第四相似三角形单元专题复习：圆中相似的问题2025-2026学年浙教版九年级数学上册

2025年浙教版九年级数学第四单元专题复习：圆中相似的问题 1.在△ABC中，已知AD平分∠BAC，且AD＝CD，E是AC边上一点且满足∠ADB＝∠EDC，圆O过C，D，E三点． （1）如图1，若CD为圆O的直径，求∠C的度数． （2）如图2，若圆O与AD相交于点F，连接CF，求证：①CE＝CF；②CF2＝BD•BC． 【解答】（1）解：如图1， ∵CD为圆O的直径， ∴∠DEC＝90°， ∵AD＝CD，DE⊥AC，DB⊥AB， ∴∠EDA＝∠EDC， ∵∠ADB＝∠EDC， ∴∠ADB＝∠EDC＝∠EDA， ∵∠ADB+∠EDC+∠EDA＝180°， ∴∠ADB＝∠EDC＝∠EDA＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝30°； （2）证明：①如图2，连接EF， ∵点D、C、E、F都在圆O上， ∴四边形DCEF是圆内接四边形， ∴∠ECD＝∠AFE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠CAD， ∴∠DAC＝∠CAD＝∠AFE， ∴∠ADB＝∠DAC+∠ACD＝2∠DAC，∠FEC＝∠EAF+∠AFE＝2∠EAF＝2∠CAD， ∴∠ADB＝∠FEC， ∵∠ADB＝∠EDC， ∴∠EDC＝∠FEC＝∠EFC， ∴CE＝CF； ②由①可得：∠BAD＝∠ECD， ∵∠ADB＝∠EDC，AD＝CD， ∴△ABD≌△CED（ASA）， ∴AB＝CE， ∵CE＝CF， ∴AB＝CF， ∵∠BAD＝∠BCA，∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴BD•BC＝AB2， ∴CF2＝BD•BC． 2.已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P． （1）求证：△APD∽△CPB； （2）若AP＝4，PC＝1，求：． 【解答】（1）证明：∵∠A、∠C对弧BD， ∴∠A＝∠C， ∵∠APD＝∠CPB， ∴△APD∽△CPB； （2）解：由上得△APD∽△CPB，AP＝4，PC＝1， ∴（相似三角形的对应边成比例）． 3.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AB＝12，点D在⊙O上，连接BD，CD，作BM⊥CD于点M，AN⊥CD于点N． （1）求证：△ABC∽△DBM； （2）若BM＝4AN＝8，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵BM⊥CD， ∴∠BMD＝∠ACB＝90°． ∵∠BAC＝∠D， ∴△ABC∽△DBM； （2）解：延长BM交⊙O于点E，连接AE，过点O作OF⊥AE于点F，交CD于点G，连接OC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°． ∵∠ANM＝∠EMN＝90°， ∴四边形ANME是矩形， ∴AN＝EM＝2，AE∥NM， ∴BE＝BM+EM＝10． ∵OF⊥AE， ∴AF＝EF，OF⊥CD， ∴CD＝2CG，四边形EFGM是矩形， ∴FG＝EM＝2． ∵OA＝OB， ∴， ∴OG＝OF﹣FG＝3， ∴， ∴． 4.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，AE是⊙O的直径．若AB＝6，AC＝8，AE＝11，求AD的长． 【解答】解：连接CE，则∠E＝∠B， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， 又∵AD⊥BC， ∴∠ACE＝∠ADB＝90°， ∴△ACE∽△ADB， ∴， 即， 解得AD． 5.如图1，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E， （1）求证：BD＝ED； （2）如图2，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．若AB＝DE＝5，DF＝8，求⊙O半径的长． 【解答】（1）证明：∵点D为的中点， ∴， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵， ∴∠CAD＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠BAD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠DEB＝∠BAD+∠ABE，∠DBE＝∠CBD+∠CBE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE； （2）解：，连接AO，BO，OD，设OB，AD交于点G， ∵， ∴∠ACB＝∠ADB， ∵DF∥BC， ∴∠ACB＝∠F， ∴∠F＝∠ADB， ∵点D为的中点， ∴， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴△ABD∽△ADF， ∴， ∵AB＝DE＝5，DF＝8， ∴， ∴AD＝8， ∵BD＝DE＝5， ∴AB＝BD＝5， 在△OAB和△ODB中， ， ∴△OAB≌△ODB（SSS）， ∴∠ABG＝∠DBG， ∵AB＝BD， ∴△ABD是等腰三角形， ∴BG⊥AD，， ∴∠AGB＝90° ∴， 设OB＝OA＝x，则OG＝x﹣3， 在Rt△AOG中，OA2＝AG2+OG2， ∴x2＝（x﹣3）2+42， 解得：， ∴⊙O半径的长为． 6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，连接BD． （1）求证：∠CBD＝∠BDC； （2）延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE．求证：． 【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴， ∴∠CBD＝∠CDB． （2）∵， ∴DC＝BC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵点E在AB的延长线上， ∴∠EBC+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠EBC， 在△ADC和△EBC中， ， ∴△ADC≌△EBC（SAS）， ∴AD＝EB，∠DAC＝∠E， ∴AE＝AB+EB＝AB+AD， ∵∠DAC＝∠BDC， ∴∠E＝∠BDC， ∵∠EAC＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC， ∴∠EAC＝∠DBC， ∴△EAC∽△DBC， ∴， ∴， ∴． 7.如图，点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，以BD为直径的圆⊙O交边AC于E，F两点，连结DE，BE，BF，并且BE平分∠DBF． （1）求证：△BCF∽△BED； （2）若DE＝2.5，CF＝2，求BC的长； （3）若BD＝2AD，BF＝8，求CF的长． 【解答】（1）解：∵四边形BDEF内接于圆， ∴∠EDF+∠EFB＝180°， ∴∠EDB＝∠CFB， ∵BD是直径， ∴∠BED＝90°， ∵∠C＝90°， ∴△BCF∽△BED； （2）解：BE平分∠DBF， ∴∠DBE＝∠FBE， ∴EF＝DE＝2.5， ∵△BCF∽△BED， ∴， 设BC＝4x，则BE＝5x，CE＝CF+EF＝2+2.5＝4.5， 根据勾股定理BC2+CE2＝BE2，得（4x）2+4.52＝（5x）2， 解得：x＝1.5（舍负）， ∴BC＝4x＝4×1.5＝6； （3）解：如图，连结OE， ∵BE平分∠DBF，OB＝OE， ∴∠FBE＝∠OEB， ∴OE∥BF， 又∵BD＝2AD， ∴， 设DE＝EF＝x，圆O的半径为r，则AE＝2x， ∵四边形BDEF内接于圆O， ∴∠AED＝∠ABF， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△AFB， ∴， 即， 解得：， ∵△BCF∽△BED， ∴， ∴． 8.如图1，已知等腰三角形ABC的外接圆圆心为点O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD交BC于点E，AE＝3，DE＝6； （1）求AB的长； （2）连OC，求证：四边形ABOC为菱形． 【解答】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠D＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠D． ∵∠BAE＝∠DAB， ∴△ABE∽△ADB， ∴ ∵AD＝AE+DE＝9， ∴， ∴AB2＝27． ∵AB＞0， ∴； （2）证明：连接OA， 由题意可得：∠BAD＝90°， ∵， ∴∠ABE＝30°． 由题意可得：， ∴OA⊥BC， ∴∠BAO＝90°﹣∠ABE＝60°， ∵OB＝OA， ∴OB＝OA＝AB， ∵OB＝OC， ∴OB＝AB＝AC＝OC， ∴四边形ABOC为菱形； 9.如图，AB，DF为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CD交AB于点E，连接AC交DF于点G，连接CF，B为的中点． （1）求证：AB∥CF； （2）若⊙O的半径为5，BE＝1，求OG的长． 【解答】（1）证明：∵AB是直径，B是的中点， ∴AB⊥CD， ∴∠AED＝90°， ∵DF是直径， ∴∠DCF＝90°， ∴∠AED＝∠DCF， ∴AB∥CF； （2）解：∵OD＝OB＝5，BE＝1， ∴OE＝OB﹣BE＝4， ∵∠OED＝90°， ∴DE＝EC3， ∴CD＝6， ∵DF＝10，∠DCF＝90°， ∴CF8， ∵OA∥CF， ∴△AOG∽△CFG， ∴， ∴， ∴OG． 10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE并延长交BA延长线于点F． （1）求证：AF＝BC； （2）若BC＝2，求EF的长． 【解答】（1）证明：由题意可得：∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴， ∴AD＝CD， ∠BDF＝90°＝∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDB， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠FAD＝180°﹣∠BAD＝∠BCD， ∴△DAF≌△DCB（ASA）， ∴AF＝BC； （2）解：连接AE，由（1）知AF＝BC＝2，∠ADF＝∠CDB， ∴， ∴∠EAF＝90°， ∴． 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD． （2）若⊙O的半径为5，当∠ABD＝30°时，求BC的长． 【解答】（1）证明：连接OC，连接AO并延长交BC于点H， ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AH是BC的垂直平分线， ∴∠BAC＝2∠BAO， ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO， ∴∠BAC＝2∠ABD； （2）解：由（1）可知∠BAC＝2∠ABD＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AH⊥BC，BH＝HC， ∴∠DBC＝30°， ∵OB＝5， ∴OH＝2.5， ∴BH， ∴BC＝5． 12.如图，在⊙O中，AB是直径，点C是⊙O上一点，AC＝9，BC＝3，点E在AB上，AE＝2BE，连接CE并延长交⊙O于点D，连接AD，AF⊥CD，垂足为F． （1）求证：△ADF∽△ABC； （2）求DF的长． 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，∵AF⊥CD， ∴∠AFD＝∠ACB＝90°， ∵∠ADF＝∠B， ∴△ADF∽△ABC； （2）解：如图，过点C作CH⊥AB于点H． ∵AC＝9，BC＝3，∠ACB＝90°， ∴AB3， ∵AE＝2BE， ∴BE，AE＝2， ∵•AC•BC•AB•CH， ∴CH， ∴BH， ∴EH＝BE﹣BH， ∴EC， ∵∠CHE＝∠AFE＝90°，∠AEF＝∠CEH， ∴△AFE∽△CHE， ∴， ∴AF， ∵△ADF∽△ABC， ∴， ∴DF． 学科网（北京）股份有限公司 $2025年浙教版九年级数学第四单元专题复习：圆中相似的问题 L.在△ABC中，已知AD平分∠BAC,且AD=CD,E是AC边上一点且满足∠ADB=∠EDC ,圆O过C,D,E三点 (1)如图1，若CD为圆O的直径，求∠C的度数. (2)如图2，若圆O与AD相交于点F,连接CF,求证：①CE=CF;②CF2=BDBC. A E B C F 0 D D 图1 图2 2.已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P. (1)求证：△APD∽△CPB; PD (2)若AP=4,PC=1,求：2： P 。0 D C B 3.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AB=12,点D在⊙O上，连接BD ,CD,作BM⊥CD于点M,AN⊥CD于点N. (I)求证：△ABC∽△DBM; (2)若BM=4AN=8,求CD的长. 日N A B 0 4如图，△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于D,AE是⊙O的直径.若AB=6,AC=8,AE=11, 求AD的长. A B D C E 2 5.如图1，△ABC内接于⊙O,点D为BC的中点，连接AD、BD,BE平分∠ABC交AD于 点E, (1)求证：BD=ED: (2)如图2，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F.若AB=DE=5,DF=8,求⊙ O半径的长. A 0 。0 B D D 图1 图2 6.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,连接BD (I)求证：∠CBD=∠BDC; (2)延长4B至点E,使BE=4D,连接CE.求证：=器. AC BC A ⊙ C 7.如图，点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，以BD为直径的圆⊙O交边AC于E,F两点， 连结DE,BE,BF,并且BE平分∠DBF, A D 备用图 (I)求证：△BCF∽△BED; (2)若DE=2.5,CF=2,求BC的长； (3)若BD=2AD,BF=8,求CF的长. 8.如图1，已知等腰三角形ABC的外接圆圆心为点O,AB=AC,BD为⊙O的直径，AD交 BC于点E,AE=3,DE=6; (1)求AB的长： (2)连OC,求证：四边形ABOC为菱形 B C 9.如图，AB,DF为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CD交AB于点E,连接AC交DF 于点G,连接C℉，B为OD的中点. (1)求证：AB∥CF; (2)若⊙0的半径为5，BE=1,求OG的长. D ⊙ E G 10.如图，四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC,连接BO 并延长交⊙O于点E,连接DE并延长交BA延长线于点F. (1)求证：AF=BC; (2)若BC=2,求EF的长. E 5 11.如图，在△ABC中，AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D. (1)求证：∠BAC=2∠ABD (2)若⊙O的半径为5，当∠ABD=30°时，求BC的长. D 12.如图，在⊙O中，AB是直径，点C是⊙O上一点，AC=9,BC=3,点E在AB上，AE =2BE,连接CE并延长交⊙O于点D,连接AD,AF⊥CD,垂足为F. (1)求证：△ADF∽△ABC; (2)求DF的长。 C B E 0 0