+β＝180°， 解得：β＝36° ∴∠ABC＝2β＝72°， 综上所述：∠ABC的度数为36°或72°． 20.如图，⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OF＝3，P是上一点，连结CP，交AB于点E，连结AD，交CP于点G． （1）写出图中一对相等的角：　∠PAD＝∠PCD或∠APC＝∠ADC ； （2）若CP⊥AD，求证：； （3）在（2）的条件下，求线段EG的长． 【解答】（1）解：∠PAD＝∠PCD或∠APC＝∠ADC； 故答案为：∠PAD＝∠PCD或∠APC＝∠ADC； （2）证明：∵CD⊥AB，CP⊥AD， ∴∠CFE＝∠AGE＝90°， ∵∠CEF＝∠AEG， ∴∠PCD＝∠BAD． ∴； （3）解：连接OC，如图， ∵⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F， ∴CF＝DF，CF4， ∴DF＝4，CD＝2CF＝8， ∴AF＝OA+OF＝5+3＝8， ∴AD4， 由（1）知：∠PCD＝∠BAD， ∵∠CFE＝∠AFD＝90°， ∴△CEF∽△ADF， ∴， ∴， ∴CE＝2，EF＝2． ∵∠CFE＝∠CGD＝90°，∠ECF＝∠DCG， ∴△CEF∽△CDG， ∴， ∴， ∴EG． 21.如图，AC是圆内接四边形ABCD的对角线，M是CB延长线上一点，连接AM，∠D＝∠BCA+90°． （1）求证：BC是圆的直径； （2）若∠CAM＝∠D，CM＝8，AM＝4，求此圆的半径． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠D+∠CBA＝180°， ∵∠MBA+∠CBA＝180°， ∴∠D＝∠MBA， ∵∠D＝∠BCA+90°， ∠MBA＝∠BCA+90°， ∵∠MBA＝∠BCA+∠BAC， ∴∠BAC＝90°， ∴BC是圆的直径； （2）解：由（1）知∠D＝∠MBA， ∵∠CAM＝∠D， ∴∠MBA＝∠CAM，即∠MBA＝∠MAC， ∵∠BMA＝∠AMC， ∴△MBA∽△MAC， ∴， ∴MA2＝MC•MB，即42＝8MB， ∴MB＝2， ∴BC＝MC﹣MB＝8﹣2＝6， ∴此圆的半径为3． 22.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4． （1）求AB的长； （2）若要使AC∥BD，需要添加一个条件．请从“条件1：”，“条件2：BD是⊙O的直径”，“条件3：∠ACB＝45°”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 【解答】解（1）∵AE＝2，ED＝4， ∴AD＝6， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠BDA， ∴∠BDA＝∠ABE， ∴△ABE∽△ADB， ∴， ∴AB2＝AD•AE＝6×2＝12， ∴AB＝2； （2）选择条件1：”使AC∥BD，理由如下： ∵， ∴AC＝CD， ∵AB＝AC， ∴AB＝CD， ∴∠BDA＝∠CAD， ∴AC∥BD． 23.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为上一点，连结AD交BC于点E，已知AB＝10，AC＝CD＝6． （1）求证：∠CAD＝∠CBA； （2）求BE的长． 【解答】（1）证明：∵AC＝CD， ∴， ∴∠CAD＝∠CBA． （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝10，AC＝6， ∴BC8， ∵∠CAE＝∠CBA，∠ECA＝∠ACB， ∴△CAE∽△CBA， ∴， ∴EC， ∴BE＝BC﹣EC＝8， ∴BE的长是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025年浙教版九年级第一学期第四单元专题：圆中相似 1.如图，△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于D,AE是⊙O的直径.若AB=6,AC=8,AE=11, 求AD的长. A B 2.如图1，△ABC内接于⊙O,点D为BC的中点，连接AD、BD,BE平分∠ABC交AD于 点E, (1)求证：BD=ED; (2)如图2，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F.若AB=DE=5,DF=8,求⊙ O半径的长. A 。O B D D 图1 图2 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,连接BD. (I)求证：∠CBD=∠BDC; AC (2)延长AB至点E,使BE=AD,连接CE.求证：4知= BC A 0 C 4.如图，点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，以BD为直径的圆⊙O交边AC于E,F两点， 连结DE,BE,BF,并且BE平分∠DBF. E E A 心 D B 备用图 (1)求证：△BCF∽△BED: (2)若DE=2.5,CF=2,求BC的长： (3)若BD=2AD,BF=8,求CF的长 5.如图1，己知等腰三角形ABC的外接圆圆心为点O,AB=AC,BD为⊙O的直径，AD交 BC于点E,AE=3,DE=6: (1)求AB的长： (2)连OC,求证：四边形ABOC为菱形. A B C D 6.如图，AB,DF为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CD交AB于点E,连接AC交DF 于点G,连接CF,B为CD的中点. (1)求证：AB∥CF; (2)若⊙O的半径为5，BE=1,求OG的长. ⊙ G 3 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC,连接BO并 延长交⊙O于点E,连接DE并延长交BA延长线于点F, (1)求证：AF=BC: (2)若BC=2,求EF的长. E A 8.如图，AB为⊙O的直径，点C是D的中点，过点C作CE⊥AB交于点E,交⊙O于点F, 连接BD交CF于点G. (1)连接AC,BC,求证CE2=AEBE; (2)若BD=10,BE=4,求⊙O的半径： (3)连接CD,AD,BF,若GF=3V2,求GD的长. D A B 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，△ACD的外接圆O交AB于点E, AC=B,过点C作CG垂直AD于点G,延长CG交AB于点F. (1)求证：∠FAC=∠ACG; (2)来证：器=能 A G D 10如图，点C在以AB为直径的⊙0上，AC=C,点D在BC上，过点C作AD的垂线， 分别交⊙O,AB,AD于点E,F,G,连接AE,CD (1)求∠DAE的度数. (2)求证：①CD∥AE; @器=架. C G D B E 5 11.如图，己知△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,连接 AD,BE相交于点F. (1)求证：△BCE∽△AFE; (2)若CE=6,CD=5,求BF的长. A E F B D 12.如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B,分别与AC、BC相交于点D、E,连接AE、BD交 于点F,且DE平分∠BDC. (1)求证：AE=BE; (2)若AB=6,BE=8,当DE=EF时，求器的值， A D 0 B E 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径，AB与DC的延长线交于点E,BC 与AD的延长线交于点F. (I)求证：∠ADB=∠AEF; (2)若AC⊥BD,AB=6,BF=8,求AC的长. D 0 B 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,点D在AB的延长线上，且BD=3, 过点D作DE⊥AD,交AC的延长线于点E,以DE为直径的⊙O交AE于点F. (1)求弦EF的长； (2)设CD交⊙O于点G,试说明G是CD的中点. F G ⊙ D 7 15.如图，C是⊙O上一点，在直径AB上取点E,使CE=CA,延长CE交⊙O于点D,连 接AD、BD,作DN⊥AB,垂足为N (I)求证：DC平分∠ADN; (2)若⊙O的直径是7，EC·ED=10,求EN的长. c A B 16.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以边AB为直径的⊙O与AC交于点D,点E为弧 BD的中点，直线AE,BE分别交BC,AC于点F,G. (1)求证：△BEF∽△AEG; (2)若AD=4.照=青， BE 求DG的长. B 0 E F C DG 17.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,G是弧AC上一点，AG,DC的延长线交 于点F,连接AD,GD,GC (1)求证：AD2=AGAF; (2)己知CD=16,BE=4,若点G是AF的中点，求CF的长. A E B I8如图，弦AB,CD交于点E,且点D是AB的中点，连接BD, (1)求证：DB2=DEDC (2)如图2，若BC是⊙O的直径，且CD=16,BE=15,求AB的长. D D E B E y 小 0 0 C (1) (2) 9 19.如图，己知△ABC内接于⊙O,AB=AC,过圆心O作OD⊥AC,交AC于点D,交⊙O 于点E,射线AE交BC的延长线于点F. (1)求证：∠ACB=2∠CAF; (2)若OA=5,AB=6,求EF的长； (3)若直线OD与直线BC交于点G,且BG=CF,求∠ABC的度数. D (备用图) 20.如图，⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F,OF=3,P是AD上一点， 连结CP,交AB于点E,连结AD,交CP于点G. (1)写出图中一对相等的角： (2)若CP⊥AD,求证：BD=D; (3)在(2)的条件下，求线段EG的长. G E F D B 21.如图，AC是圆内接四边形ABCD的对角线，M是CB延长线上一点，连接AM,∠D= 10