第2章 命题点3 一元二次方程及其解法-【一战成名新中考】2026广西中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

命题点3一元二次方程及其解法（必考，202511单独考查） 要点归纳 要点1一元二次方程(ax+bx+c=0,a≠0)必须同时满足以下三个条件： (1)是整式方程； 二次项系数(a≠0) (2)只含有1个未知数： 一一次项系数 (3)未知数的最高次数 ax2+x+9=0 是2. 二次项一次项常数项 ◆易错警示对于方程ax2+bx+c=0,只有当① 时 才是一元二次方程；若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则 必然隐含着② 要点2一元二次方程的解法（基本思路：降次） 解法 适用情况 方程的解 对点练习 直接开 x2=p(p≥0) x=±p 1.请用你认为的最佳方法解下列方程. 平方法 (x+n)2=p(p≥0) (1)x2-2x-4=0; x=-n±Wp 二次项系数化为1后，一次项 系数为偶数，形如x2+2mx=n, 配方法 x=-m±√/n+m 配方后为(x+m)2=n+m2(n+m2 ≥0) 公式法ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0) -b±√0-4ac x= 2a 因式 (x-a)(x-b)=0 x=a,%2=b 分解法 x(ax+b)=0(a≠0) 七，=0,62=6 a 拿易错警示 (1)用公式法代a,b,c的值时要注意它们的符号： (2)对于方程两边含有相同因式的一元二次方程（如 (2)2x2-5x+2=0; 2x(x-1)=3(x-1),切勿直接约去公因式求解导致丢 根，正确做法是将方程化为两个因式之积为0的形式，利 用因式分解法求解。 例 多解法解方程：x2+6x+5=0. 解法一：配方法 答题规范 解：移项，得x2+6x=-5,…移项 配方，得x2+6x+32=-5+32,…配方 (x+3)2=4, 由此可得x+3=士2，…降次 x1=-5,x2=-1. 18 知识点精讲·广西数学 一战成名新中考 解法二：公式法 (3)x(x-7)=8(7-x). 解：原方程a=③ ,b=④ ,c=⑤ b2-4ac=⑥ x=⑦ 解得⑧ 解法三：因式分解法 解：由原方程，得（⑨ )(0 )=0, 即① =0或② =0, 解得B 要点3一元二次方程根的判别式 b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式 2.已知关于x的方程ax2-4x+1=0. (1)b2-4ac>0曰方程有④ 的实数根； (1)若该方程有两个不相等的实数 (2)b2-4ac=0台方程有⑤ 的实数根(x,=x2 根，则a的取值范围是 =6 (2)若该方程有两个相等的实数根， (3)b2-4ac<0-方程☑ 实数根。 则a的值为 ； 由(1)、(2)知b2-4ac≥0<方程有两个实数根 (3)若该方程没有实数根，则a的取 拿易错警示由一元二次方程根的情况确定方程中待定 值范围是 系数的取值范围时，若一元二次方程的二次项系数念有 (4)若该方程有实数根，则a的取值 字母，应注意二次项系数不为0这个隐含条件。 范围是 要点4一元二次方程根与系数的关系 若方程a2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根1，x2,则有x,+3.已知方程x2-3x+1=0的两个根分 x2=8 ,x12=9 别是x1,x2,则x,+x2+x,·x2的值 是 温馨提示：请完成《分层作业本》P12习题 知识，点精讲·广西数学 19知识点精讲 第一章数与式 命题点1实数的相关概念及大小比较 4氵5B变式5司3,4变式5-26-42 要点归纳①不循环②-a③0④0⑤-a⑥大 ⑦±1⑧2⑨10⑩大①>2=3> 命题点4代数式、整式与因式分解 对点练习 要点归纳①a②a3a6④a⑤」⑥1 1.(1)②36⑧9：(2)①⑤6⑧⑨0：(3)③④⑦：(4)①2 ③④⑤6⑧⑨：(5)⑦02.A3.(1)F,B:(2)①-1， ⑦am+an+bm+bn⑧a2-b2⑨a2±2ab+b2 153a:@.c1,3分 对点练习 1.(1)(1-45%)x:(2)a+106 4.(1)7.05×10:(2)5.07×10-8:(3)3.3×10°：(4)5.4×103 2.15,±√13变式2-11变式2-28 51-31,号6()0<：2<：③<：④>：⑤<：(2)a 3.A4.证明略.5.3，-3m:3,-4 6.(1)a:(2)6a2b:(3)-a3:(4)8a:(5)2a;(6)3x2y: 命题点2实数的运算 (7)2a2-2ab:(8)4a2-b2;(9)x2-6x+9 要点归纳①②63a④1⑤ 7.(a+b)(a-b)=a2-b28.A 9.解：原式=3x-y2, ⑦b-a 11 对点练习 当=3=3时.原武=3x33×3-2 1.(1)1:(2)-7:(3)-4:(4)-8:(5)-6:(6)12:(7)-3:(8)12 10.(1)y(x-2y):(2)(3+x)(3-x):(3)(a+2)2: 2(116:(24:(3)-1:4④1：(5)2：(6)4 (7)5-1 (4)(4a-1)2 11.解：解法一：原式=x+1, 3.解：(1)原式=2+4=6. 当x=2026时，原式=2026+1=2027. (2)原式=9+(-2)=7. 解法二：原式=x+1, (3)原式=9-15+1=-5. 当x=2026时，原式=2026+1=2027. (4)原式=-1×(-1)+8÷8=1+1=2. 命题点5分式及其运算 (5)原式=4÷4×1=1. 要点归纳①B≠0②A=0且B≠0③B≠0，C≠0，D≠ 命题点3二次根式及其运算 6⑦a±68d±c (含无理数的估值) ac bd 要点归纳①相反数②0③0和1④a⑤-1,0、1 对点练习 ⑥≥⑦a⑧√ab⑨√a÷b04①922B3 14521300:(2)-号40 42.5153 对点练习 ）a-2(2)-;(3)2:(4) 5(1)1 a+2 1.(1)3W2:(2)-22.(1)x≥4：(2)x>1:(3)x≥1且x≠2 3.(1)3:(2)5;(3)6:(4)2:(5)32+23 6解：原式当3时原式克 第二章方程（组）与不等式（组） 命题点1一次方程（组）及其解法 对点练习 要点归纳 1 例2解法-：13-4y,2(13-4y)+3y=16,y=2,将y=2代入 L.A2.A3.x+2ax=14.7.2km/h,2.6kmh ③中=5， 5.C6. x+y=24, (4×3x=12y 解法二：-5y=-10,y=2,将y=2代入②中，x=5, x=5, 命题点3一元二次方程及其解法 (y=2 对点练习 要点归纳①a≠0②a≠0③1④6⑤5⑥16>0 1.D ⑦6±v16 2 ⑧x1=-5,x2=-1⑨x+50x+1①x+5 17 2.解：(1)x=2(2)x=5 ②x+1Bx,=-5,,=-1④两个不相等5⑤两个相等 3解：(1)方程组的解为{二4(2)方程组的解为红=1， (y=1. y=1 6品亚没有⑧片号 命题点2一次方程（组）的实际应用 对点练习 要点归纳①(100-x)②10x+(100-x)×1=235③x= 1.解：(1)x,=1+5,x=1-5;(2)x=2,x=2 15,则100-x=85④这个月该公司分别销售甲、乙两种特 产15吨、85吨 (3)x1=7,x2=-8. 2 参考答案与重难题解析·广西数学 一战成名新中考 2.(1)a<4且a≠0：(2)4：(3)a>4:(4)a≤4 3.4 命题点4一元二次方程的实际应用 ②①经检验，x=1是原分式方程的解，且符合实际 要点归纳①a(1+x)2②a(1-x)2③(a-2x)(b-2x) @乙队的施工速度快 ④(a-)(h-)⑤s.0ar⑦ar8(1+ 对点练习1.A2.A3.C 命题点7一元一次不等式（组） ⑨(1+x)2 要点归纳①>②>③<④x<a⑤x>a⑥x≤a 对点练习1.A2.23.104.B ⑦x≥a⑧x>b⑨x<a0a<x<b①无解②>B< 命题点5分式方程及其解法 ④≥5≤ 对点练习 对点练习1.C 解：(1)分式方程的解为x=-3: 2.解：不等式的解集为x>2, (2)分式方程的解为x=4. 解集在数轴上表示如解图所示 命题点6分式方程的实际应用 要点归纳①60②+10330 x+10 ④600 2x350 -5-4-3-2-1012345 x+10 第2题解图 ⑤x=60⑥经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意 3.解：不等式组的解集为-3<x≤2 ⑦则B种书包每个进价为x+10=70(元) 解集在数轴上表示如解图所示 ⑧A种书包每个进价为60元，B种书包每个进价为70元 604x0x022+=10 3x604x BB时5 -5-4-3-2-1012345 第3题解图 第三章 函 数 命题点1平面直角坐标系与函数 命题点3 一次函数解析式的确定 要点归纳①y②x③x=0且y=0④纵⑤横 及其图象的变换 ⑥(x,-y）⑦(-x,y）⑧(-x,-y）⑨(x+a,y) 要点归纳①相反数②相反数 ⑩(x,y+a) ①(x,y-a)②1alB√a+b④ly2-y1l 对点练习1.-2 对点练习 2.解：这个一次函数的解析式为y=x+2. 1.(1)-2:2:(2)-2<m<2:m>2;三；(3)(2-m,-3m-6); (0,6):(4)(-m,3m+3) 3(10=-2-1:(2)y=2 2(D(-1,2)215:(2(-0: 4.(1)y=2x:(2)y=2x+6:(3)y=-2x+4:(4)y=2x+4 命题点4一次函数的实际应用 (3)2,(-3,2)或(1,2) 3.C4.x≠1：x≥35.D6.C 要点归纳①x②(100-x)③70x+35(100-x)④35x +3500⑤(100-70)x+(75-35)(100-x)6-10x+4000 命题点2一次函数的图象与性质 ⑦35x+3500≤6300⑧0≤x≤80⑨003500①0 要点归纳 24000B购进这批服装的最低费用为3500元，这批服装 全部售出的最大利润为4000元④12⑤0.200.25 一、二、三 ⑦0.2x+1280.25x (2)【自主作答】解：该用户选择B类收费标准划算 5一三四 ⑥一、三⑦一 上四⑧二、三、四 (3)【自主作答】解：当通话时间小于240min时，选择B类 ⑨二，四①指大减小®(-名0)B(0, 收费标准更实惠： 当通话时间大于240min时，选择A类收费标准更实惠； ④<⑤< 当通话时间为240min时，选择A类，B类收费标准都可以. 随堂练习 9s。2@01②①t,-4126 8年百 t3-t2 ⑦t,时刻到达乙地⑧t,时刻从乙地开始返回甲地 ;增大：一、三、四；(1,0)；(0，-2)： 四在乙地停留的时间为，团。①，。®< t t3-t2 命题点5反比例函数 减小一二四：（分0）：(0. 要点归纳①一、三②减小③二、四④增大⑤ab 66 ⑦1k1⑧2⑨101k1①71k1 2.(1)-1(答案不唯一)；(2)<；(3)>，≥；(4)C3.A4.A 随堂练习1.(1)m≠1(2)m<1;(3)-1;(4)在；(5)①y> x=4. 1或y<0;x<-2:②< 5.(1)x=6:(2)x>6:x<0:(3) 4x≥4：12：8 6 2.(1)y=-;(2)2:(3)4:(4)2 参考答案与重难题解析·广西数学 3