1.5.2 点到直线的距离-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“点到直线的距离”及“两平行线间的距离”公式，通过立定跳远测量距离的生活问题导入，衔接两点距离旧知，以思考问题链搭建探究支架，引导学生从几何直观过渡到公式推导与应用。 其亮点在于以数学眼光联结生活与数学，用“立定跳远距离”情境激发兴趣，通过向量方法推导公式培养数学思维，分层例题（如基础计算、距离求参数、最值探究）与跟踪训练强化数学语言表达，课堂小结系统梳理公式应用与注意事项，助力学生构建知识网络，教师可高效开展教学。

第1章 直线与方程 1 1.5 平面上的距离 1.5.2 点到直线的距离 2 立定跳远是指不带助跑的原地跳远，是在两腿蹬 伸、上体伸展、两臂用力摆动情况下,使身体腾起并 获得远度的跳跃项目，是《国家体育锻炼标准》项目 之一.立定跳远测量的是什么距离？ 返回导航 新课导入 3 1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题. 2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 点到直线的距离 思考1 什么是点到直线的距离？ 提示 点到直线的距离是该点与直线上任一点的距离的最小值，也就是过 该点向直线所引的垂线段的长度. 返回导航 7 思考2 向量是解决空间距离问题的有力工具，如图所示，怎样用向量方法 求点到直线 的最短距离呢？ 提示 从直线上任取一点， 可以看作在直线 的垂线上的投影向 量，求出 的模即可. 返回导航 8 ［知识梳理］ 点到直线的距离为 _ __________. 返回导航 9 ［例1］ （1）点到直线 的距离为( ) A.4 B.2 C.3 D.1 解析：点到直线的距离 . （2）（多选）已知点，到直线 的距离相等， 则斜率 的值可以是( ) A. B.2 C.0 D. √ √ √ 返回导航 10 解析：方法一:直线转化为一般式方程 ，由 点,到直线的距离相等，可得，解得或 . 方法二：直线过定点，线段的斜率为 ，当直线 与直线平行时，点,到直线 的距离相等，此时 ； 当直线经过的中点时，点,到直线 的距 离相等，此时 . 综上，或 . 返回导航 11 点到直线的距离的求解方法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到 直线的距离公式即可. （2）若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式 列出关于参数的方程（组）即可. 返回导航 12 ［跟踪训练1］ （1）已知直线， ， ，则，的交点到 的距离为( ) A. B.3 C.2 D.1 解析：选B.联立解得即，所以点到 的距 离 . （2）已知点到直线的距离为，则 ___. 1 解析：由点到直线的距离公式得，所以 . 因为，所以 . √ 返回导航 13 二 两平行直线间的距离 思考1 点到直线 的距离公式是什么？ 提示 . 思考2 已知两条平行直线，，从上任取两点分别求到 的距离，两 个距离有什么关系？ 提示 相等. 返回导航 14 ［知识梳理］ 两条平行直线与 之间的距离为 _ ______ . 返回导航 15 ［例2］ （对接教材例5） （1）已知直线与直线，若 ， 求与 之间的距离. 【解】由于，所以，所以，故 与直线平行，所以与之间距离 . （2）求平行于直线 ，且与它的距离是1的直线方程； 【解】设所求直线方程为 . 由题意知 ， 解得或 ， 所以所求直线方程为或 . 返回导航 16 求两平行直线间距离的注意点 （1）求两平行直线间的距离时，一定要先将两平行直线方程化为一般式， 同时利用等式性质将<m></m>，<m></m>的系数分别化为相同的数. （2）如果两平行直线的方程用斜截式表示为<m></m>， <m></m>，那么这两条平行直线间的距离<m></m>. 返回导航 17 ［跟踪训练2］ （1）已知直线, ，则 , 间的距离为( ) A. B. C. D. 解析：选C．将直线方程化为，易知 ， 由平行直线的距离公式得 . √ 返回导航 18 （2）若两条直线与间的距离为 ， 则 ( ) A.3 B.5 C.3或 D. 或5 解析：选C.根据平行直线间的距离公式，可得，所以 或 . √ 返回导航 19 三 由距离求最值 ［例3］ 两条互相平行的直线分别过点和 ，并且各自绕 着，旋转，如果两条平行直线间的距离为 .求： （1） 的取值范围； 【解】如图，显然有 . 而 . 故的取值范围为 . 返回导航 20 （2）当 取最大值时，两条直线的方程. 【解】由图可知，当取最大值时，两直线与直线 垂直. 而,所以所求直线的斜率为 ， 故所求的直线方程分别为 和 , 即和 . 返回导航 21 求最值问题 （1）利用对称转化为两点之间的距离问题. （2）利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离问题. （3）利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值. 返回导航 22 ［跟踪训练3］ （1）已知直线过定点，点 在直线上，则 的最小值是( ) A.5 B. C. D. 解析：选B.由得，所以直线 过定点 ，依题意可知的最小值就是点到直线 的距离， 由点到直线的距离公式可得 . √ 返回导航 23 （2）已知两条平行直线和 之间 的距离小于1，则 的取值范围为_______________. 解析：因为直线和 平行，所以 .又因为两条平行直线间的距离小于1，即 ，解得 ，故的取值范围为 . 返回导航 24 PART 02 课堂巩固 自测 25 1.已知，两点到直线的距离相等，则 ( ) A.4 B.6 C.2 D.4或6 解析：选D.由于点与点到直线的距离相等，则 ， 解得或 .故选D. √ 返回导航 26 2.（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为 的 是( ) A. B. C. D. 解析：选.设所求直线的方程为 ，由题意可得 ，解得或，故所求直线的方程为 或 . √ √ 返回导航 27 3.若直线与直线 间的距 离为，则 ____. 14 解析：直线变形为，因为 ，所 以直线与直线间的距离为，解得或 .因 为，所以 . 返回导航 28 4.已知直线， . （1）当 时，求两直线之间的距离； 解：当时，， ，所以两直线 之间的距离为 . （2）写出原点到直线 的距离，并求出该距离的最大值. 【解】原点到直线的距离为，当 时， . 返回导航 29 1.已学习：（1）点到直线的距离公式. （2）两条平行直线间的距离公式. 2.须贯通：（1）距离公式的应用. （2）利用“坐标法”解决平面几何问题. 3.应注意：要结合图形求解距离问题，防止漏解和增解. 返回导航 30 $