5.3.2 极大值与极小值-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

5.3.2 极大值与极小值 新课导入 古诗云：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值. 学习目标 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 3.了解导数与极值的关系. 新知学习 探究 一 函数的极值 思考1．如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 提示 ，，处是山峰，，处是山谷. 思考2．你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？ 提示 以山峰 处为例来研究，在 处，它附近的函数值都比它小，且在 处的左侧函数是单调递增的，即有，在 处的右侧函数是单调递减的，即有，函数图象是连续不断的，的变化也是连续不断的，并且有. ［知识梳理］ 1．函数极值的概念 一般地，若存在,当时，都有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,则称②_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的一个极大值,称为函数的极大值点. 若存在,当时，都有,则称为函数的一个极小值，称为函数的极小值点.函数的极大值、极小值统称为函数的③_ _ ，极大值点、极小值点统称为极值点. 【答案】； ； 极值 点拨 （1）极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质；（3）函数的极值不唯一；（4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点出现在区间的内部，端点不可能是极值点. 2.函数的极值与导数的关系 （1）极大值与导数之间的关系 左侧 右侧 极大值 （2）极小值与导数之间的关系 左侧 右侧 极小值 ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 导数为0的点一定是极值点.（ ） （2） 函数的极大值一定大于极小值.（ ） （3） 函数一定有极大值和极小值.（ ） （4） 单调函数不存在极值. （ ） 【答案】（1） × （2） × （3） × （4） √ 2．若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则的单调区间的个数至少为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】选.若 有3个单调区间，总有；若有，可取，其定义域为，由图象（图略）可知，有4个单调区间.故选. 3．（多选）如图是函数的导函数的图象，则（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. C. 函数在处取极大值 D. 函数在区间内有两个极小值点 【答案】BD 【解析】选.由导函数 的图象可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故，故 错误，正确； 由导函数的图象可知 在 上单调递增，故1不是函数的极大值点，错误； 由导函数图象可得在区间 内有，且在 与 上导函数小于0，在 和 上导函数大于0， 故 和4为函数的两个极小值点，2为函数的一个极大值点，故在区间 内有两个极小值点，正确.故选. 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的,若是由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值. 二 利用导数求函数的极值 角度1 不含参数的函数求极值 ［例1］ （对接教材例4）已知函数，求的极值. 【解】 函数 的定义域为， ， 由 可得，，解得， 当 变化时， ，的变化情况如下表所示： 0 - 所以当 时，有极大值，极大值为，无极小值. 函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求方程的根； （3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； （4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况. 角度2 含参数函数的极值 ［例2］ 已知函数，求此函数的极值. 【解】 易得函数的定义域为， ，当 时，显然， 函数 在区间,上均单调递增，此时函数无极值； 当 时，令，解得， 当 变化时，，的变化情况如下表： 0 - - 0 由上表可知，当 时，函数取得极大值，当 时，函数取得极小值. 综上，当 时，函数 无极值； 当 时，函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值. 解析式中含参数的函数极值的求法 由于求函数的极值时首先需要确定函数的单调区间，因此解析式中含参数的函数极值的求法是：先根据参数对导函数的零点的影响确定分类讨论的标准（导函数是否存在零点以及导函数存在零点时零点的大小），然后根据函数的单调区间确定函数的极值. ［跟踪训练1］． （1） 已知函数，那么的极大值是（ ） A. B. C. D. （2） 若函数在处取得极小值，则函数的极大值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 选．由题意知， ， 令 可得. 当 时，； 当 时，； 所以 在 上单调递增， 在 上单调递减， 所以.故选． （2） ，由题意得，解得， 故，， 当 时，，单调递减， 当 或 时，，单调递增， 故 在 处取得极大值， 故极大值为. 三 利用函数的极值求参数 ［例3］ （1） 已知函数在处取得极值0，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 （2） 函数在处有极值10，则的值为_ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 7 【解析】 （1） ，根据题意有 得,，所以. （2） 函数， 所以， 又 在 处有极值10， 所以 即 解得 或 当 时，不符合题意，当 时，符合题意.故. 已知函数的极值求参数的方法 对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. （1）已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导函数； ②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数. 注意 求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. （2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立. ［跟踪训练2］．若函数与函数有相等的极小值，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】选．由对勾函数可知 在 时取到极小值， 对于， 当 时，在定义域内单调递减，无极值，不合题意； 当 时，， 令，解得； 令，解得； 则 在 上单调递减， 在 上单调递增， 所以 的极小值为，解得.故选． 课堂巩固 自测 1．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（ ） A. B. C. D. 和 【答案】C 【解析】选.由导函数 的图象可知，当 或 时，，当 时，，所以 为函数的极大值点，为函数的极小值点.故选． 2．函数在上的极大值点为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】选.,,令，得，当,时，,当,时，， 所以 是函数 的极大值点. 3．已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】选.因为， 所以， 令，解得，. 当，时，，则 单调递增； 当 时，， 则 单调递减， 所以 的极小值点. 4．已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ . 【答案】2； 【解析】， 由题意知 即 解得 经验证知符合题意． 1.已学习：（1）极值的概念. （2）极值与导数的关系. 2.须贯通：（1）求极值的方法. （2）函数极值的判定及求法． （3）已知函数极值求参数． 3.应注意：注意把握函数取到极值的充要条件. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下列函数中，存在极值的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.对于，因为函数 是实数集上的增函数，所以函数 没有极值； 对于，因为函数 是正实数集上的增函数，所以函数 没有极值； 对于，因为函数 在区间，上单调递减，所以函数 没有极值； 对于，因为,所以该函数在 上单调递增，在 上单调递减，因此 是函数的极小值点，符合题意. 2．在上的极小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为，，所以， 令，得 或， 所以当 时，，单调递增； 当 时，，单调递减； 当 时，，单调递增， 所以当 时，取得极小值， 且极小值为. 3．已知函数在处有极值，则该函数的一个增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为，且函数 在 处有极值， 所以, 解得, 所以 , 由 得 或. 故 的增区间为 和. 4．已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】选．函数， 所以， 因为函数 有极大值和极小值， 所以其导函数 有两个不同的解， 所以, 所以 或.故选． 5．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法一定正确的是（ ） A. 当时，单调递增 B. 当时，单调递减 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得最小值 【答案】AC 【解析】选.由题中导函数的图象可得原函数的大致图象及单调性. 当 时,,单调递增； 当 时，,单调递增； 当 时，，单调递减； 当 时，,单调递减； 当 时，,单调递增. 所以当 时，取得极小值.故，正确，，错误.故选. 6．（多选）若函数既有极大值又有极小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.的定义域为，， 因为函数 既有极大值又有极小值， 所以方程 有两个不相等的正实数根,， 所以 解得 所以 和 正确，和 错误.故选. 7．函数的极小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】. 令,解得 或; 令,解得. 所以 在,上单调递减，在 上单调递增，所以. 8．设与是函数的两个极值点，则常数_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为, 由题意得 解得. 9．已知函数没有极值点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为， 所以， 因为函数 无极值点， 所以 无解，即 无解， 所以. 10．（13分）设函数,其中,曲线在点处的切线垂直于轴.求： （1） 的值；（5分） （2） 函数的极值.（8分） 【答案】（1） 解：.由题意知，曲线在 处的切线斜率为0，即,从而,解得. （2） 由（1）知, . 令,解得,（舍去）. 当 时，, 故 在 上单调递减； 当 时，, 故 在 上单调递增. 故 在 处取得极小值，极小值为，无极大值. B 能力提升 11．若函数在处取得极值，则称是函数的一个极值点.已知函数的最小正周期为 ，且在上有且仅有两个零点和两个极值点，则 的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选. ,所以, .对于，当 时，在 有三个零点，不满足题意； 对于，当 时，在 有且仅有两个零点,，有且仅有两个极值点,，满足题意； 对于，当 时，在 有且仅有两个零点，有一个极值点，不满足题意； 对于，当 时，，同 可得 也不满足题意.故选. 12．若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选．由题意知函数 的定义域为，，由题意，方程，即 有两个不相等的正实数根，设为,，则 解得，即实数 的取值范围为.故选． 13．已知函数在，上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】函数, 则， 因为 在，上有且仅有一个极值点， 即 在，上有且仅有一个变号零点. 又因为 在，上单调递增，所以由函数零点存在定理， 得 即 得. 14．（13分）已知函数.讨论函数在定义域内的极值点的个数. 解：由题意知 的定义域为， , 当 时，在 上恒成立，故函数 在 上单调递减， 所以 在 上没有极值点； 当 时，由，解得, 由,解得, 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 即 在 处有极小值，无极大值. 综上，当 时，在 上没有极值点； 当 时，在 上有一个极值点. C 素养拓展 15．（15分）已知函数. （1） 当时，求函数的单调区间；（6分） （2） 是否存在实数,使的极大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（9分） 【答案】 （1） 解：当 时，, , 当 时，解得 或, 当 时，解得, 所以函数 的单调递增区间为,;单调递减区间为. （2） ,解得 或, 因为,所以. 当 时，恒成立，在 上单调递增，无极值； 当 时， 当 变化时，,的变化情况如表所示： 0 - 0 极大值 极小值 由表可知，， 解得,所以存在实数,使 的极大值为3，此时. 学科网（北京）股份有限公司 $