第3章 命题点7 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2026广西中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

一战成名新中考 命题点7二次函数的图象与性质（必考） 考情时间轴 22.涉及增减性与最值 24(3).增减性与最值 25(3).最值（面积） 2024 2022 2025 2023 2021 25.最值探究 12.图象与系数的关系 23(2).最值（利润） 要点归纳 要点1二次函数的图象与性质（图象台抛物线） 般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中，x 概念 是自变量，a,b,c分别是二次项系数，一次项系数和常数项 一般式 顶点式 交点式 三种解析式 y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x)(x-x2)(a≠0) a>0 大 开口向上 2龙 致 图 象 a<0 0 开口向下 对称轴 直线x=① 直线x=② 直线x=③ 顶点坐标 ④ ⑤ b时， x=h时， +2时， a>0 x=- x=2 y有最小值⑦ 最 y有最小值⑥ y有最⑧ 值 值 时， a<0 3=20 x=h时， 时。 y有最大值⑨ y有最大值⑩ y有最① 值 在对称轴左侧时，y随x增大而② 增 a>0 在对称轴右侧时，y随x增大而B 减 在对称轴左侧时，y随x增大而④ 性 a<0 在对称轴右侧时，y随x增大而⑤ 温馨提示：特别地，若已知二次函数的解析式为y=ax2+bx,则二次函数图象必过原点；反之，若已 知二次函数y=am2+bx+c的图象过原点，则必有c=0. 知识，点精讲·广西数学 43 要点2对称轴的理解与应用 拿方法指导如图1，若抛物线上两点的纵坐标 1.求对称轴 相等，横坐标不相等(x,≠x2),则对称轴为直线 例1抛物线y=a2+bx+c(a≠0)过(0,4)和(-6， x1十x2 4)两，点，则抛物线的对称轴为 2 A.直线x=4 A(1,y) B.直线x=0 (B(xY) C.直线x=-3 2ab7 2- D.直线x=-6 图1 图2 2.利用对称轴求点坐标 章方法指导如图2，若抛物线的对称轴为直线 例2已知抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交 x=a. 点的坐标为(1,0)，则此抛物线与x轴的另一①抛物线与x轴的一个交点坐标为(b,0),则与 个交点的坐标为 x轴的另一个交点坐标为(2a-b,0); 变式如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对 ②抛物线上任意一点的坐标为M(m,n),则点 称轴为直线1，抛物线与直线y=t交于点A(3, M关于对称轴对称的点的坐标为(2a-m,n). t),根据图象可知抛物线的对称轴为直 线 ,点A关于对称轴对称的点B的坐 标为 变式题图 3.利用对称轴比较函数值大小 方法指导解法一：代入法.若二次函数表达 例3多解法若二次函数y=a(x-3)2+c(a>0)的式已知，代入横坐标，求出纵坐标比较； 图象过点A(-1,y1),B(2,y2),C(5,y3),则解法二：异侧转同侧结合增减性比较.求出已知 y1,y2,y3的大小关系是 点关于对称轴对称的点的横坐标，然后利用同 A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 侧的增减性比较，如图3,4； C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2 增大 变式已知点A(-1,y1),B(3,y2)在抛物线 C y=-（x-h)2+5上.若y1<y2,h的取值范围 O减小 YB>Yc>Y YE>YD>YF 是 图3 图4 解法三：距离法.先确定开口方向，再算点到对 称轴的距离；开口向上，距离越远的函数值越 大；开口向下，距离越远的函数值越小.如图5， Ya>Yc>YA 图5 44 知识，点精讲·广西数学 一战成名新中考 4.利用对称轴求自变量取值范围内函数最值（涉及章方法指导当抛物线对称轴在自变量取值范 分类讨论) 围的左侧或右侧时，函数在所给自变量取值范 例4已知二次函数y=2(x+1)2+3,当1≤≤ 围端点处取得最大值与最小值.如图6，抛物线 在点A,B处分别取得最大值与最小值 4时，该二次函数的最大值为 变式已知二次函数y=-(x-h)2(h为常 数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对 应的函数值y的最大值为-1，则h的值为 图6 图7 A.3或6 B.1或6 当抛物线对称轴在自变量取值范围内时，函数 C.1或3 D.4或6 在顶点处取得一个最值，在所给自变量取值范 【思维点拔】通过对称轴在所给区间的左侧、 围距对称轴较远一端点取得另一个最值.如图 内部、右侧三种情况分类讨论，求出符合题意 7,抛物线在顶点A处取得最小值，在点B处取 的h的取值范围.即分h<2,2≤h≤5，h>5. 得最大值 要点3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系 决定抛物线的开口方向，1a1决定开口 a>0,抛物线开口向上； 大小 a<0,抛物线开口向下 b=0,对称轴为⑥ 决定抛物线对称轴的位置（对称轴为 侧； a、b b>0,对称轴在y轴@ b 直线x= 6 <0,对称轴在y轴⑧侧 a c=0,抛物线过原点； 决定抛物线与y轴交点的位置 c>0,抛物线与y轴交于正半轴； c<0,抛物线与y轴交于负半轴 b2-4ac=0时，与x轴有唯一的交点（顶点）； b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数 b2-4ac>0时，与x轴有9 交点； b2-4ac<0时，与x轴没有交点 先把含a、b、c的项移到等式（或不等式）的一边； 石到江6，比较之和1的火小 特殊 看到2a-6,比较力与-1的大小 2a 关系 看到a+b+c,令x=1,看y的值； 看到a-b+c,令x=-1,看y的值； 看到4a+2b+c,令x=2,看y的值； 看到4a-2b+c,令x=-2,看y的值 温馨提示：请完成《分层作业本》P30~31习题 知识，点精讲·广西数学 45命题点6反比例函数的应用 命题点8二次函数解析式的确定 要点归纳 及其图象的变换 【自主作答】解：解法一：以CD为公共底边，S△DB=S△A+ 对点练习 Sx=0.l 1.解：抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+4. 3 解法二：如解图，过点A作BD的垂线交BD延长线于点E, 3 命题点9二次函数图象与性质的应用 =2BDy-yl. 要点归纳①两个不相等②两个相等③无④x<x, 或x>x2⑤x1<x<x2 随堂练习(1)x1=-1,x2=3;(2)x,=0,x2=2;(3)2: 1 (4)-1<x<3;(5)x<0或>2：(6)2≤x≤2 命题点10二次函数的实际应用 要点归纳 解图 例1解：解法一：根据题意，设抛物线的解析式为y=α(x 2)2+k(a≠0)，将点C(0,8),B(8,0)代入， 对点练习1.D 1 2.(1)y=3x+3,y=6 :(2)画图如解图：①x>1或-2<x<0 得+=8。解得=4 a=- (36a+k=0. k=9, ②0<x≤1或x≤-2：(3)2 9 ∴抛物线的解折式为y=子(-2)+9。 ∴.当x=2时，y有最大值，最大值为9，即AD=9m. 答：该水流距水平面的最大高度AD为9m 解法二：根据题意，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+8(a ≠0)， 将点B(8,0)代人，结合0A=- =2 2a {b=2 1 得{2a a=- 解得 4 64a+8b+8=0. b=1, 第2题解图 .抛物线的解析式为y=- 4++8=4(x-2)+9, 3.D 命题点7二次函数的图象与性质 其余同解法一 答：该水流距水平面的最大高度AD为9m 要点归纳①-会 ②h③+5 2 例2D0(x-2）②750-(-2j ⑤(h,k) ⑥4ac-b ⑦k⑧小⑨4ac-b 例3③(300-10x)④(20+x) 0k①大 4a 4a ⑤(300-10x)(20+x)⑥-10x2+100x+6000⑦0≤x≤30 2减小B增大增大5减小0y轴左⑧右 ⑧5⑨6506250①(300+20x）2(20-x）B(300+ 9两个 20x)(20-x)④-20x2+100x+600050≤x≤200当x =2.5时，y取得最大值，即定价为57.5元时，利润最大，最 例1C例2(3,0) 变式x=1,(-1,t)例3B 大利润为6125元⑦.：6250>6125，.当定价为65元时. 变式h>1例41变式B 即涨价5元时利润最大，最大利润为6250元 第四章三角形 命题点1线段、角、相交线与平行线 命题点2三角形及其重要线段 要点归纳①60②60③90④相等⑤180⑥相等 ⑦相等⑧相等⑨相等0相等①互补 要点归纳①大于②>③小于④<⑤】⑥2 例≠=≠ ∠3+∠2=180°≠ 对点练习 1.②：两点之间，线段最短 2.(1)2920';(2)11920';(3)3020' Bn号1 对点练习1.D2.(1)70,110:(2)55 3.D4.PB拓展4-1CP 3.(1)40,10:(2)4,14.(1)115;(2)25 5.(1)20:(2)1306.D7.C 参考答案与重难题解析·广西数学