4.2.2 等差数列的通项公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

4.2.2 等差数列的通项公式 新课导入 等差数列在工作与生活中有很多应用，如在财务领域中等差数列可以用来计算定期存款、定投、定额本息还款等，另外等差数列在物流、工程、地理、医学、教育等领域也有着广泛应用.但是，在日常应用中，我们又如何确定所研究的问题是与等差数列有关的呢？ 学习目标 1.掌握等差数列的通项公式，能利用等差数列的通项公式进行基本的运算. 2.能在实际问题中抽象出等差数列，并解决一些简单的问题． 新知学习 探究 一 等差数列的通项公式 思考．试根据等差数列定义中的递推关系：,推导数列的通项公式. 提示 方法一（累加法） 因为 是等差数列， 所以当 时，, , , … , 上述式子等号两边分别相加得 ,所以.当 时，上式也成立.所以. 方法二（迭代法） 因为 是等差数列， 所以.当 时，上式也成立.所以. ［知识梳理］ 一般地，对于等差数列的第项，有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .这就是等差数列的通项公式，其中②_ _ _ _ _ _ 为首项，③_ _ _ _ 为公差. 【答案】； ； ［例1］ （对接教材） （1） 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 9 （2） 已知圆的半径为5，且，过点的2 026条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） B 【解析】 （1） 令 的公差为，则，即，则. （2） 因为圆 的半径为5，且，过点 的2 026条弦的长度组成一个等差数列，其中最短弦长为，最长弦长为，所以等差数列 的公差为. 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，称为“知三求一”． ［跟踪训练1］． （1） 设是公差为正数的等差数列，若，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. （2） 已知在等差数列中，，，，则. 【答案】（1） B （2） 53 【解析】 （1） 选.设公差为，， 则 解得，， 所以. （2） 由题意知 解得. 则，解得. 二 等差数列项的性质 ［知识梳理］ （1）通项公式的推广：. （2）若，则；特别地，若,则. ［例2］ （对接教材例4）已知数列为等差数列，且公差为. （1） 若，，求的值； （2） 若，，求公差. 【答案】 （1） 【解】方法一:由题意得 解得 故. 方法二：因为 为等差数列， 所以， 所以. 方法三：因为 为等差数列， 所以，，也成等差数列， 则， 所以. （2） 由， 得， 所以. 由 解得 或 所以 或. 等差数列项的性质的运用技巧 （1）对于，应注意式子的结构，灵活转化，如. （2）有关等差数列的问题中，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． ［跟踪训练2］．已知为等差数列，,则（ ） A. 10 B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】选.方法一：设等差数列 的公差为,则,即.故. 方法二：由等差数列的性质知,则.故. 三 等差数列的实际应用 ［例3］ 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元.从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 【解】 设从第1年起，第 年的利润为，则,, 所以每年的利润 可构成一个等差数列，且公差,所以. 当 时，该公司经销这种产品将亏损.由,得, 故从第12年起，该公司经销这一产品将亏损. 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按一定次序“定量”增加或减少，那么这组数成等差数列. 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题. ［跟踪训练3］．在通常情况下，从海平面到高空，海拔每增加，气温就下降一固定数值.如果海拔高空的气温是，海拔高空的气温是，那么海拔高空的气温是多少？ 解：设海拔 高空的气温为，则 成等差数列，且，，设公差为， 则，所以， 所以， 所以海拔 高空的气温是. 拓视野 构造新等差数列的相关问题 等差数列中插入个数得到新等差数列，然后求新数列的公差、通项公式及求新数列中的项是原数列的第几项的问题，此处对其进行探讨及研究. ［典例］ 已知等差数列，1，4，7，10， ，现在在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列. （1） 求新数列的通项公式； （2） 是原数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，请说明理由. 【答案】 （1） 【解】设原等差数列为，公差为,,,则,则, 因为每相邻两项之间插入一个数，则数列 的公差， 所以. （2） 由题知数列 的各项依次是数列 的第1，3，5，7， 项，这些下标构成一个首项为1，公差为2的等差数列， 则. 令，解得， 所以 不是原数列中的项. 设等差数列的公差为,在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,设其公差为,则,,,, , 则数列的公差, 则数列的通项公式为. 等差数列中的项在新的等差数列中间隔排列，且下标是以1为首项，为公差的等差数列, 所以的通项公式为, 设是数列的项，令, 若解得,则是数列的第项； 若解得，则不是数列中的项. ［练习1］．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则. 【答案】56 【解析】易知数列 与 分别是以2，3为公差，2为首项的等差数列，则新的数列 是以2为首项，6为公差的等差数列，所以,故. ［练习2］．已知等差数列的首项为，公差为，若以第2项为首项，每隔两项取出一项组成一个新的数列. （1） 证明：是等差数列,并求其公差； （2） 为数列的第几项? 【答案】（1） 证明：由题意知，当 时，，即数列 是等差数列，公差为. （2） 解：由题意， 则, 令，即， 即， 解得，, 即 为数列 的第 项. 课堂巩固 自测 1．（教材P145T2改编）2 024是等差数列4，6，8， 的（ ） A. 第1 010项 B. 第1 009项 C. 第1 012项 D. 第1 011项 【答案】D 【解析】选.由，，得，令，即，得. 2．已知在数列中，，，那么这个数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为，所以数列 是以2为首项，3为公差的等差数列，则，. 3．已知在等差数列中,,则_ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】由,得,所以，根据等差数列的性质，可得. 4．假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座位.若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有个座位. 【答案】37 【解析】由题意可知，体育场该角看台的座位数成等差数列，设为， 则，. 由通项公式可得 解得 所以. 故体育场该角看台的第12排有37个座位. 1.已学习：（1）等差数列的通项公式. （2）等差数列中项的性质. 2.须贯通：（1）运用通项公式求基本量. （2）运用等差数列的性质求解等差数列. 3.应注意：实际问题中等差数列的建模． 课后达标 检测 A 基础达标 1．设数列是公差为的等差数列，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】选.由 解得. 2．已知等差数列的通项公式为，则数列的首项与公差分别是（ ） A. 1，4 B. ， C. 4，1 D. ， 【答案】B 【解析】选.当 时，,当 时，,所以公差. 3．[（2025·镇江期中）]在等差数列中，若,,则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】选.设等差数列 的公差为,由,,得,所以. 4．已知数列中，,,，且是等差数列，则（ ） A. 36 B. 37 C. 38 D. 39 【答案】A 【解析】选.因为,，所以，故数列 的首项为3，公差为2，所以，所以． 5．在数列中，,,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为，所以 为公差为1，首项为 的等差数列，故，所以，因为，所以，.故选. 6．（多选）设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】选.因为，， 所以， 数列 中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项， ， 所以,,,故 错误，正确； 设数列 中的第 项是数列 中的第 项， 则， 所以当 时，，故，所以 正确. 故选. 7．已知在等差数列中，，，则． 【答案】20 【解析】设等差数列 的公差为， 由题意得 解得 则. 8．已知数列是等差数列，若，，且，则. 【答案】18 【解析】设数列 的公差为，因为，所以.因为，所以，所以.所以，即，解得. 9．诺沃尔在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次．从发现那次算起，彗星第10次出现的年份是_ _ . 【答案】2487 【解析】由题意可知，彗星出现的年份构成一个公差，首项 的等差数列，所以，当 时，，所以彗星第10次出现的年份是2487. 10．（13分）在等差数列中，，. （1） 求数列的第8项；（3分） （2） 112是数列中的第几项？（5分） （3） 在80到110之间有多少项？（5分） 【答案】 10．解：设数列 的公差为， 则 解得 （1） . （2） ， 由， 解得. 所以112是数列 中的第39项． （3） 由， 解得， 所以 的取值为29,30， ，38，即在80到110之间有10项． B 能力提升 11．（多选）在7和21之间插入个数，使这个数成等差数列，则该等差数列的公差可以是（ ） A. B. 7 C. 5 D. 3 【答案】AB 【解析】选.依题意，这个等差数列的公差,， 当 时，，符合题意；当 时，，符合题意； 显然不存在正整数，使得 取5和3，不符合题意. 故选. 12．已知等差数列的首项，而，则_ _ _ _ . 【答案】0 【解析】等差数列 的首项，，则. 13．已知数列与均为等差数列,且，则. 【答案】10 【解析】设等差数列 的公差为,则, 所以，根据等差数列的性质可知,即,所以,所以. 14．（13分）某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元．设为购买件这类上衣所花费的金额（元），求. 解：设当购买 件商品时，每件的单价为 元， 则数列组成以 为首项，为公差的等差数列． 又单价不能低于160元， 则，解得. 所以当 时，. 综上所述，得 . 从而. C 素养拓展 15．（13分）若数列对于，都有为常数，则称数列是公差为的准等差数列.例如则数列是公差为8的准等差数列.设数列满足：，对于，都有. （1） 求证：数列为准等差数列；（5分） （2） 求数列的通项公式.（8分） 【答案】 （1） 证明：因为，① 所以，② 得， 所以数列 是公差为2的准等差数列. （2） 解：因为，， 所以，即. 因为，，， 是以 为首项，2为公差的等差数列， ，，， 是以 为首项，2为公差的等差数列， 所以当 为偶数时，; 当 为奇数时，. 所以 学科网（北京）股份有限公司 $