4.1 数列-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

第4章 数列 4.1 数 列 新课导入 奥林匹克运动会每四年举办一次，北京在2008年举办奥运会，中国在第23届（1984年）美国洛杉矶夏季奥运会上获得首枚金牌，从第23届起，奥运会的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016, ,显然北京奥运会是第29届，这就是今天我们要学习的数列. 学习目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示法. 2.掌握数列通项公式的概念及应用. 3.理解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 新知学习 探究 一 数列的有关概念及通项公式 观察以下几列数： （1）全体正偶数按从小到大的顺序排成一列数：2，4，6，8，10， ； （2）当分别取1，2，3，4，5， 时，的值排成一列数：，1，，1，， ； （3）某公司职员2024年月工资，按月顺序排列为，，， ，. 思考．试分析上述例子中的共同点. 提示 数字都有确定的顺序. ［知识梳理］ 1．数列及其相关概念 （1）定义：按照①_ _ _ _ _ _ _ _ 排列的一列数称为数列. （2）项：数列中的②_ _ _ _ _ _ 都叫作这个数列的项. （3）形式：数列的一般形式可以写成,,, ，, ，简记为，其中称为数列的第1项或③_ _ ，称为第2项称为第项. （4）数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数④_ _ 的数列 无穷数列 项数⑤_ _ 的数列 【答案】一定次序； 每个数； 首项； 有限； 无限 2．函数与数列的关系 数列可以看成以⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或它的有限子集,2, ,为定义域的函数⑦_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】正整数集； 3．数列的通项公式 一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用⑧_ _ _ _ _ _ _ _ 来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式. 【答案】一个公式 ［例1］ （1） 数列,,,, ，则该数列的第项为（ ） A. B. C. D. （2） 数列2，0，2，0， 的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. （3） 根据下面图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式，_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】（1） D （2） D （3） 【解析】 （1） 设该数列为， 则,,,, , 以此类推可得. （2） 对于，当 时，，不符合题意；对于，当 时，，不符合题意；对于，当 时，，不符合题意；对于，当,时，，当,时，，符合题意.故选. （3） 设题中各个图形对应的点数为,,观察可知，，， ,故.作图略. 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 （1）先统一各项的结构，如都化成分数、根式等形式； （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式； （3）对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理； （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. ［跟踪训练1］． （1） 已知一组数据2，5，10，17，26， ，按此规律可以得到第100个数为（ ） A. 9 802 B. 9 991 C. 10 001 D. 10 202 （2） 35是数列3，5，7，9， 的 A. 第16项 B. 第17项 C. 第18项 D. 第19项 【答案】（1） C （2） B 【解析】 （1） 选.因为2，5，10，17，26， 的一个通项公式为，所以第100个数为. （2） 选.数列3，5，7，9， 的通项为，由，得，所以35是数列3，5，7，9， 的第17项.故选. 二 数列的递推公式 看下面例子： （1）1，2，4，8，16； （2）1，4，7，10，13. 思考．请同学们分析一下（1）与（2），从第二项起，后一项与前一项有怎样的关系？ 提示 （1）. （2）. ［知识梳理］ 一般地，如果已知一个数列的第1项（或前几项），且任一项①_ _ _ _ _ _ _ _ 与它的前一项②_ _ _ _ _ _ _ _ （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式. 【答案】； ［例2］ （1） 若数列满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. （2） 已知数列满足，，，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 由题意，,,,，又,, ，所以数列 是周期为3的周期数列，所以. （2） 因为，，，所以，所以 为常数列，且，所以. 由递推公式写出数列的项的方法 （1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可. （2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式;若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式. 注意 由递推公式写出数列的项时，易忽视对数列的周期的判断，导致陷入思维误区. ［跟踪训练2］．已知数列满足，且，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】选.因为，且，所以，解得，，解得，，解得.故选. 三 数列通项公式的简单应用 ［例3］ 已知数列的通项公式为，它的前30项中最大项是第几项？最小项是第几项？ 【解】 ，当 时，数列 单调递减，且；当 时，数列 单调递减，且．所以该数列的前30项中最大项是第10项，最小项是第9项． （1）利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第项与它的位置序号之间的关系,只要用序号代替公式中的,就可以求出数列的相应项. （2）判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第项，然后列出关于的方程.若方程解为正整数，则是该数列中的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的一项. （3）求数列最大（小）项的方法 可以利用数列的图象或者数列的性质求数列的最值. ［跟踪训练3］． （1） 323是数列的第项. （2） 已知数列满足,，则数列的最大项为第_ _ _ _ 项． 【答案】（1） 17 （2） 4 【解析】 （1） 由，解得（负值舍去）. 所以323是数列 中的第17项. （2） 由题意，，, 故， 令，解得；令，解得. 故当 时，；当 时，， 故数列 的最大项为第4项. 拓视野 数列的函数特性 数列是一类特殊的函数——数列可以看作是定义在正整数集或其有限子集，2，3， ，上的函数当自变量按从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.数列的通项公式（若存在）体现了数列的项与其项数之间的对应关系，实质就是一个函数解析式，定义域为正整数集（或其有限子集）. ［典例1］ 已知数列满足,证明：数列单调递减. 【证明】 方法一（作商比较法）：因为 恒成立且，所以数列 单调递减. 方法二（作差比较法）：因为 恒成立，所以数列 单调递减. 解决数列单调性问题的两种方法 （1）作差比较法：根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或常数列； （2）作商比较法：根据或与1的大小关系进行判断. ［典例2］ 已知数列的通项公式为,若数列为递增数列，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】方法一（作差法）：由数列 为递增数列，知 恒成立，即 恒成立. 又,所以,故 的取值范围是. 方法二（函数性质法）：, 由于,且数列 为递增数列，结合二次函数的图象可得,解得, 故 的取值范围是. 已知数列为单调递增（减）数列，等价于对任意的都有成立，从而转化为参数的不等式，解不等式，即可求出参数的取值范围. ［练习1］．已知数列满足,且,则数列是（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 以上都不是 【答案】B 【解析】选.因为,,所以，故数列 为递减数列. ［练习2］．（多选）数列满足,则（ ） A. 数列的最大项为 B. 数列的最大项为 C. 数列的最小项为 D. 数列的最小项为 【答案】BD 【解析】选.因为,所以, 由,得到,又,则,所以. 令,即 时，, 令,即 时，, 所以 ， 所以数列 的最大项为,最小项为. 课堂巩固 自测 1．下列说法中正确的是（ ） A. 如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B. 数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C. 数列的第项为 D. 数列0，2，4，6， 可记为 【答案】C 【解析】选.对于，数列可为常数列，故 错误；对于，一个为递减数列，一个为递增数列，不是相同数列，故 错误；对于，当 时，，故 正确；对于，该数列中的第一项不能用 表示，故 错误.故选. 2．已知数列满足，若，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】选．由题意可得，， ，， ，， ，， ，， 若， 则.故选. 3．现给出一组数：,,,,，根据规律可写出它的第6个数是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】,,,,可写为,,,,,所以第 个数为，则第6个数为. 4．若满足：，则满足上述条件数列的一个通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】（答案符合条件即可） 【解析】因为，即数列 单调递减，所以满足上述条件数列 的一个通项公式可以为． 1.已学习：（1）数列的概念.（2）数列的表示.（3）数列的通项公式. 2.须贯通：（1）求通项公式的方法. （2）求数列的最大（小）项的方法. 3.应注意：数列中不要忽略. 课后达标 检测 A 基础达标 1．数列,4,,20, 的一个通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.选项，，不符合题意；选项，，不符合题意；选项，，不符合题意；而选项 中的通项公式满足数列,4,,20.故选. 2．[（2025·南通期中）]已知数列满足,且,则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】选.因为, 令,可得; 令,可得; 令,可得; 令,可得. 3．[（2025·徐州期中）]已知数列的通项公式为,则146是该数列的（ ） A. 第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项 【答案】D 【解析】选.令,则（负值舍去），则146是该数列的第12项. 4．若数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】选.数列 满足，且，，，，， ,则数列 是以4为周期的周期数列，即，所以.故选. 5．（多选）已知数列中，，，下列选项中能使的有（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】AD 【解析】选.因为，，所以,,，所以数列 是以3为周期的周期数列，所以，故.故选. 6．（多选）下列命题中正确的是（ ） A. 数列，，，， 的一个通项公式是 B. 数列的图象是一群孤立的点 C. 数列1，，1，， 与数列，1，，1， 是同一个数列 D. 数列，， ，中每一项都比它的后一项大 【答案】BD 【解析】选.由通项公式知,故 不正确；易知 正确；因为两个数列中数的排列次序不同，所以不是同一个数列，故 不正确；由题易知 正确. 7．已知数列满足，且，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，得，则. 8．在数列中，，，，则_ _ _ _ ． 【答案】4 【解析】因为，，，所以， 则，，则，，则，，则， ， 由此可得数列 的奇数项均为1，偶数项依次为3，，3，， ， 整个数列各项为1,3,1,,1,3,1,,1,3,1,, ， 故数列 是以4为周期的周期数列， 则,， 所以． 9．已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，得，，，，． 又，，又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 的最大值为． 10．（13分）在数列中，，且，求数列的通项公式. 解：由题设，所以，且，显然 满足上式，所以. B 能力提升 11．数列满足，，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】选.由，得， 因为，所以，， ， ， 所以数列 是以3为周期的周期数列， 因为， 所以 的最大值为. 12．已知数列满足,，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意得,,，， ，所以数列 是周期为4的周期数列，且每个周期的积为.故由 可知. 13．（13分）已知数列的通项公式为. （1） 求数列的第10项；（4分） （2） 是不是该数列中的项？为什么？（4分） （3） 在区间内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由.（5分） 【答案】13．解：. （1） 令，得. （2） 令，得. 此方程无正整数解，所以 不是该数列中的项. （3） 令，则 解得.又，所以. 所以在区间 内有数列中的项，且只有一项. 14．（13分）已知数列的通项公式为. （1） 数列的第几项最大，最大项为多少？（6分） （2） 若，求正整数的最小值.（7分） 【答案】 （1） 解：因为，且，所以当 或 时，最大. 又， 故数列 的第2，3项最大，最大项为38. （2） 因为函数 的图象开口向下，且对称轴方程为， 所以可知数列 从第3项起单调递减. 又，，，， 所以若，则. 所以正整数 的最小值是9. C 素养拓展 15．[（2025·南京期中）]某个软件公司对软件进行升级，将序列升级为新序列,中的第项为，若的所有项都是3，且,,则_ _ _ _ . 【答案】8 【解析】由题意得，,,, 因为 的所有项都是3， 所以,,, 由 得,解得, 由 得,解得, 由 得,解得. 学科网（北京）股份有限公司 $