4.3.2 等比数列的通项公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学等比数列通项公式核心知识点，从拉面拉抻情境引出等比数列，类比等差数列用累乘法、归纳法推导公式，明确首项与公比基本量，结合性质（如m+n=p+q则aₘaₙ=aₚa_q），通过例题与跟踪训练掌握基本量计算及实际问题设项，拓展衍生新数列。 资料以拉面情境导入，引导学生用数学眼光发现现实中等比关系，推导过程类比等差数列培养数学思维中的逻辑推理，性质应用结合指数运算体现数学语言表达。分层例题与检测设计，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固查漏。

4.3.2 等比数列的通项公式 新课导入 拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条.这样拉抻、捏合8次后可拉出多少根细面条？ 第1次是1根， 第2次捏合成（根）； 第3次捏合成（根）； …… 第8次捏合成（根）； 前8次捏合成的面条根数构成一个数列1，2，4，8，16，32，64，128.这个数列具有什么特点？本节课我们一起来探究. 学习目标 1.掌握等比数列通项公式的推导过程，掌握等比数列的通项公式． 2.理解等比数列与指数函数的关系． 3.能够运用等比数列的性质解决相关问题． 新知学习 探究 一 等比数列的通项公式 思考．类比等差数列通项公式的推导过程，试根据等比数列的定义推导它的通项公式. 提示 设一个等比数列的首项是,公比是,则由定义可知 且. 方法一: ,当 时，上式也成立. 方法二： , , , … 由此可得,当 时，上式也成立. ［知识梳理］ 一般地，对于等比数列的第项，有.这就是等比数列的通项公式，其中①_ _ _ _ _ _ 为首项，②_ _ _ _ 为公比. 【答案】； ［例1］ （对接教材例4）在等比数列中，公比为． （1） 若，，求； （2） 若，，求和； （3） 若，，，求项数； （4） 已知，，求． 【答案】 （1） 【解】因为，， 所以. （2） 由题知，，解得,所以. （3） 由题可知，，即, 所以，所以. （4） 在等比数列 中， 因为，， 所以 两式相除并化简得，， 解得 或， 当 时，，则; 当 时，，则. 综上，或． 关于等比数列基本量的运算 （1）基本量：,,,； （2）联系：基本量之间的联系就是通项公式，将条件列出后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算. ［跟踪训练1］．在等比数列中， （1） 若它的前三项分别为5,,45,求; （2） 若,求公比. 【答案】［跟踪训练1］ 解：设数列 的首项为,公比为. （1） 因为,而,, 所以. （2） 显然.由已知得,即,解得 或. 二 等比数列的性质 ［知识梳理］ 1．如果,则有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 2．如果,则有②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 3.如果，均为等比数列，且公比分别为,,那么数列，，，仍是等比数列，且公比分别为,,,. 4.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 . ［例2］ （1） 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知公比为的等比数列的各项都是正数且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 （3） 若等比数列的各项均为正数且,则. 【答案】（1） D （2） B （3） 50 【解析】 （1） 因为数列 是等差数列，且，所以，可得，则 . 因为数列 是等比数列，所以，又， 所以，所以， 所以， 所以. （2） 因为,所以. 又因为,所以， 所以, 所以. （3） 根据等比数列的性质可得,所以.令,则. 利用等比数列的性质解题的基本思路 （1）充分发挥项的下标的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. （2）在等比数列的有关运算中，往往是建立关于,的方程组求解，常常涉及次数较高的指数运算，解起来很麻烦.此时，若利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了. （3）利用条件构造等比数列，但要弄清楚所求的是第几项. 注意 在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. ［跟踪训练2］． （1） 在等比数列中，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 （2） 已知数列，满足.其中是等差数列，若，则_ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 1 012 【解析】 （1） 选.设 的公比是，则，. 因为，所以，. 由等比数列的性质可得， 则，当且仅当 时，等号成立. （2） 因为 为等差数列，设公差为，则,，，则，故 为等比数列， 所以， 所以 . 三 等比数列通项公式的应用 ［例3］ 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数. 【解】 方法一:设前三个数分别为，，，则第四个数为. 由题意得 解得 或 故这四个数为3，6，12，18或，，，. 方法二：设后三个数分别为，，，则第一个数为，因此这四个数为，，，. 由题意得 解得 或 故这四个数为3，6，12，18或，，，. 方法三:设第一个数为，则第四个数为， 设第二个数为，则第三个数为， 则这四个数为，，，. 由题意得 解得 或 故这四个数为3，6，12，18或，，，. 灵活设项求解等比数列的技巧 （1）三个数成等比数列，一般可设为，,. （2）四个数成等比数列，一般可设为,，,或,,,，但前一种设法的公比为,只适合数列的各项同正或同负. （3）五个数成等比数列，一般可设为,,,,. ［跟踪训练3．］ 若四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后所得的数成等差数列，求这四个数. 解：设所求的四个数分别为,,，,则,,,成等差数列. 所以 所以 解得 因此这四个数为3，6，12，24. 拓视野 由等比数列衍生新数列 ［典例］ （多选）已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】不妨设等比数列 的公比为. 对于，不妨取数列 展开为2，4,8,16， ,则 展开为3,5,9,17， ，显然不是等比数列，故 不符合题意；对于，由，则数列 为等比数列，故 符合题意；对于，由，则数列 为等比数列，故 符合题意；对于，当 时，数列 为首项为0的常数列，显然不是等比数列，故 不符合题意. （1）若数列，（项数相同）是等比数列，则,,,,仍然是等比数列； （2）在等比数列中，公比为,等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,,,, 为等比数列，公比为. 注意 由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对的情况. ［练习］．设是各项为正数的无穷数列，是边长为，的矩形的面积，则数列为等比数列的充要条件是（ ） A. 是等比数列 B. ，， ，， 或，， ，， 是等比数列 C. ，， ，， 和，， ，， 均是等比数列 D. ，， ，， 和，， ，， 均是等比数列，且公比相同 【答案】D 【解析】选.因为 是边长为，的矩形的面积，所以，则数列 的通项公式为.根据等比数列的定义，数列 为等比数列的充要条件是（常数且大于0）． 课堂巩固 自测 1．在等比数列中，若，，则（ ） A. 27 B. 9 C. 81 D. 3 【答案】C 【解析】选.设等比数列 的公比为， 由已知得，所以. 2．已知数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由，，易知，故，故 是首项为，公比为4的等比数列，，，故. 3．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． ①； ②. 【答案】（答案不唯一） 【解析】依题意，是等比数列，设其公比为，由于，所以， 由于，所以， 所以 符合题意. 4．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项. （1） 求的公比； （2） 若，，求. 【答案】 （1） 解：设 的公比为，因为 为,的等差中项， 所以,,所以, 因为,所以. （2） 因为，，由等比数列的性质可得： ，所以. 所以. 1.已学习：（1）等比数列的通项公式. （2）等比数列中的基本计算. 2.须贯通：解决等比数列的问题，通常考虑两种方法： （1）基本量法：利用等比数列的基本量，，先求公比，后求其他量. （2）等比数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到. 3.应注意：求解等比数列问题要注意项的符号,做到不重不漏. 课后达标 检测 A 基础达标 1．在等比数列中，，，则（ ） A. 256 B. C. 512 D. 【答案】A 【解析】选.设等比数列 的公比为， 因为，，所以， 所以. 2．已知等比数列的公比为正数且,则（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 3 【答案】B 【解析】选.由已知得，整理得，解得 或.又因为,所以. 3．在等比数列中，,，则（ ） A. 64 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】选.因为 是等比数列，,， 所以， 又，，可得． 4．已知各项都是正数的等比数列的公比，且，，成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】选.根据题意有，即. 因为数列 的各项都是正数，所以，而. 5．已知在数列中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为，, 所以，得， 由，， 得，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以； 同理得数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以； 所以． 6．（多选）已知,都是等比数列，则（ ） A. ,都一定是等比数列 B. 一定是等比数列，但不一定是等比数列 C. 不一定是等比数列，但一定是等比数列 D. ，一定是等比数列 【答案】CD 【解析】选.若，，则，此时 不是等比数列；若，，则，此时 是等比数列. 设，，则，， 所以当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，两个等比数列的积和商一定是等比数列．故选. 7．由正数组成的等比数列中，若，则_ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】由已知，数列 为正项等比数列，所以，所以. 由等比中项性质可知 , 所以 . 8．已知在数列中，，，则_ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】对， 令，得. 所以 是以 为首项，为公比的等比数列， 则，故. 9．若为等差数列，是其前项的和，且,为等比数列，，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为 为等差数列，故，所以， 又因为 为等比数列，，所以，当 时， ； 当 时， . 所以. 10．（13分）已知在正项等比数列中，，，求数列的通项公式. 解：因为,, 所以由题意，得 , 同理得, 因为，所以 解得 或 分别解得 或 所以 或. B 能力提升 11．如图，给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.第一列数构成首项为，公差为 的等差数列，所以.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行数构成首项为，公比为 的等比数列，所以. 12．设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】D 【解析】选.方法一:设等比数列 的公比为, 所以，由，解得,所以.故选. 方法二：令，则.设数列 的公比为,则,所以数列 为等比数列，由题意知,,所以等比数列 的公比，所以，所以.故选. 13．（13分）已知数列的前项和为，且. （1） 求数列的通项公式；（6分） （2） 若数列满足，设，求.（7分） 【答案】 （1） 解：由，得， 两式相减，得， 所以，即. 又因为 时，， 所以，因为， 所以数列 是首项为，公比为 的等比数列. 所以. （2） 由（1）得， 所以. 14．（15分）已知数列,满足，，，，且，. （1） 求证：是等比数列；（6分） （2） 若是递增数列，求实数的取值范围.（9分） 【答案】 （1） 证明：由，， 可得，又，所以， 所以，所以 是首项为1，公比为 的等比数列. （2） 解：方法一: 因为 是递增数列， 所以 对任意 恒成立， 因为， 所以, 则 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立， 由（1）知， 所以 对任意 恒成立， 因为当 时，取得最大值，且最大值为1， 所以，即实数 的取值范围为. 方法二： 由 得， 即， 又， 故数列 是首项为1，公差为 的等差数列，所以， 又由（1）知， 所以， 因为 是递增数列，所以 对任意 恒成立. 所以， 所以， 所以， 因为当 时，取得最大值，且最大值为1， 所以，即实数 的取值范围为. C 素养拓展 15．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意得，十三个单音的频率构成以第一个单音的频率 为首项，为公比的等比数列，所以第八个单音的频率为.故选. 学科网（北京）股份有限公司 $