3.1.1 椭圆的标准方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦椭圆的定义、标准方程及轨迹方程核心知识点，前承圆的方程知识，后启圆锥曲线后续内容。通过绳拉椭圆实验、坐标系建立思考等探究活动，结合例题解析与跟踪训练，搭建层层递进的学习支架，帮助学生系统掌握知识。 资料以哈雷彗星、橄榄球等生活实例导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。定义推导中通过逻辑设问发展数学思维，标准方程表达强化数学语言运用。分层练习适配不同需求，课中辅助探究提升互动，课后检测助力查漏补缺。

第3章 圆锥曲线与方程 3.1 椭 圆 3.1.1 椭圆的标准方程 新课导入 生活中有许多椭圆形的例子：哈雷彗星的运行轨迹、风靡全球的橄榄球、甘甜可口的西瓜、神奇的“跳舞草”……椭圆有着怎样的几何性质，它是否像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？ 学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导，会求椭圆的标准方程. 3.能灵活应用椭圆的定义及标准方程解决焦点三角形问题. 4.能熟练地求与椭圆有关的轨迹方程. 新知学习 探究 一 椭圆的定义及应用 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点，（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出如图所示的轨迹. 思考1．在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 提示 笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 思考2．在这一过程中，绳子的长度与两定点，间的距离有何关系？ 提示 绳子的长度大于两定点，间的距离. ［知识梳理］ 1．定义：平面内到两个定点,的距离之和等于①_ _ （大于）的点的轨迹叫作椭圆. 【答案】常数 2．焦点：两个定点②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 , 3.焦距：两个焦点间的距离. 4．几何表示：③_ _ _ _ _ _ （常数），且④_ _ . 【答案】； ［例1］ （1） 已知,，动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 点 （2） 已知,为椭圆的焦点且，，是椭圆上两点，且，以为直径的圆经过点，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】（1） C （2） D 【解析】 （1） 因为,，所以，知点 的轨迹是线段. （2） 由于 为直径的圆经过 点，所以， 不妨设,则， 由椭圆定义可得,,, 由勾股定理可得 和， 即 和，解得,， 故 的周长为. 椭圆定义的双向运用 一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义中的条件（即到两焦点的距离之和为常数），题目中遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题. ［跟踪训练1］． （1） [（2025·南京期中）]若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，则椭圆的焦距的长为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】（1） C （2） B 【解析】 （1） 选.因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，所以 解得，即. （2） 选.由椭圆 的左、右焦点分别为，，可得,，则，则. 二 椭圆的标准方程 思考1．在研究圆的方程时，不同的坐标系得到的圆的方程相同吗？ 提示 坐标系不同，得到的圆的方程不相同. 思考2．类比圆的方程，结合椭圆的形成过程，怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单些？ 提示 结合图形的对称性，以 所在的直线以及线段 的垂直平分线作为坐标轴建立坐标系，所得的方程更简单. ［知识梳理］ 焦点位置 在轴上 在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,,的关系 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ［例2］ （对接教材例1、例2）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1） 两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点，； （2） ，且椭圆上任意一点到两焦点的距离的和为26. 【答案】 （1） 【解】由题意知，椭圆的焦点在 轴上，且. 方法一:由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于， 所以, 所以，所以，故椭圆的标准方程为. 方法二：可设椭圆方程为， 将，代入此方程为，解得（负值已舍去），故椭圆的标准方程为. （2） 由题意知，， 即，又，所以，所以，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为 或. 求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定,的值，结合焦点位置写出椭圆方程. （2）待定系数法：①作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在轴上还是在轴上，还是两个坐标轴上都有可能. ②设方程：依据上述判断设出椭圆的方程. ③寻关系：依据已知条件，建立关于,,的方程组. ④解方程组：将求得的结果代入所设方程即为所求. 注意 在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出,的值即可. ［跟踪训练2］． （1） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，.若四边形是正方形且面积为4，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. （2） （多选）以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点的椭圆的标准方程是 A. B. C. D. 【答案】（1） A （2） AB 【解析】 （1） 选.由四边形 是正方形可得， 再由四边形 的面积为4可得，即， 所以. 又，所以， 所以椭圆 的方程为. （2） 选.若椭圆的焦点在 轴上，则,，得，此时椭圆方程是； 若焦点在 轴上，则,，则，此时椭圆方程是．故选. 三 与椭圆有关的轨迹方程 ［例3］ 已知圆，圆内有一定点，圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【解】 如图，设圆 的半径为，又圆 过点，所以. 又因为圆 与圆 内切，圆 的半径为10，圆 的圆心为， 所以两圆的圆心距， 即（大于）. 所以圆心 的轨迹是以，为焦点的椭圆， 其中，. 所以，， 所以. 所以圆心 的轨迹方程为. 求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法 （1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义，则可用定义法直接求解. （2）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程. （3）相关点法（代入法）根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程. ［跟踪训练3］． （1） 若动点满足方程，则动点的轨迹方程为 （ ） A. B. C. D. （2） 已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.已知动点 满足方程， 设,，且， 则有， 故点 的轨迹是以,为焦点，长轴长为 的椭圆， 且中心在原点，焦点在 轴，即点 的轨迹方程为椭圆的标准方程， 则,，， 故所求轨迹方程为. （2） 因为，所以，，三点共线，且，由题意设，则,，因为点 在 上，所以，整理得，则点 的轨迹方程为. 课堂巩固 自测 1．（多选）平面上，动点满足以下条件，其中的轨迹为椭圆的是（ ） A. 到两定点，的距离之和为4 B. 到两定点，的距离之和为6 C. 到两定点，的距离之和为6 D. 到两定点，的距离之和为8 【答案】BD 【解析】选.因为两定点，的距离为4，且，所以选项 不符合椭圆定义，选项 符合椭圆定义；因为两定点，的距离为6，且，所以选项 不符合椭圆定义，选项 符合椭圆定义. 2．已知椭圆的左焦点为，则的值为（ ） A. 9 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】选.由题意可知，解得（负值已舍去）. 3．已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由椭圆，得，，, 设,,， 设，因为 的面积为1，则，解得，不妨设 在第一象限，当 时，，解得，. 4．如图，长为是正常数的线段的两个端点，分别在互相垂直的两条直线上滑动，点是线段上靠近的三等分点，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 解：设两直线的交点为,以 为 轴，为 轴建立平面直角坐标系，设，由于点 是线段 上靠近 的三等分点，设，，则，即，故,，由，故，即，整理得到，所以点 的轨迹方程为，该方程表示焦点在 轴上的椭圆. 1.已学习：（1）椭圆的定义.（2）椭圆的标准方程. 2.须贯通：（1）掌握求标准方程的2种方法：待定系数法，定义法.（2）轨迹问题的解法：定义法，相关点法. 3.应注意：若椭圆焦点位置不确定，一定要分类讨论. 课后达标 检测 A 基础达标 1．[（2025·莆田期中）]椭圆的焦距是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】选.由 可得， 故椭圆 的焦距是. 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 （ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意知，，解得. 3．设点为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且 ，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.设,， 根据椭圆的定义以及余弦定理得 整理得，即， 所以 的面积为. 4．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为 ，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意得 解得 所以椭圆 的标准方程是.故选. 5．已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由，得点 的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与 轴的交点），其中，，可得，. 故其方程为. 6．（多选）过已知圆内一个定点作圆与已知圆相切，则圆心的轨迹可以是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 射线 【答案】AB 【解析】选.如图，设已知圆的圆心为，半径为，圆内的定点为，动圆的半径为.若点 与点 不重合，由于两圆相内切，则.由于，所以，即.所以动点 到两个定点，的距离和为常数. 因为 为圆内的定点，所以. 所以动点 的轨迹为椭圆. 若，重合为一点，则此时动点 的轨迹为以 为圆心，为直径的圆. 综上，圆心 的轨迹为椭圆或圆. 7．若椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为_ _ _ _ . 【答案】4 【解析】因为椭圆的焦点 在 轴上，所以，，所以，解得. 8．已知椭圆，点是椭圆上一点，，是椭圆的焦点，且 ，则的面积为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，可知，，所以，从而. 在 中，由余弦定理得，即.① 由椭圆定义得.② 由①②联立可得. 所以. 9．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点.若，则点的横坐标为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，得， 设,,， 则, ,则, 即，则 解得. 10．（13分）求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1） 焦点在轴上，且，；（5分） （2） 椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点，.（8分） 【答案】（1） 解：因为，，所以，且焦点在 轴上，故椭圆的标准方程为. （2） 由题意得，椭圆的焦点在 轴上，故设椭圆的标准方程为. 由椭圆的定义，知 ，所以. 又因为，所以. 所以椭圆的标准方程为. B 能力提升 11．（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（ ） A. B. 的最大值为9 C. 的面积的最大值为12 D. 存在点，使得 【答案】BCD 【解析】选.由题意可知，，，所以， 对于，，错误； 对于，，正确； 对于，设 的顶点，则，,正确； 对于，由 知，以线段 为直径的圆与椭圆 有4个交点，当点 为此交点之一时，，正确. 12．已知直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长的最大值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意可得，记椭圆右焦点为，如图所示，则 的周长为. 当且仅当直线 经过右焦点（不经过左焦点）时取得等号. 13．（13分）已知，分别是椭圆的左、右焦点，为上一点. （1） 若，点的坐标为，求椭圆的标准方程；（5分） （2） 当时，的面积为4，求的值.（8分） 【答案】 （1） 解：已知，所以.点 在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，解得，所以. 所以椭圆 的标准方程为. （2） 方法一:因为， 所以 的面积，则. 根据椭圆定义知. 由勾股定理可得 . 又， 即. 又，两式联立解得. 方法二：令 ，由题意得,解得（负值已舍去）. 14．（15分）已知点，，动点满足，将动点的轨迹记为. （1） 求轨迹的方程；（6分） （2） 若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围.（9分） 【答案】 （1） 解：因为，所以轨迹 是以,为焦点的椭圆. 设 的方程为，则，得，又，所以，所以轨迹 的方程为. （2） 的周长，的面积，所以 内切圆的半径,，故 内切圆的半径的取值范围为，. C 素养拓展 15．已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题知，,，记点 关于折痕 的对称点为，折痕 与 相交于点，则点 在圆周上，折痕 为线段 的垂直平分线，如图所示，则有，可知，所以点 的轨迹是以,为左、右焦点的椭圆，其中，，所以,,，所以点 的轨迹方程，即折痕围成的轮廓的圆锥曲线的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $