江苏省扬中市第二高级中学2025-2026学年高二上学期数学周练14

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学周练14 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ C ） A. B. C. D. 2．若如图的离心率为，则该椭圆的长轴长为 （ D ） A． B． C． D． 3．椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为 （ A ） A． B． C． D． 4．双曲线的一条渐近线为，则的离心率为 （ B ） A. B. C. 2 D. 4 5．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则 （ C ） A. 14 B. 9 C. 4 D. 2 6．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近距离为2，则双曲线实轴长 （ C ） A. B. 2 C. D. 4 7．已知是椭圆的左、右焦点，上第一象限内一点，的平分线经过点，则的面积为 （ A ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，是椭圆的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆与两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 （ C ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为 （ BCD ） A． B． C． D． 11．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为 （ ABD ） A. B. C. D. 【详解】设椭圆的长轴长为；若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，即，故；若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，即，故； 若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以，故.故选：ABD. 11. 已知双曲线的左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，直线与双曲线相交于两点，则下列说法正确的是 （ ACD ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线为 C. 直线的斜率之积为 D. 【详解】在双曲线中，，，.对于A选项，双曲线的离心率为，A正确；对于B选项，双曲线的渐近线方程为，B错误；对于C选项，设，，，则， 即直线的斜率之积为，C正确；对于D选项：不妨点P在第一象限，联立，消y得，解得，所以，则，，所以，在中， 由余弦定理得 ，故D正确；故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点，则双曲线C的标准方程为______. 13．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，以为斜边的等腰直角三角形与椭圆有两个不同的交点，则该椭圆的离心率为 . 14．已知是双曲线的左､右焦点，点是左支上的一点，若为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为__________. 【详解】由双曲线定义可得，，由为等腰三角形，则， 则，则有，即，整理得，故，故，又，故.故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知中心在原点，焦点在轴上的的椭圆的离心率为分别是椭圆的长轴、短轴的端点，点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）已知点，设是椭圆上的两个动点，满足的最小值. 15．解：（1）因为， 所以的方程为：， 原点到直线的距离为 可求得， 于是椭圆的方程为； （2）由，设， 当的最小值为 16．如图，分别为椭圆的左、右焦点，为顶点，已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2. （1）求椭圆的方程和焦点坐标；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于两点，求的面积. 16．解：（1）因为两个焦点的距离之和为2， 且焦点在上，于是可设两焦点为， ， 故所求椭圆的方程为； （2）， 所在直线方程为，设， 联立方程组， 于是， 所以的面积为 17．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线过点，且其离心率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值． 17．解：（1）由题意知双曲线的焦点在轴上，且其实半轴长为2， 设双曲线的标准方程为则， 由得， 双曲线的标准方程． （2）由得（※）， 当，即：时，方程（※）有且只有一解，合题意； 当时，由， 得，方程（※）有且只有一解，也合题意； 综上所述：实数的值为：，． 18．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程；（2）过点作圆的切线，求切线的方程；（3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 18．解：（1）设圆心，由题意有 ， ， 即圆的标准方程为； （2）当切线的斜率存在时，可设方程为， 由， 即切线方程为， 当切线的斜率不存在时，方程为， 于是所求的切线方程为或 （3）设，圆心到的距离为 ， 同理可得：， 所以四边形的面积为， 即的最大值为 19．已知分别是椭圆的左、右焦点，，当上且时，（1）求的标准方程；（2）的左顶点，上第四象限内一点，轴交于点，与轴交于点（ⅰ）证明：四边形的面积是定值；（ⅱ）求的面积的最大值. 19．解：（1）轴且上， 点的坐标为，， ，解得， ， 所以椭圆的标准方程为：； （2）（ⅰ）根据题意得到， 设，位于第四象限， ， 三点共线，则， ， 三点共线，则， ， 又，， ， ， 即四边形的面积是定值. （ⅱ）， 所以当最大时，最大， 设点到直线的距离为，在椭圆上，最大， 是平行与的椭圆的切线和椭圆的切点时， 设直线的方程为， ，即直线的方程为， 设与平行的直线， 联立方程组， 令 舍去）， 因此两平行直线与间的距离， 即点与直线的最大距离， ， ， 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学周练14 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 2．若如图的离心率为，则该椭圆的长轴长为 （ ） A． B． C． D． 3．椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为 （ ） A． B． C． D． 4．双曲线的一条渐近线为，则的离心率为 （ ） A. B. C. 2 D. 4 5．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则 （ ） A. 14 B. 9 C. 4 D. 2 6．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近距离为2，则双曲线实轴长 （ ） A. B. 2 C. D. 4 7．已知是椭圆的左、右焦点，上第一象限内一点，的平分线经过点，则的面积为 （ ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，是椭圆的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆与两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为 （ ） A． B． C． D． 11．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为 （ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，直线与双曲线相交于两点，则下列说法正确的是 （ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线为 C. 直线的斜率之积为 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点，则双曲线C的标准方程为______. 13．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，以为斜边的等腰直角三角形与椭圆有两个不同的交点，则该椭圆的离心率为 . 14．已知是双曲线的左､右焦点，点是左支上的一点，若为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知中心在原点，焦点在轴上的的椭圆的离心率为分别是椭圆的长轴、短轴的端点，点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）已知点，设是椭圆上的两个动点，满足的最小值. 16．如图，分别为椭圆的左、右焦点，为顶点，已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2. （1）求椭圆的方程和焦点坐标；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于两点，求的面积. 17．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线过点，且其离心率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值． 18．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程；（2）过点作圆的切线，求切线的方程；（3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 19．已知分别是椭圆的左、右焦点，，当上且时，（1）求的标准方程；（2）的左顶点，上第四象限内一点，轴交于点，与轴交于点（ⅰ）证明：四边形的面积是定值；（ⅱ）求的面积的最大值. 3 学科网（北京）股份有限公司 $