3.1.1 椭圆的标准方程（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义及标准方程，以必修圆锥曲线知识为基础，通过行星轨迹、球影轮廓等生活实例导入，结合绳画椭圆动手操作引出定义，分步骤推导标准方程，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光观察（生活实例激发兴趣）、数学思维思考（严谨推导与逻辑推理，如例2用定义法求距离和）、数学语言表达（表格对比焦点位置方程），助力学生发展抽象能力与推理意识，教师可借助丰富案例与分层练习提升教学效率。

3.1 椭圆 第三章 圆锥曲线与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 3.1.1 椭圆的标准方程 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 在必修课程的“数学建模与数学探究”中，我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截面与圆锥面的交线是一个圆. 改变平面与圆锥轴的夹角，会得到不同的截面，截面与圆锥面的交线可以是圆、双曲线、抛物线，因此，我们通常把椭圆、双曲线和抛物线称为圆锥曲线. 情景导入     对于某一圆锥曲线，例如椭圆，也可以看成满足某种条件的点的集合. 在平面直角坐标系中，当点用坐标 (x，y) 表示后，椭圆便可用一个方程 F(x，y)＝0 表示，进而通过对方程的研究来研究圆. ●怎样建立圆锥曲线的方程? ●如何通过方程来研究圆锥曲线的性质? 新知探究 太阳系中行星的运动轨迹是椭圆. 用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是椭圆. 新知探究 在画板上取两个定点 F1 和 F2 ，把一条长度为定值且大于 F1F2 的细绳的两端固定在 F1，F2 两点 (图3-1-1)，用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上移动一周，画出的图形是一个椭圆. 新知探究 平面内到两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数 (大于 F1F2 ) 的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)，两个定点 F1，F2 叫作椭圆的焦点 (focus)，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距(focal distance). 类似于直线和圆，对于椭圆的研究，我们自然关注下面的问题： ●怎样建立椭圆的方程? ●如何根据椭圆的方程研究椭圆的性质? 新知探究 设椭圆 C 的两个焦点分别为 F1，F2，它们之间的距离为2c，圆上任意一点到 F1，F2 的距离之和为 2a(2a＞2c). ●怎样求椭圆 C 的方程? 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)． 步骤一：建立直角坐标系． x y O P F1 F2 步骤二：设动点坐标． 设椭圆上任意一点P的坐标为（x，y）， 步骤三：列等式． 根据椭圆定义知：PF1＋PF2＝2a， 步骤四：代入坐标． 即　　　　　　　　　　　　　　．　　　　　　　 新知探究 步骤五：化简方程 两边再平方，得 a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理，得 (a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)． 移项，得 　． 两边平方，得 整理得 新知探究 步骤五：化简方程 因为a2(a2－c2) ≠0，所以两边同除以a2(a2－c2) ，得 又因为a2－c2＞0，所以可设a2－c2＝b2（b＞0），得　　　　　　　　　（a＞b＞0）． 由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程.可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上. 新知探究 10 x y O F1（0，－c），F2（0，c）； PF1＋PF2＝2a； (x，y) 　 怎样推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程？ 新知探究 如何根据标准方程，判断焦点在哪个坐标轴上？ （a＞b＞0） （a＞b＞0） P(x，y) P(x，y) 椭圆的焦点位置可由方程中x2与y2的分母的大小来确定，焦点在分母大的项所对应的坐标轴上． 新知探究 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O (x,y) (焦点在x轴上) (焦点在y轴上) 以上两种方程都叫作椭圆的标准方程(standard equation ofellipse),其中b²=a²-c² 新知归纳 典例分析 方法技巧 利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程. 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论. 例1.已知椭圆的两个焦点分别是F1(-3，0)，F2(3，0)，椭圆 上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程． 解：因为椭圆的焦点在x轴上， 设椭圆的标准方程为 (a＞b＞0） 由已知得2a=10，即a=5， 又椭圆的两个焦点为F1(-3，0)，F2(3，0)，所以c=3， 从而b2=a2-c2=52-32=16， 因此，所求椭圆的标准方程为 ． 教材P77 例题 例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ， ，且该椭圆经过点 ，求椭圆的标准方程． 解法一：因为椭圆的焦点在x轴上， 所以设椭圆的标准方程为 ． 因为椭圆的两个焦点坐标分别是 ， ，且点 在椭圆上，所以由椭圆的定义知 所以a=4，又因为 ，b= ； 因此所求椭圆的标准方程为 ． 典例分析 教材P77 例题 15 解法二：因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，所以， 从而①，         又因为点在椭圆上，所以②，       由①②解得或（舍去）， 因此，所求椭圆的标准方程为． 例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ， ，且该椭圆经过点 ，求椭圆的标准方程． 典例分析 教材P77 例题 例3.将圆x2+y2=4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线． 【解析】解：设所得曲线上任意一点的坐标为(x,y)，圆x2+y2=4上的对应点的坐标为(x′，y′)． 若圆x2+y2=4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半， 此时，因为x′2+y′2=4，所以x2+4y2=4， 即 ，故该曲线是一个椭圆． 典例分析 教材P78 例题 17 例4.求直线和椭圆的公共点的坐标． 解：直线和椭圆的公共点的坐标就是 方程组的解， 消去得，即， 解得、， 所以解这个方程组得或， 因此，所求公共点的坐标为，． 方法技巧 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题. 典例分析 教材P79 例题 1.在△ABC中，若BC的长为6，周长为16，则顶点A在怎样的曲线上运动？ 【解析】解：建立如图坐标系，结合椭圆的定义即可得出顶点A的运动轨迹为a=5、c=3的椭圆．如图，建立坐标系， ____ 已知△ABC 的周长为16，且B(-3，0)，C(3，0)， 则AB+AC=10＞BC=6， 有2a=AB+AC=10， 得a=5，又c=3， 所以b2=a2-c2=25-9=16， 所以△ABC的顶点A的轨迹方程为 ， 即顶点A在椭圆 上运动． 教材P79 练习 19 2.下列方程中哪些是椭圆的方程？若是，指出焦点在哪条坐标轴上． (1) + =1； (2)x2+ =1； (3)2x2+2y2=1； (4)2x2+3y2=6． 【解析】解：(1)对于方程 ，由于a2=4＞b2=3， 可知此方程是椭圆的方程，焦点在x轴上； (2)对于方程 ，由于a2=2＞b2=1，可知此方程是椭圆的方程，焦点在y轴上； (3)对于方程2x2+2y2=1，变形为 可知此方程是圆的方程，因此不是椭圆的方程； (4)对于方程2x2+3y2=6，变形为 ，可知此方程是椭圆的方程，由于a2=3＞b2=2， 可知焦点在x轴上． 教材P79 练习 20 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a=4，b=3，焦点在x轴上；(2)b=1，c= ，焦点在y轴上； (3)a=10，c=6． 【解析】解：(1)a=4，b=3，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 ； (2)由b=1，c= ，则a2=b2+c2=16， ∵焦点在y轴上，∴其标准方程为 ； (3)a=10，c=6， 则 ， 故椭圆的标准方程为 或 ． 教材P79 练习 21 4.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点为F1(-3，0)，F2(3，0)，且经过点P(0，2)； (2)焦点为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P( ，- )； (3)经过点P(-4，0)，Q(2， )． 【解析】解：(1)焦点为F1(-3，0)，F2(3，0)，所以c=3，且椭圆焦点在x轴， 设椭圆方程为 ，又点P(0，2)在椭圆上，即b=2， 所以a2=b2+c2=13，故椭圆方程为 ； (2)因为F1(-2，0)，F2(2，0)，所以设椭圆标准方程为 ， 即c=2，∴a2=b2+c2=b2+4，又因为经过点 ， 所以 ，解得b2=6，a2=10，所以椭圆的标准方程为 ； 教材P79 练习 22 (3)设椭圆方程为mx2+ny2=1，经过点P(-4，0)， ， 4.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点为F1(-3，0)，F2(3，0)，且经过点P(0，2)； (2)焦点为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P( ，- )； (3)经过点P(-4，0)，Q(2， )． 所以 ，解得， 即椭圆的标准方程为 ． 教材P79 练习 23 5.求下列椭圆的焦点坐标： (1) ； (2) ； (3)16x2+7y2=112； (4)x2+2y2=1． 解：(1)根据题意可得a=3，b=2，c= ，且焦点在x轴上，∴椭圆的焦点坐标为( ，0)； (2)根据题意可得a=3，b= ，c= ，且焦点在y轴上，∴椭圆的焦点坐标为(0， )； (3)∵椭圆方程可化为 ，∴a=4，b= ，c=3，且焦点在y轴上， ∴椭圆的焦点坐标为(0，±3)； (4)∵椭圆方程可化为 ，∴a=1，b= ，c= ，且焦点在x轴上， ∴椭圆的焦点坐标为( ，0)． 教材P79 练习 24 6.已知椭圆 + =1上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离． 【解析】解：设P到右焦点的距离为x,则根据题意可得x+7=2a=20， ∴x=13，故点P到右焦点的距离为13． 7.判断直线x+2y-2 =0与椭圆 的公共点的个数． 【解析】解：联立， 消去x并整理得 ， 此时Δ= =0， 故直线x+2y-2 =0与椭圆 只有一个公共点． 教材P79 练习 25 椭圆定义的理解 题型一 题型探究 【例1】平面内，动点的坐标 满足方程 ，则动点 的轨迹方程为( ) B A. B. C. D. 解析 由两点间的距离公式可得，条件 表示的几何意义 为点到与的距离之和，即 . 又 ， 根据椭圆的定义，点在以和 为焦点的椭圆上， 可设其标准方程为,由，，且,得 ,故动点 的轨迹方程为 .故选B. 1.设,分别为椭圆的两个焦点，过 且不与坐标轴重合的直线交椭圆于,两点， 则 的周长为( ) B A.4 B.8 C.12 D.16 解析 如图，不妨令,分别为椭圆的左、右焦点， 的周长 ， 又由椭圆，得，所以 的周长为8，故选B. 变式训练 27 2.已知椭圆的两焦点为，，点满足，则 的取值范围是_________. 解析 因为,所以点在椭圆 的内部,且不与原点重合.根据椭圆 的定义知,,且的最小值为2，此时点在线段 上 （原点除外）.故的取值范围是 . 变式训练 28 椭圆方程的求解 题型二 题型探究 【例2】 一个动圆与圆外切， 与圆 内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为( ) A A. B. C. D. 解析 设动圆半径为，圆心为，根据题意可知， ，,, , ，， ， ， 故动圆圆心的轨迹为焦点在 轴上的椭圆，且焦点坐标 为和，其中,,, ， 所以 ， 故动圆圆心的轨迹方程为 ，故选A. 方法技巧 解题思路 利用动圆分别与两圆外切和 内切的位置关系，可得动圆 圆心与已知两圆圆心间的关 系，再根据它们的数量关系 结合圆锥曲线的定义，即可 判断轨迹为椭圆，并求出轨 迹方程． 3.［江苏无锡2025高二期末］已知椭圆的左、右焦点分别为, ，过点 的直线与交于，两点，则,,三点能构成边长为4的正三角形时， 的方程为_ __________. 解析 设，由题意知当时， 是边长为4的正三角形，如图. 由椭圆和正三角形的对称性，可知，所以 . 又,则，解得 ， 由，得，故椭圆的方程为 . 变式训练 30 4.设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且 ， .若 ，则椭圆的标准方程为___________. 解析 ,,.又 , .由椭圆定义可知 , ,,, 椭圆的标准方程为 . 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在的位置, 然后根据条件建立关于, 的方程（组）.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方 便,也可把椭圆方程设为 的形式. 归纳总结 变式训练 31 椭圆定义及方程的应用 题型三 题型探究 【例3】［江苏常州2025高二期中］设为椭圆上一动点，, 分别为椭圆的左、右焦点， ，则 的最小值为( ) B A.8 B.7 C.6 D.4 解析 如图，连接,由椭圆的定义知 ，则 ， 由图知，当,,三点共线，且点在线段上时， 的值最小，最小值为 ,此时，的最小值为 .故选B. 5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 解析 因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以解得 ， 即 .故选C. 变式训练 33 忽视焦点位置的分类讨论而致错 题型四 题型探究 【例4】与椭圆 有相等的焦距，且过圆 的圆心的椭圆的标准方程为_______________________. 或 解析 设所求椭圆的长轴长为,短轴长为 . 由题意可知，即其圆心为 . 因为椭圆的焦距为，所以与该椭圆等焦距的椭圆的焦点为 或 . 若焦点为,，则圆心 到两焦点的距离之和为 ，则, ,所以对应椭圆方程为 ； 若焦点为,，则圆心 到两焦点的距离之和为 ，则, ,所以对应椭圆方程为 . 易错警示 在解决与椭圆方程有关的问题时,要注意椭圆焦点的位置,即焦点在轴上还是在 轴上, 一般需要进行分类讨论. 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 Lavf58.51.100 $$