3.3.1 抛物线的标准方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

3.3 抛物线 3.3.1 抛物线的标准方程 新课导入 美丽的喷泉、绽放的烟花等视觉盛宴来自条条抛物线，在初中我们已经学习过抛物线（二次函数的图象），我们能否像学习圆、椭圆、双曲线那样对抛物线进行更深入的研究呢？ 学习目标 1.理解并掌握抛物线的定义，并会应用其解决相关问题． 2.理解并掌握抛物线的标准方程，掌握求抛物线标准方程的方法． 3.了解抛物线定义的实际应用． 新知学习 探究 一 抛物线的定义及标准方程 思考1．已学习过的哪些知识与抛物线有关？ 提示 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，二次函数的图象是抛物线. 思考2．在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 提示 它的对称轴垂直于 轴，开口向上或向下. ［知识梳理］ 1．抛物线的定义 （1）定义：平面内到一个定点和一条定直线不在上)的距离①_ _ 的点的轨迹叫作抛物线. （2）焦点：定点叫作抛物线的焦点. （3）准线：定直线叫作抛物线的准线. 【答案】相等 2．抛物线标准方程的4种形式 标准方程 图形 焦点坐标 ②_ _ _ _ _ _ _ _ ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准线方程 开口方向 向右 向左 向上 向下 【答案】； ； ； ［例1］ （1） 若点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 （2） （对接教材例1、例2）求满足下列条件的抛物线的标准方程： ① 焦点在轴上且其到准线的距离为6; ② 过点. 【答案】（1） D （2） ① 【解】由题意知，抛物线开口向左或开口向右，所以抛物线的标准方程是 或. ② 由于点 在第二象限，所以过点 的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左，焦点在 轴上，设其标准方程为. 将点 代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； 若抛物线开口向上，焦点在 轴上，设其标准方程为. 将点 代入，可得，所以，所以抛物线的标准方程为. 综上所述，所求抛物线的标准方程为 或. 【解析】 （1） 选.依题意，动点 到点 的距离等于其到定直线 的距离，且点 不在直线 上，因此动点 的轨迹是抛物线. （1）求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为 ①依据条件设出抛物线的标准方程的类型. ②求参数的值. ③确定抛物线的标准方程. （2）利用轨迹法求抛物线的标准方程 ①直接法 ②几何法 注意 当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设或的形式，以简化讨论过程. ［跟踪训练1］． （1） （多选）经过点的抛物线的标准方程可以为（ ） A. B. C. D. （2） 已知抛物线的准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） AC （2） (答案不唯一，或，或，或 【解析】 （1） 选.当抛物线的焦点在 轴上时，设抛物线的方程为， 又因为抛物线经过点， 所以，解得， 所以抛物线的方程为. 当抛物线的焦点在 轴上时，设抛物线的方程为， 又因为抛物线经过点， 所以，解得， 所以抛物线的方程为. 综上，抛物线的方程为 或. （2） 由题意得若抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为原点， 则抛物线 的准线方程可能为，，，， 所以抛物线 的标准方程可能为，，，. 二 抛物线的定义及标准方程的应用 ［例2］ （1） 设抛物线的焦点为，若点在上，则（ ） A. B. C. D. （2） 若是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 方法一:因为点 在 上，所以，得，所以抛物线的准线方程为.由抛物线的定义知，等于点 到准线的距离，即. 方法二：因为点 在 上，所以，得，所以,，所以，所以. （2） 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离.由图可知，当点，点 和抛物线的焦点，三点共线且点 在第一象限时，所求距离之和最小，所以最小距离. 母题探究．若将本例（2）中的点改为点，其他条件不变，求的最小值. 解：将 代入，得，所以点 在抛物线内部. 因为 为抛物线上的一个动点， 点 到准线(设为 的距离为，则.由图可知，当 时，最小，最小值是.即 的最小值是. 抛物线定义的2种应用 （1）实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题. （2）解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题. ［跟踪训练2］． （1） 已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，,则线段的中点到轴的距离为（ ） A. B. 1 C. D. （2） 已知定长为3的线段的端点，在抛物线上移动，则的中点到轴距离的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段 的中点到 轴的距离为. （2） 如图，设点 是抛物线 的焦点，过，两点分别作其准线的垂线，，过 的中点 作准线的垂线，，，为垂足， 则. 由抛物线的定义，知，， 所以. 设点 的横坐标为， 则，， 当线段 过焦点 时，等号成立，此时点 到 轴的最短距离为. 三 抛物线的实际应用 ［例3］ 某学习小组研究一种卫星接收天线（如图1所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图2所示）.已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_ _ . 【答案】0.9 【解析】如图所示， 在接收天线的轴截面所在平面建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在 轴上，设抛物线方程为，代入，所以，解得，所以抛物线方程为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为. 求解抛物线实际应用题的步骤 ［跟踪训练3］．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱的顶端处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点离地面，点到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面上以为圆心，以为半径的圆上，则管柱的高度为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，把点 代入方程中，得，解得，所以抛物线方程为. 把 代入方程中，得，即，所以，所以管柱 的高度为. 课堂巩固 自测 1．准线与轴垂直，且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意可设抛物线的标准方程为， 则，解得， 因此抛物线的标准方程是. 2．若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】选.设，，由抛物线方程知，， 即， 所以线段 的中点 到 轴的距离为.故选. 3．（多选）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且,则抛物线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.由题意得 解得 或， 当 时，抛物线方程为； 当 时，抛物线方程为. 4．如图所示，设是曲线上的动点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为_ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图，设抛物线的焦点为，连接，. 因为抛物线的方程为， 所以准线方程为，焦点， 所以点 到点 的距离与点 到准线 的距离之和为， 则，当，，三点共线时 取得最小值， 此时，即所求最小值为. 1.已学习：抛物线的定义和标准方程. 2.须贯通：（1）抛物线定义的应用. （2）求抛物线标准方程的方法. 3.应注意：直线与抛物线的位置关系的讨论. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下列拋物线中，焦点坐标为，的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题可设抛物线的标准方程为，则，所以，所以抛物线的标准方程为. 2．[（2025·南通期中）]已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为 为抛物线 上一点，所以，解得，所以抛物线 的方程为，所以准线方程为. 3．若点到点的距离比它到直线的距离小2，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意可知点 到点 的距离与到直线 的距离相等，故点 的轨迹是以 为焦点，为准线的抛物线，所以点 的轨迹方程为. 4．已知抛物线上一点到焦点的距离为6，则的中点到轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】选.由已知抛物线的焦点，准线，又点 到焦点 的距离为6，结合抛物线定义可知，点 到准线的距离，则，所以 中点的横坐标，即 的中点到 轴的距离为3. 5．[（2025·北京期末）]已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】选.抛物线 的焦点，准线，过点 作 于点，交 轴于点，则，， 记点 为点，于是，当且仅当 为线段 与抛物线的交点时取等号，所以点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和的最小值为2. 6．（多选）已知为抛物线的焦点，点在上且，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.抛物线 的焦点坐标为，准线方程为，设，因为，所以，解得，所以，解得，所以 或，则 或，所以直线 的方程为 或，即 或.故选. 7．已知抛物线，则其焦点到准线的距离为 _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 得，所以抛物线的焦点到准线的距离. 8．[（2025·天津期中）]已知抛物线的焦点为,为坐标原点，点在抛物线上，且, ，则_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】 过点 作 垂直抛物线的准线，垂足为，过点 作 于点，由于, ，则 ，故,所以，故. 9．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意，抛物线 的焦点为，准线方程为，设，因为，可得，则，即，则 的面积. 10．（13分）求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1） 顶点在原点，准线方程为；（4分） （2） 顶点在原点，且过点；（4分） （3） 焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.（5分） 【答案】 （1） 解：由题意可知抛物线的焦点在 轴负半轴上，且,， 故抛物线的标准方程为. （2） 由题意知抛物线的焦点可能在 轴正半轴或 轴负半轴上，则设抛物线的标准方程为 或， 分别将 代入，则，，解得，， 故抛物线的标准方程为 或. （3） 由抛物线的焦点在 轴上，且点 在抛物线上， 得抛物线的焦点在 轴正半轴上， 则设抛物线方程为，焦点为,，准线方程为， 又因为抛物线上一点 到焦点的距离为5， 根据抛物线的定义，得,，故抛物线的标准方程为. B 能力提升 11．已知直线，抛物线的准线是，点是上一点，若点到直线，的距离分别是，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.抛物线 的焦点是,，准线，设点 到直线 的距离为，则，所以，当且仅当 且 在 与 之间时等号成立，所以 的最小值是. 12．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为_ _ . 【答案】3.8 【解析】由题意，建系如图所示. 则，，，，由图可设，抛物线方程为，将 代入，可得，求得，故抛物线方程为，将 代入抛物线方程，可得，则. 13．[（2025·扬州期中）]（13分）已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，，为拋物线上两点. （1） 求拋物线的标准方程及其准线方程；（6分） （2） 若，求线段的中点到轴的距离.（7分） 【答案】 （1） 解：由题知双曲线, 所以,，所以，即双曲线的上焦点为， 则抛物线的焦点为，可设抛物线 的标准方程为， 则，， 所以抛物线 的标准方程为， 其准线方程为. （2） 设，，线段 的中点记为，由， 得， 即，所以， 即线段 的中点到 轴的距离为2. 14．（15分）已知圆，圆心到抛物线的准线的距离为，圆截直线所得弦长为. （1） 求圆的方程；（6分） （2） 若，分别为圆与抛物线上的点，求，两点间距离的最小值.（9分） 【答案】 （1） 解：抛物线 的准线为直线， 圆 的圆心， 因为，所以， 解得，又 到直线 的距离， 所以， 则， 所以圆. （2） 设，则， 所以 ， 当 时，取最小值， 又圆 的半径为， 所以圆 与抛物线 无公共点，且 的最小值为. C 素养拓展 15．[（2025·衡水期末）]已知点在抛物线上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】选.因为抛物线 的焦点到准线的距离为2，所以.表示点 到 轴的距离与点 到直线 的距离 之和的 倍，设抛物线的焦点为，则点 到 轴的距离为，故，设点 到直线 的距离为，如图，由图知， 所以 的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $