5.3.2 极大值与极小值-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数极值，系统讲解极值概念、导数关系及求法。以古诗“横看成岭侧成峰”结合群山截面图导入，通过观察山峰山谷特点抽象出极值定义，再经思考问题、知识梳理、例题练习层层递进，构建完整学习支架。 其亮点在于用生活情境培养数学眼光，通过含参数函数分类讨论（如例2对a的正负分析）发展数学思维，课堂小结系统梳理知识助学生用数学语言表达。学生能提升抽象与推理能力，教师可借助分层例题和即时练提高教学效率。

第5章 导数及其应用 1 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 极大值与极小值 2 古诗云：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以想象一下， 在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中最高处，但却是其附 近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近 的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值. 返回导航 新课导入 3 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 3.了解导数与极值的关系. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 函数的极值 思考1 如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山 谷吗？ 提示 ，，处是山峰，， 处是山谷. 思考2 你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？ 提示 以山峰处为例来研究，在 处，它附近的函数值都比它 小，且在处的左侧函数是单调递增的，即有，在 处 的右侧函数是单调递减的，即有 ，函数图象是连续不断的， 的变化也是连续不断的，并且有 . 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.函数极值的概念 一般地，若存在,当 时，都有①____________ ____,则称②______为函数的一个极大值,称为函数 的极大 值点. 若存在,当时，都有,则称 为函数的一个极小值，称为函数 的极小值点.函数的极大值、 极小值统称为函数的③______，极大值点、极小值点统称为极值点. 极值 返回导航 8 点拨 （1）极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质；（3）函数的极 值不唯一；（4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点出现在 区间的内部，端点不可能是极值点. 返回导航 9 2.函数的极值与导数的关系 （1）极大值与导数之间的关系 左侧 右侧 极大值 （2）极小值与导数之间的关系 左侧 右侧 极小值 返回导航 10 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）导数为0的点一定是极值点.( ) × （2）函数的极大值一定大于极小值.( ) × （3）函数 一定有极大值和极小值.( ) × （4）单调函数不存在极值. ( ) √ 返回导航 11 2.若函数存在一个极大值与一个极小值满足 ， 则 的单调区间的个数至少为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选B.若有3个单调区间，总有 ；若有 ，可取，其定义域为 ，由图象（图略） 可知， 有4个单调区间.故选B. √ 返回导航 12 3.（多选）如图是函数的导函数 的图象，则( ) A.函数在区间 上单调递减 B. C.函数在 处取极大值 D.函数在区间 内有两个极小值点 √ √ 返回导航 13 解析：选.由导函数的图象可知，函数在 上单调递增， 在上单调递减，故 ，故A错误，B正确； 由导函数的图象可知在 上单调递增，故1不是函数的极大值点， C错误； 由导函数图象可得在区间内有 ，且在 与上导函数小于0，在和 上导函数大于0， 故 和4为函数的两个极小值点，2为函数的一个极大值点，故在区间 内有两个极小值点，D正确.故选 . 返回导航 14 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的,对于导 函数的图象,重点考查在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与 轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的,若是由正值变为负值,则在该点 处取得极大值;若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值. 返回导航 15 二 利用导数求函数的极值 角度1 不含参数的函数求极值 ［例1］ （对接教材例4）已知函数，求 的极值. 【解】 函数的定义域为 ， ， 由可得，，解得 ， 返回导航 16 当变化时， ， 的变化情况如下表所示： 0 - 所以当时，有极大值，极大值为 ，无极小值. 返回导航 17 函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求方程<m></m>的根； （3）用方程<m></m>的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并 列成表格； （4）由<m></m>在方程<m></m>的根左右的符号，来判断<m></m>在这个根处取 极值的情况. 返回导航 18 角度2 含参数函数的极值 ［例2］ 已知函数 ，求此函数的极值. 【解】 易得函数的定义域为 ， ，当时，显然 ， 函数在区间, 上均单调递增，此时函数无极值； 当时，令，解得 ， 返回导航 19 当变化时，， 的变化情况如下表： 0 - - 0 由上表可知，当时，函数取得极大值 ，当 时，函数取得极小值 . 综上，当时，函数 无极值； 当时，函数在处取得极大值，在 处取 得极小值 . 返回导航 20 解析式中含参数的函数极值的求法 由于求函数的极值时首先需要确定函数的单调区间，因此解析式中含 参数的函数极值的求法是：先根据参数对导函数的零点的影响确定分类讨 论的标准（导函数是否存在零点以及导函数存在零点时零点的大小），然 后根据函数的单调区间确定函数的极值. 返回导航 21 ［跟踪训练1］ （1）已知函数，那么 的极大值是 ( ) A. B. C. D. √ 返回导航 22 解析：选A．由题意知， ， 令可得 . 当时， ； 当时， ； 所以在 上单调递增， 在 上单调递减， 所以 .故选A． 返回导航 （2）若函数在 处取得极小值，则函数 的极大值为_ ___. 返回导航 24 解析：，由题意得 ，解得 ， 故， ， 当时，， 单调递减， 当或时，， 单调递增， 故在 处取得极大值， 故极大值为 . 返回导航 三 利用函数的极值求参数 ［例3］ （1）已知函数在 处取得极值0，则 ( ) A. B.0 C.1 D.2 解析：，根据题意有得, ， 所以 . √ 返回导航 26 （2）函数在处有极值10，则 的值为 ___. 7 解析：函数 ， 所以 ， 又在 处有极值10， 所以即 解得或 返回导航 27 当时， 不符合题意，当 时，符合题意.故 . 返回导航 28 已知函数的极值求参数的方法 对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的 条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. （1）已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导函数<m></m>； ②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数. 注意 求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. （2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某 区间内恒成立的问题，即转化为<m></m>或<m></m>在某区间内恒成立的 问题，此时需注意不等式中的等号是否成立. 返回导航 29 ［跟踪训练2］ 若函数与函数 有相等的极小值， 则实数 ( ) A. B. C.2 D. √ 返回导航 30 解析：选B．由对勾函数可知在 时取到极小值 ， 对于 ， 当时， 在定义域内单调递减，无极值，不合题意； 当时， ， 令，解得 ； 令，解得 ； 则在 上单调递减， 在 上单调递增， 所以的极小值为，解得 .故选B． 返回导航 31 PART 02 课堂巩固 自测 32 1.已知函数的导函数 的图象如图所示，则 的极小值点为( ) A. B. C. D.和 解析：选C.由导函数的图象可知，当或时， ， 当时，，所以为函数的极大值点， 为函数的极 小值点.故选C． √ 返回导航 33 2.函数在 上的极大值点为( ) A.0 B. C. D. 解析：选B.,,令，得，当 , 时，,当,时， ， 所以是函数 的极大值点. √ 返回导航 34 3.已知是函数的极小值点，则 ( ) A. B. C.4 D.2 解析：选D.因为 ， 所以 ， 令，解得， . 当，时，，则 单调递增； 当时， ， 则 单调递减， 所以的极小值点 . √ 返回导航 35 4.已知曲线在点 处的切线斜率为3，且 是的极值点，则___， ____. 2 解析： ， 由题意知 即 解得 经验证知符合题意． 返回导航 36 1.已学习：（1）极值的概念. （2）极值与导数的关系. 2.须贯通：（1）求极值的方法. （2）函数极值的判定及求法． （3）已知函数极值求参数． 3.应注意：注意把握函数取到极值的充要条件. 返回导航 37 $