4.2.1 等差数列的概念-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 新课导入 我国有用十二生肖纪年的习惯，例如：2025年是蛇年，从2025年开始，蛇年的年份为2025，2037，2049，2061，2073，2085， .这些年份有什么特点？ 学习目标 1.理解等差数列、等差中项的概念． 2.掌握等差数列的判定与证明方法． 新知学习 探究 一 等差数列的概念 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. （1）我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45,44,43,42,41,40， ； （2）为增强学生体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10. 思考．以上数列有什么共同特征？ 提示 对于（1），我们发现,， .该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于（2）， ，有同样的取值规律（从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数）. ［知识梳理］ 1．定义：一般地，如果一个数列从①_ _ _ _ _ _ 起，每一项减去它的前一项所得的差都等于②_ _ _ _ _ _ 常数，那么这个数列就叫作等差数列. 【答案】第二项； 同一个 2．公差：这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用③_ _ _ _ 表示. 【答案】 ［例1］ （1） 下列数列中为等差数列的是（ ） A. B. C. D. （2） （多选）下列数列不是等差数列的是（ ） A. ，，， ， , B. 1，11，111，1111， C. 1，3，5， ，， D. 0，1，3， ，， 【答案】（1） A （2） BD 【解析】 （1） 对于，，相邻两项的差为常数，是等差数列；对于，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列;对于,,相邻两项的差不为常数，不是等差数列.故选. （2） 选项 中，后项减前项所得差均为0，是等差数列；选项 中，，不是等差数列；选项 中，后项减前项所得差都是2，是等差数列；选项 中，，不是等差数列. 利用定义法判断等差数列 从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若等于同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. ［跟踪训练1］． （1） 下列数列不是等差数列的是（ ） A. 0,0,0, ,0, B. ,,0, ,, C. 1,,, ,,… D. 1,,1, ,, （2） （多选）以下能构成等差数列的是 A. 2，2，2，2 B. ，，， C. ，，， D. ，， 【答案】（1） D （2） ACD 【解析】 （1） 选.对于，数列为常数列，是等差数列；对于，，所以数列是公差为1的等差数列；对于，，所以数列是公差为 的等差数列；对于，，所以数列不是等差数列.故选. （2） 选 是公差为0的等差数列；不是等差数列；是公差为 的等差数列；是公差为2的等差数列.故选. 二 等差数列中的基本计算 ［例2］ （对接教材例4）记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】等差数列 的公差为，由 是 与 的等差中项，得，即，整理得，而，所以 的值为1. 等差数列中的基本计算 （1）回归定义：若几个数成等差数列，严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知量． （2）等差中项应用：如果，，这三个数成等差数列，那么.我们把叫作和的等差中项；若证为等差数列，可证. ［跟踪训练2］． （1） 在数列中，，，则数列是（ ） A. 公差为1的等差数列 B. 公差为的等差数列 C. 公差为2的等差数列 D. 不是等差数列 （2） 已知1,,,10构成等差数列,则,的值分别为_ _ . 【答案】（1） B （2） 4，7 【解析】 （1） 选.由 得，即，又，所以数列 是以2为首项，为公差的等差数列，错误，正确.故选. （2） 由已知得,是1和 的等差中项,即,① 是 和10的等差中项,即,② 联立①②，解得,. 三 等差数列的判定与证明 ［例3］ 已知数列满足，且. 证明：数列是等差数列. 【证明】 由，得 ， 得，， 又， 故数列 是首项为1，公差为 的等差数列. 母题探究．已知，若，证明：为等差数列. 证明：由于， 所以，又，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列. 证明等差数列的常用方法 （1）定义法：（常数）是等差数列；（常数）是等差数列. （2）等差中项法：是等差数列. ［跟踪训练3］．若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（ ） A. 数列，，， ，, 为等差数列 B. 数列，，， ，， 为等差数列 C. 数列为等差数列 D. 数列为等差数列 【答案】C 【解析】选 选项，因为 为等差数列，所以设 为常数，，，又，所以数列 也为等差数列，故 正确；选项，，所以数列 为等差数列，故 正确；选项，，不是常数，故 不是等差数列，故 错误；选项，，所以数列 为等差数列，故 正确.故选. 课堂巩固 自测 1．已知数列的通项公式为，则此数列是（ ） A. 公差为2的等差数列 B. 公差为5的等差数列 C. 公差为7的等差数列 D. 公差为3的等差数列 【答案】A 【解析】选.因为，所以数列 是公差为2的等差数列. 2．（多选）下列数列中是等差数列的有（ ） A. ,, B. 2,4,6,8, ,, C. ,,, D. 【答案】ABD 【解析】选.对于，由于，故是等差数列，故 正确； 对于，2，4，6，8， ，，中，，是等差数列，故 正确； 对于，因为，，又，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，不是等差数列,故 错误； 对于，由 得，满足等差数列定义，故 正确.故选. 3．已知和的等差中项是8，和的等差中项是10，则和的等差中项是_ _ _ _ . 【答案】6 【解析】由题意得 所以，所以,所以. 4．设数列满足当时，，且.求证：数列为等差数列． 证明：根据题意 及递推关系知.因为.取倒数得， 即，且，又，所以数列 是首项为5，公差为4的等差数列． 1.已学习：（1）等差数列的概念. （2）等差数列中的计算问题. 2.须贯通：判断一个数列是不是等差数列的常用方法：定义法和等差中项法. 3.应注意：数列中项的下标与的取值范围易出错. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下列数列中，不是等差数列的是（ ） A. 1,4,7,10 B. ，，， C. ,,, D. 10,8,6,4,2 【答案】C 【解析】选，，项满足等差数列的定义，是等差数列；中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列． 2．在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】选.因为 是 和 的等差中项，所以，即，.故选. 3．已知数列是等差数列，若，，则（ ） A. B. 9 C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】选.因为数列 是等差数列，，所以.又，所以.故选. 4．[（2025·江苏期末）]“”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】选.如果数列 是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有,必要性成立；反之 成立，不一定有数列 是等差数列，充分性不成立. 5．在数列中，,，若为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由 为等差数列得，解得.故选. 6．（多选）若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ） A. B. C. ,为常数 D. 【答案】BCD 【解析】选.对于，数列,1,3是等差数列，取绝对值后1,1,3不是等差数列，故 不符合题意；对于，若 为等差数列，根据等差数列的定义可知数列 为常数列，故 为等差数列，故 符合题意；对于，若 为等差数列，设其公差为，则，故 为等差数列，故 符合题意；对于，若 为等差数列，设其公差为，则 为常数，故 为等差数列，故 符合题意，故选. 7．已知数列是等差数列，且，，则该等差数列的公差_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】由等差数列的定义可知，所以，故公差. 8．在和6之间插入两个数,,使这四个数成等差数列，则公差为_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】由题意,在 和6之间插入两个数,，使这四个数成等差数列，可列方程组为 解得 则这四个数为，0，3，6,所以公差为3. 9．已知数列满足，且，，则_ _ _ _ . 【答案】5 【解析】由题可知，故根据等差数列的定义知 是以8为公差的等差数列，所以，，，又,所以. 10．（13分）已知数列满足，，令.求证：数列是等差数列. 证明：由题可得， , 即,又, 所以 是首项为1，公差为 的等差数列. B 能力提升 11．《九章算术》中有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（ ） A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 3斤 【答案】B 【解析】选.依题意，设金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，且首项为，，,所以. 12．已知数列满足，记，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.对于，由已知可得，故 错误；对于，由已知可得，，，故 错误；对于，由已知可得，，故 正确；对于，由已知可得，，，即，所以.故 错误.故选. 13．已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中,,,那么_ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ . 【答案】3； 【解析】因为第三行的四个数成等差数列，,,所以, ,解得,因为第二列的四个数成等差数列，所以,解得. 14．（13分）已知数列中，，. （1） 求,,的值；（6分） （2） 证明数列是等差数列.（7分） 【答案】（1） 解：在数列 中，，，令，得；令，得；令，得.所以,,. （2） 证明：由，，得，，即，所以数列 是以 为首项，为公差的等差数列. C 素养拓展 15．（13分）已知数列满足,. （1） 当时，求 及的值；（5分） （2） 是否存在 ，使数列为等差数列？请说明理由.（8分） 【答案】（1） 解：因为,所以,又,,所以,所以. （2） 不存在.理由如下： 因为,,所以,.若数列 为等差数列，则,即,所以.因为，所以方程无实数解，所以 不存在.即不存在 ,使数列 为等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $