5.3.2 极大值与极小值分层同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

5.3.2　极大值与极小值 一、基础达标练 1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(多选题)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数g(x)=xf'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　) A.f(x)有两个极值点 B.f(0)为函数的极大值 C.f(x)有两个极小值 D.f(-1)为f(x)的极小值 3.函数y=+ln x,则(　　) A.x=为f(x)的极大值点 B.x=为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 4.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a=　　　　　　.  5.已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是　　　　　.  6.若f(x)=ex-kx的极小值为0,则k=　　　　　　.  7.设函数f(x)=aln x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的极值. 二、能力提升练 8.已知函数f(x)=x2-(1+a)x+aln x在x=a处取得极小值,则实数a的取值范围为(　　) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1] D.(0,1) 9.若函数f(x)=ex-ax-b在R上有小于0的极值点,则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,-1) D.(1,+∞) 10.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是(　　) 11.若函数f(x)=(x2+ax+2)·ex在R上无极值,则实数a的取值范围是(　　) A.(-2,2) B.(-2,2) C.[-2,2] D.[-2,2] 12.若函数f(x)=-(1+2a)x+2ln x(a>0)在区间(,1)内有极大值,则a的取值范围是(　　) A.(,+∞) B.(1,+∞) C.(1,2) D.(2,+∞) 13.(多选题)若函数f(x)=x2-+x-2在[0,4]上恰有两个不同的极值点,则a的取值可以为(　　) A.3 B. C.4 D. 14.(多选题)设x3+ax+b=0(a,b∈R),下列条件中,使得该三次方程仅有一个实数根的是(　　) A.a=-3,b=2 B.a=-3,b=-3 C.a=-3,b>2 D.a=1,b=2 15.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值,则实数a的取值范围为. 16.已知函数f(x)=(x-a)(x-3)2(a∈R),当x=3时,f(x)有极大值.写出符合上述要求的一个a的值:　　　　　　　　.  17.设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a. (1)求f(x)的极值; (2)若曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,求a的取值范围. 三、拓展探究练 18.已知函数f(x)=且x=是函数y=f(x)的极值点. (1)求实数a的值; (2)若函数y=f(x)-m仅有一个零点,求实数m的取值范围. 参考答案 1.B　2.BC　3.D　4.-　5.(-∞,-1)∪(2,+∞)　6.e 7.解 (1)f'(x)=(x>0). 由题意,知曲线在x=1处的切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-=0,解得a=-1. (2)由(1)知,f(x)=-ln x+x+1(x>0),f'(x)=-. 令f'(x)=0,得x1=1,x2=-(舍去). 当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=3,无极大值. 8.B　9.B　10.C　11.D　12.C 13.AC　解析 因为函数f(x)=x2-+x-2,所以f'(x)=2x-a+1.又因为函数f(x)在[0,4]上恰有两个不同的极值点,所以关于x的方程f'(x)=0在(0,4)上恰有两个不同的解.设t=(t∈(0,2)),则关于t的方程2t2-at+1=0在(0,2)上恰有两个不同的解.令g(t)=2t2-at+1,则关于t的方程g(t)=0在(0,2)上恰有两个不同的解,因此 解得2<a<. 14.BCD　解析 设f(x)=x3+ax+b,那么f'(x)=3x2+a.当a≥0时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,f(x)=0必有一实数根,D项满足题意. 当a<0时,由于选项中只有a=-3,故只考虑a=-3即可,此时f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x)=0,得x=1或x=-1.故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减. 故f(x)的极大值为f(-1)=b+2,f(x)的极小值为f(1)=b-2. 若方程只有一个实数根,则需满足b+2<0或b-2>0,解得b<-2或b>2,B,C项满足.故选BCD. 15.[1,5)　解析 f'(x)=3x2+2x-a,函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值,即f'(x)=0在(-1,1)上恰有一个根.又函数f'(x)=3x2+2x-a图象的对称轴为直线x=-,所以应满足所以 所以1≤a<5. 16.4(答案不唯一)　解析 因为f(x)=(x-a)(x-3)2(a∈R),所以f'(x)=(x-3)2+2(x-a)(x-3)=3x2-(2a+12)x+9+6a. 因为当x=3时,f(x)有极大值,所以f'(x)=0有两个根,其中一个根为3,设另一个根为x0,且3<x0, 所以 解得a>3. 17.解 (1)f'(x)=3x2-2x-1. 令f'(x)=0,得x=-或x=1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-) - (-,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)的极大值是f(-)=+a,极小值是f(1)=a-1. (2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1, 由此可知,当x取足够大的正数时,有f(x)>0,当x取足够小的负数时,有f(x)<0,所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点. 由(1)知f(x)极大值=f(-)=+a,f(x)极小值=f(1)=a-1. 因为曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,所以f(x)极大值<0或f(x)极小值>0,即+a<0或a-1>0,所以a<-或a>1.故当a∈(-∞,-)∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点. 18.解 (1)当x>0时,f(x)=(x2-2ax)ex, 所以f'(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+2(1-a)x-2a]ex. 由已知,得f'()=0,所以2+2-2a-2a=0,解得a=1. (2)由(1)知,当x>0时,f(x)=(x2-2x)ex,f'(x)=(x2-2)ex.令f'(x)=0,得x=或x=-(舍去), 所以当x∈(0,)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,f(x)∈[(2-2,0]. 当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,f(x)∈[(2-2,+∞). 而当x≤0时,f(x)=x单调递增,f(x)∈(-∞,0]. 因为函数y=f(x)-m仅有一个零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=m 仅有一个交点,所以m>0或m<(2-2,即实数m的取值范围为(-∞,(2-2)∪(0,+∞). 4 学科网（北京）股份有限公司 $